Matematica (23)

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Seção 9.1
 Objetivos
 Calcular logaritmos a 
partir da definição.
 Calcular logaritmos 
aplicando propriedades.
 Aplicar o conceito de 
logaritmo na resolução 
de problemas.
 Termos e conceitos
• logaritmo
• logaritmo decimal
Logaritmo
 Os fundamentos da teoria 
dos logaritmos
Como estaria hoje o conhecimento astronômico se 
o matemático e astrônomo alemão Johannes Kepler 
(1571-1630) tivesse à sua disposição uma dessas 
modernas calculadoras eletrônicas, tão comuns 
no nosso dia a dia?
Essa questão provoca algumas reflexões 
interessantes, por exemplo: o tempo despendi-
do por Kepler em cálculos desgastantes, como 
3,25694 3 1,78090 ou 3,25694 4 1,78090, tão 
frequentes em estudos astronômicos, poderia 
ter sido empregado em pesquisas e, talvez, tivéssemos hoje uma quarta 
lei de Kepler.
Até o século XVII, porém, cálculos envolvendo multiplicações ou divi-
sões eram bastante trabalhosos, não só na Astronomia mas em todas as 
ciências que tratassem de medidas. O escocês John Napier (1550-1617), 
também conhecido como Neper, preocupou-se seriamente em simplificar 
esses cálculos e, após vinte anos de pesquisas, publicou, em 1614, o resul-
tado de seus estudos, apresentando a teoria dos logaritmos. O princípio 
básico dos logaritmos é: transformar uma multiplicação em adição ou uma 
divisão em subtração, pois adicionar ou subtrair números é normalmente 
mais rápido que multiplicá-los ou dividi-los.
A ideia de Neper é relativamente simples: representam-se os números 
positivos como potências de um mesmo número. Por exemplo, cada coluna 
da tabela abaixo apresenta um número e a respectiva representação como 
potência de base 10. Assim, na primeira coluna, temos 1,78090 5 100,25064.
Com essa tabela, podem-se calcular:
Número 1,78090 1,82881 3,25694 5,80029
Potência de base 10 100,25064 100,26217 100,51281 100,76345
4a coluna da tabela
conserva-se a base 10 e 
adicionam-se os expoentes
1a coluna da tabela
3a coluna da tabela
 Observe que o produto foi calculado pela soma dos expoentes das po-
tências de dez.
b) 3,25694 4 1,78090 5 100,51281 4 100,25064 5 100,51281 2 0,25064 5 100,26217 5 1,82881
 Observe que o quociente foi calculado pela diferença dos expoentes 
das potências de dez.
 John Napier, criador 
dos logaritmos.
Notas:
1. A base dez foi sugerida a Neper pelo matemático Henry Briggs (1561- 
-1630), que publicou em 1617 a primeira tabela de logaritmos. 
2. O vocábulo logarithmus foi criado por Neper pela junção das palavras 
gregas: logos, que significa “razão” ou “cálculo”, e arithmós, que significa 
“número”.
a) 3,25694 3 1,78090 5 100,51281 3 100,25064 5 100,51281 1 0,25064 5 100,76345 5 5,80029
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CAP 9.indb 282 03.08.10 12:54:07
 O conceito de logaritmo
Para desmistificar desde já a palavra logaritmo, saiba que esse nome foi criado por Neper 
para substituir a palavra “expoente”, conforme explicamos a seguir.
Considere uma potência qualquer de base positiva e diferente de 1, por exemplo:
34 5 81
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Dizemos que 4 é o logaritmo de 
81 na base 3. Em símbolos, escrevemos:
34 5 81 [ log3 81 5 4
Exemplos
a) 24 5 16 [ log2 16 5 4 b) 322 5 
1
 __ 
9
 [ log3 
1
 __ 
9
 5 22 c) @ 1 __ 
5
 # 3 5 
1
 ____ 
125
 [ log 
 
