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3
CAPÍTULO Geometria plana:
triângulos e proporcionalidade
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Além da teoria
Neste capítulo você irá revisar alguns conceitos da 
Geometria plana e, com isso, poderá resolver este e
outros problemas.
Para medir a largura de um rio, em um trecho de margens parale-
las, um topógrafo fixou dois pontos, A e B, um em cada margem, 
de modo que tAB é perpendicular às margens. A seguir, caminhou
70 m, a partir de um ponto A, perpendicularmente a tAB, até um pon-
to C tal que a medida do ângulo A BCB é 45°. Qual é a largura do rio?
A
70 m
B
45°
C
A
O rio Amazonas é o mais extenso do planeta, com 6.992 km. O trecho mais largo do Amazonas, não 
intercalado por ilhas e fora do estuário, tem 13 km de largura. Durante as cheias, o rio pode alcançar, 
em determinados trechos, cerca de 40 a 50 km de largura. O trecho mais estreito do rio, em território 
brasileiro, tem cerca de 2.600 m de largura. (2003)
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58 Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
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59Geometria plana: triângulos e proporcionalidade Capítulo 3 
As origens da GeometriaAs origens da Geometria1
No antigo Egito, as chuvas provocavam, anualmente, o transbor-
damento do rio Nilo. O alagamento dos campos danificava as de-
marcações de limites das propriedades e, por isso, após o período 
das chuvas, quando as águas voltavam ao leito do rio, era necessá-
rio remarcar esses limites. O trabalho de remarcação era feito por 
agrimensores, que utilizavam como ferramenta uma corda esticada 
reproduzindo um triângulo retângulo, para auxiliar no cálculo de 
extensão dos terrenos.
Para o historiador grego Heródoto (século V a.C.) essa atividade 
teria dado origem, há aproximadamente 5 mil anos, à ciência das 
formas e medidas, que viria a ser chamada de Geometria (do grego 
geo, “terra”, e metria, “medida”).
Porém, o homem pré-histórico já apresentava rudimentos de 
um sentido geométrico, quando se preocupava em representar a 
natureza por meio de desenhos ou em dar forma aos objetos, cons-
truindo vasos ou esculpindo, em pedra, as pontas de suas lanças. 
Assim, se considerarmos a Geometria quanto à forma, sua origem é 
anterior à civilização egípcia.
Rio Nilo
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AA
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Rio Nilo 
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300 km
Reprodução da capa da primeira versão em inglês do livro 
Os elementos. Dos treze volumes que subdividem Os elementos, os seis 
primeiros tratam da Geometria plana, os quatro seguintes da teoria 
dos números e os três últimos da Geometria do espaço.
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Maria Elena Simielli Geoatlas. São Paulo: Ática, 2006.
Pinturas rupestres no sítio 
arqueológico da Reserva 
Biológica de Pedra Talhada, 
localizada entre os estados de 
Alagoas e Pernambuco. (1996)
Machado e pilão de pedra, 
cerca de 2.000 anos. 
Encontrados em Cabaceiras, PB. 
(2004)
Urna funerária marajoara, cerca de 
400 a.C. Os achados arqueológicos 
são as únicas fontes de informação de 
que dispomos sobre o povo que viveu 
na ilha de Marajó. (1986)
Como se vê, a origem da Geometria é imprecisa, pois como 
afirmava o matemático Joseph Louis Lagrange (1736-1813):
Logo que houve homens na sociedade, propriedades, trocas e 
partilhas, é natural que se tenha procurado medir a extensão dos 
campos e determinar o seu contorno.
Em contraponto a essas dúvidas há uma certeza: um marco his-
tórico na construção da Geometria ocorreu no século III a.C., quan-
do o matemático grego Euclides de Alexandria organizou todo o 
conhecimento geométrico então disponível – grande parte de sua 
própria criação – em uma obra de treze volumes, imortalizada com 
o nome de Os elementos. Neste capítulo, vamos estudar uma parte 
da Geometria euclidiana.
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60 Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
PolígonosPolígonos2
Consideremos, em um plano, uma linha L formada por 
segmentos de reta, tais que:
•	 	cada	extremidade	de	qualquer	um	deles	é	extremidade	
de dois e apenas dois deles;
•	 	dois	 segmentos	 consecutivos	 quaisquer,	 dentre	 eles,	
não são colineares;
•	 	dois	 segmentos	 não	 consecutivos	 quaisquer,	 dentre	
eles, não têm ponto comum.
