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2. Dada a equação 2y² − 12xy − 7x² = 5, identifique a cônica correspondente e determine: (a) sua forma canônica; (b) a rotação que converte a equação dada em sua forma canônica.

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Álgebra Linear Algorítmica-Primeira Prova-20141
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2. Dada a equação 2y² − 12xy − 7x² = 5, identifique a cônica correspondente e determine: (a) sua forma canônica; (b) a rotação que converte a equação dada em sua forma canônica.

O sistema associado a esta última matriz é kx + 3y + 7z + 5w = 1, (k2 − 4)y + 2z = k − 8, z + w = 4, w = 2. Resolvendo o sistema por substituição reversa, obtemos das duas últimas equações que w = 2 e z = 2. Substituindo nas duas equações anteriores, resta o sistema: kx + 3y + 7z + 5w = −23 (2), (k2 − 4)y = k − 12. Para poder continuar o processo de substituição reversa, precisamos supor que k 6= ±2. Fazendo isto, obtemos y = (k − 12)/(k2 − 4). Finalmente, para podermos obter o valor de x da primeira é preciso supor que k 6= 0. Fazendo, isto, x = (−47k2 + 3k − 224)/(k3 − 4k). Resta-nos analisar o que acontece quando k = ±2 e quando k = 0. Quando k = ±2, o sistema (2) se torna ±2x + 3y + 7z + 5w = −23, 0 = ±2 − 12, que é claramente impossível. Por outro lado, quando k = 0, o sistema (2) se torna 3y + 7z + 5w = −23, −4y = −12. Da segunda equação, obtemos y = 3. Substituindo este valor para y, assim como z = w = 2 na primeira equação, obtemos 3 · 3 + 7 · 2 + 5 · 2 = −23, que é obviamente falso, de modo que o sistema também é impossível quando k = 0. Resumindo tudo, temos que o sistema nunca é indeterminado; o sistema é impossível quando k = 0 ou k = ±2; o sistema é determinado quando k 6= 0,±2. Neste último caso, as soluções do sistema são dadas por x = (−47k2 + 3k − 224)/(k3 − 4k), y = (k − 12)/(k2 − 4), z = w = 2.

O sistema associado a esta última matriz é: kx + 3y + 7z + 5w = 1; (k2 − 4)y + 2z = k − 8; z + w = 4; w = 2. Resolvendo o sistema por substituição reversa, obtemos das duas últimas equações que w = 2 e z = 2. Substituindo nas duas equações anteriores, resta o sistema: kx + 3y + 7z + 5w = −23; (k2 − 4)y = k − 12. Para poder continuar o processo de substituição reversa, precisamos supor que k 6= ±2. Fazendo isto, obtemos y = (k − 12)/(k2 − 4). Finalmente, para podermos obter o valor de x da primeira é preciso supor que k 6= 0. Fazendo, isto, x = (−47k2 + 3k − 224)/(k3 − 4k). Resta-nos analisar o que acontece quando k = ±2 e quando k = 0. Quando k = ±2, o sistema se torna ±2x + 3y + 7z + 5w = −23; 0 = ±2 − 12, que é claramente impossível. Por outro lado, quando k = 0, o sistema se torna 3y + 7z + 5w = −23; −4y = −12. Da segunda equação, obtemos y = 3. Substituindo este valor para y, assim como z = w = 2 na primeira equação, obtemos 3 · 3 + 7 · 2 + 5 · 2 = −23, que é obviamente falso, de modo que o sistema também é impossível quando k = 0. Resumindo tudo, temos que: • o sistema nunca é indeterminado; • o sistema é impossível quando k = 0 ou k = ±2; • o sistema é determinado quando k 6= 0,±2. Neste último caso, as soluções do sistema são dadas por x = (−47k2 + 3k − 224)/(k3 − 4k), y = (k − 12)/(k2 − 4), z = w = 2.

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