1
 __ 
5
 
 
1
 ____ 
125
 5 3
Definimos:
Sendo a e b números reais positivos, com b % 1, chama-se logaritmo de a na base b o expo-
ente x tal que bx 5 a.
logb a 5 x [ bx 5 a
Na sentença logb a 5 x:
• a é o logaritmando;
• b é a base do logaritmo;
• x é o logaritmo de a na base b.
Exemplos
a) log5 25 é o expoente x da potência de base 5 tal que 5x 5 25.
 Então:
 Assim, log2 
1
 ___ 
32
 5 25.
 Assim, log7 
5
 dll 72 5 
2
 __ 
5
 .
 Assim, log3 1 5 0.
2x 5 
1
 ___ 
32
 [ 2x 5 225
} x 5 25
7x 5 
5
 dll 72 [ 7x 5 7 
2
 __ 
5
 
} x 5 
2
 __ 
5
 
b) log2 
1
 ___ 
32
 é o expoente x da potência de base 2 tal que 2x 5 
1
 ___ 
32
 .
 Então:
d) log7 
5
 dll 72 é o expoente x da potência de base 7 tal que 7x 5 
5
 dll 72 .
 Então:
c) log3 1 é o expoente x da potência de base 3 tal que 3x 5 1.
 Então:
 Assim, log5 25 5 2.
5x 5 25 [ 5x 5 52
} x 5 2
3x 5 1 [ 3x 5 30
} x 5 0
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CAP 9.indb 283 03.08.10 12:54:08
Logaritmo decimal
Suponha que um pequeno dado seja 
solto sobre a superfície terrestre: o 
impacto da sua queda liberará energia 
e fará a superfície vibrar levemente. Se 
o dado for substituído por um tijolo, a 
energia liberada fará vibrar mais inten-
samente essa superfície. Imagine, agora, 
que um cubo maciço de granito com 
2 km de aresta seja solto de uma altura de 
280 km: a energia liberada será equiva-
lente a 200 trilhões de quilowatt-hora 
(kWh). Essa foi a medida da energia libera-
da pelo terremoto ocorrido em São Fran-
cisco, Califórnia, em 1906. Mais violento 
ainda foi o terremoto que arrasou Lisboa 
em 1755, liberando energia equivalente a 
350 trilhões de kWh.
A intensidade de um terremoto pode ser medida pela escala Richter, criada pelo sismólogo 
norte-americano Charles Francis Richter (1900-1985). Nessa escala, a intensidade I de um ter-
remoto em função da energia E liberada pelo terremoto, em quilowatt-hora, é dada por:
I 5 
2
 __ 
3
 log 
E
 ___ 
E0
 