Essa linha L separa o plano em duas regiões, das quais 
uma é limitada. A reunião da linha L com essa região limi-
tada é chamada de polígono (do grego polús, “muitos”, 
e gonos, “ângulo”).
Notas:
1. Dois lados de um polígono são consecutivos quando têm um extremo em comum. Por 
exemplo, tAB e tBC são lados consecutivos nesse polígono.
2. Vértices consecutivos de um polígono são extremos de um mesmo lado desse polígono.
3. Diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta com extremos em dois vértices não 
consecutivos do polígono.
4. Ângulos consecutivos de um polígono são ângulos de vértices consecutivos do polígono.
5. Pode-se definir polígono como apenas a linha L, porém optamos por defini-lo como uma 
superfície plana em vez de uma linha.
 Nomenclatura
Aos polígonos que têm de três a vinte lados daremos os nomes apresentados na tabela a seguir. 
Número de lados
(número de vértices)
Nome do polígono
Número de lados
(número de vértices)
Nome do polígono
3 triângulo ou trilátero 12 dodecágono
4 quadrilátero 13 tridecágono
5 pentágono 14 tetradecágono
6 hexágono 15 pentadecágono
7 heptágono 16 hexadecágono
8 octógono ou octágono 17 heptadecágono
9 eneágono 18 octadecágono
10 decágono 19 eneadecágono
11 undecágono 20 icoságono
Quando tratarmos de polígonos com mais de vinte lados, explicitaremos o seu número de 
lados, não lhes dando nomes especiais. Porém, a título de curiosidade, é interessante saber que 
para eles também existe uma nomenclatura; por exemplo, um octacoságono é um polígono de 
28 lados e um hexacontágono é um polígono de 60 lados.
 Polígonos convexos
Em um plano, a reunião de uma reta r com qualquer uma das duas regiões separadas por ela 
é chamada de semiplano de origem r.
Semiplano de origem r
r
Um polígono é convexo se, e somente se, a reta r que contém qualquer um de seus 
lados deixa os demais lados contidos em um mesmo semiplano de origem r.
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A
B
C
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Diagonal
Vértice
Lado
Ângulo
externo
Ângulo
interno
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Exemplo
No polígono ABCDE, abaixo, a reta r que contém o lado tAB deixa os demais lados em um 
mesmo semiplano de origem r. O mesmo acontece com a reta que contém qualquer um dos 
outros lados. Por isso, dizemos que esse polígono é convexo.
r E D
CB
A
Contraexemplo (polígononão convexo)
O polígono ABCDEF, a seguir, não é convexo, pois a reta r que contém o lado tAB não deixa 
os demais lados em um mesmo semiplano de origem r.
C
B
D
EF
A
r
 Polígono regular
Um polígono convexo que possui todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos 
internos congruentes entre si é chamado de polígono regular.
Exemplos
Quadrilátero regular
(quadrado)
Triângulo regular
(triângulo equilátero)
Hexágono regular
TriângulosTriângulos3
O triângulo é o polígono fundamental, pois qualquer outro polígono pode ser 
considerado uma composição de triângulos dispostos lado a lado. Por exemplo: o 
pentágono ABCDE, abaixo, é composto pelos triângulos ABC, BCE e CDE.
B B
A
A
C C
C
B
D
D
C
E E
E
Por isso, o triângulo merece um estudo mais detalhado do que qualquer 
outro polígono.
Dois ângulos, A BOB e 
M BPQ, são congruen-
tes quando têm a 
mesma medida. Indi-
ca-se essa congruên-
cia por: A BOB  M BPQ
Dois segmentos de 
reta, tAB e tCD, são con-
gruentes quando têm 
a mesma medida. Indi-
ca-se essa congruên-
cia por: tAB  tCD
A forma triangular é muito usada em 
construções por causa da sua rigidez. Na foto 
temos a ponte João Luiz Ferreira, que liga o Piauí 
ao Maranhão. (2007)
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 Classificação dos triângulos
Podemos classificar os triângulos quanto aos seus ângulos e quanto aos seus lados.
•	 Quanto	aos	ângulos	um	triângulo	pode	ser	classificado	como:
Triângulo 
retângulo: tem um 
ângulo interno reto.
Triângulo acutângulo: tem 
os três ângulos internos 
agudos.
Triângulo 
obtusângulo: tem um 
ângulo interno obtuso.
•	 Quanto	aos	lados	um	triângulo	pode	ser	classificado	como:
Triângulo equilátero: 
tem os três lados 
congruentes entre si.
Triângulo isósceles: 
tem dois lados 
congruentes entre si.
Triângulo escaleno: tem os três 
lados com medidas diferentes 
entre si.
 Elementos de um triângulo
Altura de um triângulo é o segmento de reta que liga, perpendicularmente, um vértice à 
reta que contém o lado oposto a esse vértice.
N L
M
P
Altura relativa
ao lado TPN
(ou relativa
ao vértice M)
BH
A
C
Altura relativa ao
lado TCB (ou relativa
ao vértice A)
Notas:
1. Duas linhas retas são perpendiculares quando formam ângulos retos entre si.
2. Nesta e nas definições a seguir, quando for dito que um segmento de reta liga dois pontos, 
isso significa que os extremos do segmento são esses pontos.
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento de reta contido na bissetriz de um ângu-
lo interno, ligando um vértice ao lado oposto.
BI
A
α α
C
Bissetriz interna relativa ao
vértice A (ou relativa ao lado TCB )
Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do 
lado oposto.
BM
(ponto médio)
A
C
Mediana relativa ao vértice A
(ou relativa ao lado TCB )
Ângulo reto é todo 
aquele de medida 
90o. Ângulo agudo 
é todo aquele de me-
dida menor que 90o 
e maior que 0o. Ân-
gulo obtuso é todo 
aquele de medida 
maior que 90o e me-
nor que 180o.
O triângulo equilá-
tero também é isós-
celes, pois tem dois 
lados congruentes 
entre si.
Ponto médio de um 
segmento é aquele 
que divide o seg-
mento em duas par-
tes congruentes.
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63Geometria plana: triângulos e proporcionalidade Capítulo 3 
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Mediatriz em um triângulo é a reta perpendicular a um dos lados pelo ponto médio 
desse lado.
BM
(ponto médio)
A
C
Mediatriz relativa ao lado TCB
 Ângulos em um triângulo
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Consideremos um triângulo qualquer ABC, cujos ângulos internos BA, BB e BC têm medidas α, β 
e , respectivamente (figura 1).
Traçando por B a reta $DE %, paralela a $AC %, determinamos ângulos alternos congruentes (figura 2).
A C
B
α
β
�
A C
BD E
α
α
β
�
�
Figura 2Figura 1
Como o ângulo DBBE é raso, concluímos que: α 1 β 1  5 180°
Isso significa que:
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°.
Se achar conveniente, 
propor aos alunos as 
experiências do 
Suplemento com 
orientações para o 
professor, antes de 
introduzir os conceitos 
envolvendo ângulos em 
um triângulo.
Exercício resolvido
 R.1 Calcular a medida de cada ângulo interno de um triângulo equilátero.
Resolução
Os três ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes 
entre si. Indicando por x a medida de cada um desses ângulos, temos:
x 1 x 1 x 5 180° ⇒ 3x 5 180°
 x 5 60°
Logo, cada ângulo interno do triângulo equilátero mede 60°.
xx
x
Teorema do ângulo externo de um triângulo
Na figura abaixo, o ângulo B BAD é adjacente e suplementar de um ângulo interno do triângulo ABC; 
por isso B BAD é chamado de ângulo externo desse triângulo.
A
Ângulo externo
relativo ao vértice A
C
B
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Considerando um 
ângulo como uma 
superfície plana, e 
não uma linha, dize-
mos que dois ângu-
los são adjacentes 
quando eles têm em 
comum apenas um 
lado.
Dois ângulos são su-
plementares quan-
do a soma de suas 
medidas é 180º.
Ângulo raso é todo 
aquele cujos lados 
são semirretas opos-
tas.
Há uma importante relação entre a medida de um ângulo externo e 
as medidas dos ângulos internos de um triângulo. Para obtê-la, vamos 
traçar por B a reta r paralela a tCA e indicar por α e β as medidas dos ân-
gulos internos BC e BB, respectivamente, e por e a medida do ângulo exter-
no relativo ao vértice A. A
β
α
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C
F B
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64 Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
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Os ângulos B BCA e CBBF têm medidas iguais, por serem alternos internos formados por duas 
retas paralelas e uma transversal. Pelo mesmo motivo os ângulos B BAD e ABBF também têm medidas 
iguais, isto é:
m(B BAD) 5 m(ABBF) ⇒ e 5 α 1 β
Demonstramos, assim, o teorema:
A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos 
ângulos internos não adjacentes a ele.