em que E0 5 7 3 1023 kWh e o logaritmo é decimal, isto é, tem base 10.
Notas:
1. A existência e unicidade de logb a é garantida pelas condições: a . 0, b . 0 e b % 1. Ou seja, se 
alguma dessas restrições não for obedecida, não estará garantida a existência ou a unicidade 
do logaritmo. Por exemplo, de acordo com a definição:
• log2 (24) deveria ser um único número x tal que 2x 5 24, o que é impossível, pois qualquer 
potência de base positiva é positiva.
• log1 2 deveria ser um único número x tal que 1x 5 2, o que é impossível, pois qualquer potência 
de base 1 é igual a 1.
• log1 1 deveria ser um único número x tal que 1x 5 1, porém existem infinitos valores de x que 
satisfazem essa igualdade.
2. É importante observar a estreita ligação entre o logaritmo e a função exponencial. Por exemplo, 
o cálculo de um logaritmo recai na resolução de uma equação exponencial. Mais adiante, no 
estudo da função logarítmica, vamos detalhar melhor essa relação.
Exemplo
log 100 é o expoente x da potência de base 10 tal que 10x 5 100.
Temos:
10x 5 100 [ 10x 5 102
} x 5 2
Assim: log 100 5 2
Chama-se logaritmo decimal aquele cuja base é 10.
Indica-se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica 
subentendida).
 Vista da cidade de São Francisco, no estado da Califórnia, 
após o terremoto de 1906.
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CAP 9.indb 284 03.08.10 12:54:08
P1. logb b 5 1
P2. logb 1 5 0
P3. logb a
y 5 y 3 logb a (uy, com y 9 V)
De fato, indicando logb b por x, temos: 
logb b 5 x [ bx 5 b
} x 5 1
Assim, logb b 5 1.
De fato, indicando logb 1 por x, temos:
logb 1 5 x [ bx 5 1
} bx 5 b0 ] x 5 0
Assim, logb 1 5 0.
 Propriedades dos logaritmos
Aplicando as propriedades estudadas na função exponencial, obtemos as seguintes proprie-
dades dos logaritmos, para quaisquer números reais positivos a e b, com b % 1:
De fato, indicando logb a por x, temos:
logb a 5 x [ bx 5 a
Elevando ao expoente y ambos os membros da última igualdade, temos:
(bx)y 5 ay [ byx 5 a y
E pela definição de logaritmo:
bxy 5 ay [ yx 5 logb a
y
Como x representa o logb a, concluímos:
y 3logb a 5 logb a
y
P5. b log b a 5 a
De fato, indicando logb a por x, temos:
logb a 5 x [ bx 5 a
Como x representa o logb a, concluímos:
 b log b a 5 a
P4. logb b
x 5 x (ux, com x 9 V)
De fato, pelas propriedades P3 e P1, temos:
logb b
x 5 x 3 logb b 5 x 3 1 5 x
Assim, logb b
x 5 x.
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CAP 9.indb 285 03.08.10 12:54:08
9 Uma caixa-d’água com 5.000 L de capacidade tem, internamente, a forma de 
um cubo.
 Adotando o valor log 5 5 0,69 e os valores da tabela ao lado, calcular a medida, 
em metro, de cada aresta do cubo.
Resolução
 Como 1 L 5 1 dm3, então: 5.000 L 5 5.000 dm3 5 5 m3
 Assim, indicando por a a medida, em metro, da aresta do cubo, obtemos:
 a3 5 5 ] 3 5 loga 5
 Pela propriedade da mudança de base (P8), transformamos o logaritmo para 
a base 10:
 3 5 loga 5 ] 3 5 
log 5
 _____ 
log a
 
 } log a 5 
log 5
 _____ 
3
 5 
0,69
 _____ 
3
 5 0,23 ] a 5 100,23
 Observando a tabela, concluímos que a 5 1,70.
 Logo, cada aresta do cubo mede 1,70 m.
x 10x
0,20 1,58
0,21 1,62
0,22 1,66
0,23 1,70
0,24 1,74
0,25 1,78
12 Sabendo que log6 11 5 1,34 e log6 2 5 0,37, calcule:
a) log6 22 c) log6 5,5 e) log11 2
b) log6 
2 ___ 
11
 d) log2 11 f ) log6 16
13 Sabendo que log 5 5 0,69 e log 3 5 0,48, calcule 
log 6.
14 Determine x tal que x 5 log7 25 3 log5 7.
15 Dado que 5a 5 3, tem-se que log3 75 é igual a:
a) 2 1 a ______ 
a
 c) a ______ 
1 1 a
 e) 1 1 2a _______ 
a
 