Exercício resolvido
 R.2 No triângulo ABC, as expressões indi-
cadas em cada ângulo designam a me-
dida, em grau, do respectivo ângulo. 
Determinar a medida do ângulo exter-
no relativo ao vértice C.
Resolução
Pelo teorema do ângulo externo, temos:
4x 2 10° 5 2x 1 20° 1 x 1 10° ⇒ x 5 40°
Logo, a medida do ângulo externo relativo ao vértice C é 4 ? 40° 2 10°, ou seja, 150°.
C
2x � 20°
4x � 10°x � 10°
A
B
Resolva as questões 1 e 2 do Roteiro de trabalho.
Exercícios propostos
 1 As medidas, em grau, dos ângulos internos de um 
triângulo são x, 2x e 3x.
2xx
3x
Quanto mede o menor ângulo interno desse triângulo?
 2 Determine a medida do ângulo externo relativo ao 
vértice C do triângulo abaixo:
A
100°
2x � 70°
x
B C
 3 Um mastro AB de uma bandeira localiza-se sobre 
um terreno plano e horizontal. Uma pessoa, parada 
em um ponto P desse terreno, avista o ponto A sob 
um ângulo de medida α com a horizontal. Cami-
nhando em linha reta no sentido da base B do mas-
tro essa pessoa para em um ponto Q e avista o pon-
to A sob um ângulo de medida 60° com a horizontal. 
Sabendo que a medida do ângulo P BAQ é α
4
, calcule 
a medida α, em grau.
 4 Vimos que o triângulo é considerado o polígono 
fundamental, pois qualquer outro polígono podeser considerado uma composição de triângulos dis-
postos lado a lado. Por exemplo, um quadrilátero é 
composto de dois triângulos, um pentágono é com-
posto de três triângulos e um hexágono é composto 
de quatro triângulos.
B
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a) Temos que a soma dos ângulos internos de um triân-
gulo qualquer é 180°. A partir dessa informação, 
junte-se a um colega e calculem a soma dos ângu-
los internos do quadrilátero, do pentágono e do 
hexágono convexos representados acima.
b) Agora, calculem a soma dos ângulos internos de 
um polígono convexo de n vértices.
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30°30°
130°130°
48°48°
4. b) Espera-se que os alunos percebam que um polígono de n vértices pode ser 
decomposto em n 2 2 triângulos. Como a soma dos ângulos internos em 
cada um é 180°, concluímos que a soma dos ângulos internos de um 
polígono convexo de n lados (ou n vértices) é 180° ? (n 2 2).
Quadrilátero: 2 Quadrilátero: 2 ?? 180° 180° 55 360°; pentágono: 360°; pentágono:
3 3 ?? 180° 180° 55 540°; hexágono: 4 540°; hexágono: 4 ?? 180° 180° 55 720° 720°
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65Geometria plana: triângulos e proporcionalidade Capítulo 3 
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Propriedades dos triângulosPropriedades dos triângulos4
 Triângulo isósceles
Triângulo isósceles é todo triângulo que possui dois lados congruentes entre si. O extremo 
comum a esses lados é chamado de vértice do triângulo isósceles, e o lado oposto a esse vértice 
é a base do triângulo isósceles.
Propriedades
P1. Se um triângulo possui dois lados com medidas iguais, então 
os ângulos opostos a esses lados têm medidas iguais.
P2. Se um triângulo possui dois ângulos com medidas iguais, en-
tão os lados opostos a esses ângulos têm medidas iguais.
P3. A mediana, a bissetriz e a altura relativas à base do triângulo 
isósceles são segmentos coincidentes e estão contidas na me-
diatriz relativa a essa base.
Ponto médio
CMB
A
Se AB 5 AC e M é ponto médio de tBC, então o 
segmento tAM é mediana, bissetriz e altura rela-
tivas ao vértice A, e a reta $AM % é mediatriz rela-
tiva à base tBC.
Exemplo
Na situação apresentada na abertura do capítulo, os ângulos B BAC e A BCB do triângulo ABC me-
dem 90° e 45°, respectivamente. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, 
concluímos que m(A BBC) 5 45°.
Assim, dois ângulos internos do triângulo ABC têm 
medidas iguais e, portanto, os lados opostos a esses 
ângulos têm medidas iguais, ou seja, ABC é um triân-
gulo isósceles.
Concluímos, então, que AB 5 AC 5 70, ou seja, 
a largura do rio é 70 m.