b) a
2 2 1 ______ 
a
 d) 2a ______ 
1 1 a
 
16 (Vunesp) A expectativa de vida, em ano em uma re-
gião, de uma pessoa que nasceu a partir de 1900 no 
ano x (x > 1900), é dada por L(x) 5 12(199 log x 2 651). 
Considerando log 2 5 0,3, uma pessoa dessa região 
que nasceu no ano 2000 tem expectativa de viver:
a) 48,7 anos c) 64,5 anos e) 72,3 anos
b) 54,6 anos d) 68,4 anos
EXERCÍCIOS pROpOStOS
17 Estudos sobre a desertificação de uma região mos-
traram que a área desértica, que hoje é de 50 km2, 
aumenta 2,4% ao ano. Em quanto tempo a área 
desse deserto dobrará? (Adote log 2 5 0,301.)
18 Uma cultura de microrganismos, que cresce 20% 
por hora, apresentava 100.000 indivíduos no início 
de um estudo. Adotando log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, 
calcule o tempo necessário, a partir do início desse 
estudo, para que a cultura atinja 300.000 indivíduos.
19 Ao perceber uma mancha de óleo no mar, o capitão 
de um navio petroleiro comunicou imediatamente à 
Capitania dos Portos que havia um vazamento em 
seu navio.
Resolva os exercícios complementares 8 a 18 e 61 a 70.
 Algum tempo depois, os técnicos da Defesa Am-
biental constataram que a mancha de óleo cobria 
12 km2 da superfície do mar e crescia 2% por hora; 
concluíram também que, no momento do comuni-
cado à Capitania dos Portos, a área da mancha de 
óleo era 10 km2. Supondo que a taxa de crescimento 
tenha sido constante até o momento da medição, 
quanto tempo decorreu desde o momento do co-
municado à Capitania dos Portos até a conclusão 
da medição da área da mancha de óleo? (Use os 
valores da tabela abaixo.)
x log x
2 0,30
3 0,48
17 1,23
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CAP 9.indb 290 03.08.10 12:54:14
 Objetivos
 Compreender 
como se obtém o 
número de Neper.
 Aplicar o conceito de 
logaritmo neperiano na 
resolução de problemas.
 Termos e conceitos
• número de Neper
• logaritmo neperiano
Seção 9.2
 O número de Neper (e)
No século XVII, o matemático suíço Jacques Bernoulli (1654-1705) pro-
pôs o seguinte problema:
“Qual é a lei segundo a qual cresce um capital aplicado a juro composto 
quando o juro é acrescido ao capital instantaneamente?”
Bernoulli talvez não imaginasse a importância da lei geral a que chegaria. 
Conhecida atualmente como lei do crescimento orgânico, o resultado 
desse estudo é aplicado em diversas áreas além da Matemática, como 
Biologia, Física, Química, Economia e Geografia.
O problema de Bernoulli propõe que se calcule o juro composto, não 
ano a ano, ou mês a mês, ou dia a dia, mas instantaneamente a partir 
do momento da aplicação. Para concretizar essa ideia, vamos supor que 
R$ 1,00 seja aplicado a juro composto à taxa de 
100%
 ______ 
n
 5 
1
 __ 
n
 a cada uma 
das n partes iguais em que se dividiu um período de tempo qualquer. Apli-
cando a fórmula do montante acumulado a juro composto, M 5 C (1 1 i)t, 
para C 5 1, i 5 
1
 __ 
n
 e t 5 n, obtemos o montante M acumulado ao fim das n 
partes: M 5 @ 1 1 
1
 __ 
n
 # 
n
 
Observe o valor dessa expressão para alguns valores de n:
n 5 1 ] @ 1 1 
1
 __ 
1
 # 1 5 2
n 5 2 ] @ 1 1 
1
 __ 
2
 # 2 5 2,25
n 5 3 ] @ 1 1 
1
 __ 
3
 # 3 5 2,37037037
n 5 4 ] @ 1 1 
1
 __ 
4
 # 4 5 2,44140625

n 5 10 ] @ 1 1 
1
 ___ 
10
 # 10
 5 2,59374246

n 5 100 ] @ 1 1 
1
 ____ 
100
 # 100
 5 2,704813829

n 5 1.000 ] @ 1 1 
1
 ______ 
1.000
 # 1.000
 5 2,716923932

n 5 1.000.000 ] @ 1 1 
1
 ___________ 
1.000.000
 # 1.000.000
 5 2,718280469

Número de Neper 
e logaritmo neperiano
Demonstra-se que, para n tendendo ao infinito, os valores dessa ex-
pressão tenderão ao número irracional 2,718281828..., chamado número 
de Neper, e que indicaremos pela letra e:
e 5 2,718281828...
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CAP 9.indb 291 03.08.10 12:54:15
1 Calcular os logaritmos.
a) log32 64 c) log 3 dllllll 10.000 e) log0,1 0,0001
b) log25 
1 ____ 
125
 d) log 
 7 __ 
3
 
 9 ___ 
49
 
2 Dado log2 5 5 2,32, calcular log2 125.
3 Determinar o valor da expressão:
 E 5 7 log7 6 2 log4 4 1 log3 1
4 Determinar o valor da expressão: E 5 3 5 log3 2 
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
a) log32 64 5 x [ 32x 5 64
 Decompomos em fatores primos as bases 32 e 64:
 (25)x 5 26 ] 25x 5 26
 } 5x 5 6 ] x 5 6 __ 
5
 
 Assim: log32 64 5 6 __ 
5
 
b) log25 
1 ____ 
125
 5 x [ 25x 5 1 ____ 
125
 
 } 52x 5 523 ] 2x 5 23
 } x 5 2 3 __ 
2
 
 Assim: log25 
1 ____ 
125
 5 2 3 __ 
2
 
c) log 3 dllllll 10.000 5 x [ 10x 5 3 dllllll 10.000 
 } 10x 5 3 dlll 104 ] 10x 5 10 
4 __ 
3
 
 } x 5 4 __ 
3
 
 Assim: log 3 dllllll 10.000 5 4 __ 
3
 
d) log 
 7 __ 
3
 
 9 ___ 
49
 5 x [ @ 7 __ 
3
 # 
x
 5 9 ___ 
49
 
 } @ 7 __ 
3
 # 
x
 5 @ 3 __ 
7
 # 2 ] @ 7 __ 
3
 # 
x
 5 @ 7 __ 
3
 # 22
 
 } x 5 22
 Assim: log 
 7 __ 
3
 
 9 ___ 
49
 5 22
Resolução
 log2 125 5 log2 5
3 5 3 3 log2 5 5 3 3 2,32 5 6,96
Resolução
 Pela propriedade P5: 7 log7 6 5 6
 Por P1: log4 4 5 1
 Por P2: log3 1 5 0
 Assim:
 E 5 6 2 1 1 0 5 5
Resolução
 Por P3: 5 log3 2 5 log3 2
5 5 log3 32.
 Portanto:
 E 5 3 5 log3 2 5 3 log3 32 5 32
 (Nota: O valor 2,32 é um valor aproximado do log2 5. 
Com o intuito de simplificar os enunciados e as re-
soluções, em outras questões também adotaremos 
valores aproximados como se fossem valores exatos 
de logaritmos.)
propriedade P3
e) log 0,1 0,0001 5 x [ 0,1x 5 0,0001
 } @ 1 ___ 
10
 # 
x
 5 1 ____ 
104
 ] @ 1 ___ 
10
 # 
x
 5 @ 1 ___ 
10
 # 4 
 } x 5 4
 Assim: log 0,1 0,0001 5 4
1 Calcule os logaritmos.
a) log2 256 c) log 
 5 __ 
2
 
 125 ____ 
8
 e) log 10.000 g) log 
 8 ___ 
27
 
 16 ___ 
81
 i ) log0,5 0,125
b) log7 
1 ___ 
49
 d) log 
 3 __ 
2
 
 16 ___ 
81
 f ) log256 128 h) log 5 dllll 100 
2 Usandoa tabela quando necessário, determine o valor da incógnita em cada um dos itens a seguir.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
x 2x 3x 10x
1 2 3 10
1,6 3,0314 5,7995 39,8107
2,3214 4,9981 12,8111 209,6042
8 256 6.561 100.000.000
10 1.024 59.049 10.000.000.000
a) log2 k 5 8 f ) log2 2 5 v
b) log3 m 5 8 g) log3 3 5 p
c) log2 y 5 2,3214 h) log 10 5 q
d) log3 t 5 2,3214 i ) log3 59,049 5 r
e) log u 5 2,3214 j ) log 39,8107 5 s
propriedade P5
286
C
a
p
ít
u
lo
 9
 • 
Fu
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84
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10
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19
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fe
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iro
 d
e 
19
98
.
CAP 9.indb 286 03.08.10 12:54:09
3 Calcule os logaritmos a seguir sabendo que 
 log3 2 5 0,63.
a) log3 8 c) log3 
3
 dll 4 
b) log3 
1 ___ 
16
 
4 Determine o valor das incógnitas a, b e c em:
a) log2 a 5 2 c) c 3 log9 3 5 2c 1 1
b) log25 5
b 5 b 1 1
5 Calcule o valor de 5 dll 7 usando os valores apresenta-
dos na tabela:
6 (Mackenzie-SP) Se x 5 log3 2, então 92x 1 81 
x __ 
2
 é 
igual a:
a) 12 c) 18 e) 48
b) 20 d) 36
7 Chama-se cologaritmo de a na base b, com {a, b} - VR1 
e b % 1, o número 2logb a, isto é, cologb a 5 2logb a. 
Calcule os cologaritmos:
a) colog3 9 c) colog16 
1 __ 
8
 
b) colog25 125
8 (Unisinos-RS) As indicações R1 e R2, na escala 
Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela 
fórmula R1 2 R2 5 log N, em que N mede a razão 
entre as energias liberadas pelos dois terremotos, 
sob a forma de ondas que se propagam pela cros-
ta terrestre. Supondo que houve um terremoto 
correspondente a R1 5 8 e outro correspondente a 
R2 5 5, então N é igual a:
a) log 8 __ 
5
 c) log3 10 e) 103
b) 8 __ 
5
 d) 3
9 (Unirio-RJ) Um médico, após estudar o crescimento 
médio das crianças de determinada cidade, com 
idades que variam de 1 a 12 anos, obteve a fórmu-
la h 5 log @ 100,7 3 dl i # , em que h é a altura, em metro, 
e i é a idade, em ano. Pela fórmula, uma criança de 
10 anos dessa cidade terá a altura de:
a) 120 cm. d) 128 cm.
b) 123 cm. e) 130 cm.
c) 125 cm.
x log x
7,00 0,85
1,48 0,17
10 O tempo n, em ano, para que um capital de 
R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juro composto de 10% 
ao ano, produza o montante de R$ 1.430,00, é:
a) n 5 log1,43 1,1
b) n 5 log1,1 1,43
c) n 5 log1,43 1
d) n 5 log1,1 1,1
e) n 5 log1,1 (1,43)2
11 Como vimos no capítulo anterior, todo número real 
não nulo pode ser representado na forma k 3 10m, 
em que k é um número real, com 14
 5 
0,0028
 _______ 
0,0002
 5 14
 Portanto, a multa foi paga com 14 dias 
de atraso, no dia 14 de janeiro.
Aplicando a fórmula M 5 C(1 1 i)t, obtemos:
3.019,50 5 3.000(1 1 0,0005)t ] (1,0005)t 5 1,0065
} t 5 log1,0005 1,0065
Pela propriedade da mudança de base (P8), transformamos 
o logaritmo para a base 10:
C 5 3.000 i 5 0,05% 5 0,0005
M 5 3.019,50 t 5 ?
R
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98
.
CAP 9.indb 289 03.08.10 12:54:12
 Logaritmo neperiano
Considere a função f : VR1 P V definida por f (x): 5 
1
 __ 
x
 . Por meio de uma tabela, podemos obter 
alguns pontos de f e, a partir deles, esboçar o gráfico:
O número neperiano está presente em todas as situações em que se deseja calcular a va-
riação instantânea de uma grandeza que cresce ou decresce através do produto por uma taxa 
constante. É importante observar que, quarenta anos antes do nascimento de Jacques Bernoulli, 
John Neper já aplicava uma aproximação do número e21 na teoria dos logaritmos; por esse motivo, 
credita-se a Neper a descoberta do número e.
Nota:
Dizer que uma grandeza “cresce ou decresce através do produto por uma taxa constante” 
equivale a dizer que, a cada unidade de tempo previamente estabelecida (mês, semana, dia etc.), 
o valor da grandeza é multiplicado por uma taxa que não varia, resultando no valor da grandeza na 
próxima unidade de tempo. Por exemplo, se a temperatura em uma região é 10 wC e aumenta 1% 
por hora durante certo período, multiplicando-se a temperatura, em cada instante desse período, 
pela taxa constante 1,01, obtém-se a temperatura na região uma hora depois.
x y
 
1
 __ 
4
 4
 
1
 __ 
3
 3
 
1
 __ 
2
 2
1 1
2 
1
 __ 
2
 
3 
1
 __ 
3
 
4 
1
 __ 
4
 
1 2 3 4
1
1
2
1
21
3
1
4
1
3
1
4
2
3
4
0 x
y
f
Vamos considerar o número real positivo a e o número real S cujo módulo é a área da figura 
limitada pelo eixo das abscissas e o gráfico da função f (x) 5 
1
 __ 
x
 , para 1 1 ou 
a