IL
U
ST
R
A
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ES
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A
U
ST
In
o
CB
A
Por P1 e P2 temos:
AB 5 AC ⇔ BB 5 BC
m (A BBC ) é lido como 
“medida do ângulo 
A BBC”.
fA
U
ST
In
o
B
CA 70 m
45°
45°
 Triângulo equilátero
Triângulo equilátero é todo triângulo que possui os três lados congruentes entre si. Assim, 
todo triângulo equilátero também é isósceles, pois tem dois lados congruentes entre si.
Propriedade
Cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede 60°.
 Triângulo retângulo
Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo interno reto. Os lados do triân-
gulo que formam esse ângulo reto são chamados de catetos, e o terceiro lado é a hipotenusa.
A medida de um 
segmento de reta tAB 
é indicada por AB 
(sem o traço).
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66 Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
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Propriedades
 Para justificar a propriedade P2, consideremos o retângulo ABCD, ao lado.
 As diagonais de um retângulo são congruentes e o ponto comum às duas é ponto médio de 
cada uma. Logo, M é ponto médio da hipotenusa tBC do triângulo ABC. Como AM 5 
AD
2
 e 
AD 5 BC, concluímos que AM 5 
BC
2
.
 Portanto, a mediana tAM divide o triângulo retângulo ABC em dois triângulos isósceles.
D
A
M
B
C
Exercício resolvido
 R.3 No triângulo retângulo ao lado, em que M é o ponto mé-
dio da hipotenusa, determinar as medidas dos ângulos 
internos do triângulo AMB.
Resolução
Como o triângulo AMC é isósceles de base tAC, então o ân-
gulo M BAC mede 20°.
B BMA é externo do AMC ⇒ m(B BMA) 5 20° 1 m(M BAC) (I)
Substituindo a medida do ângulo M BAC em (I), temos: m(B BMA) 5 20° 1 20° 5 40°
AMB é isósceles de base tAB e m(B BMA) 5 40° ⇒ m(M BAB) 5 m(M BBA) 5 70°
Portanto, os ângulos internos do triângulo AMB medem 70°, 40° e 70°.
20°
A
B
C
M
Exercícios propostos
 5 No triângulo ABC da figura, 
tem-se que AB 5 AC. Deter-
mine a medida x, em grau.
 6 No projeto de um avião, um engenheiro desenhou 
três eixos, r, s e t, que denominou eixo do corpo do 
avião e eixos das asas, conforme a figura abaixo.
t sA B
r
Eixo da 
asa esquerda
Eixo da
asa direita
Eixo do corpo do avião
O
Cada um dos ângulos obtusos que r forma com s ou 
t mede 30° a mais que a medida do ângulo A BOB. 
Sabendo que as asas têm comprimentos iguais, a 
medida do ângulo OBBA é:
a) 40° b) 50° c) 56° d) 58° e) 60°
 7 Há milhares de anos, um meteorito com mais de 
um milhão de toneladas chocou-se com o solo no 
Arizona, EUA, formando uma enorme cratera 
(Cratera de Barringer). Para medir o diâmetro des-
sa cratera, um geólogo fixou dois pontos, A e B, ex-
tremos de um diâmetro da cratera, e caminhou 
1.260 m a partir do ponto A, perpendicularmente a 
tAB, até um ponto C, tal que m(A BCB) 5 45°.
Qual é a medida do diâmetro tAB?
Cratera de Barringer, Arizona, Estados Unidos. (1995)
PH
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To
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C
/G
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G
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B
x
110°
C
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o
P1. Os ângulos agudos de um triângulo 
retângulo são complementares.
β
α
α 1 β 5 90°
P2. Em todo triângulo retângulo, a 
mediana relativa à hipotenusa mede 
metade da hipotenusa.
B
A C
M (ponto médio) AM 5 
BC
2
Dois ângulos são 
complementares 
quando a soma de 
suas medidas é 90°.
fA
U
ST
In
o
40°40°
1.260 m1.260 m
alternativa alternativa aa
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67Geometria plana: triângulos e proporcionalidade Capítulo 3 
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 8 (Ceeteps-SP) Analise as sentenças relativas à figura 
a seguir.
 I. O triângulo CDE é isósceles.
 II. O triângulo ABE é equilátero.
 III. AyE % é bissetriz do ângulo B BAD.
45°
B CE
A D
60°
60°
É verdade que:
a) somente a afirmativa I é falsa;
b) somente a afirmativa II é falsa;
c) somente a afirmativa III é falsa;
d) são todas afirmativas falsas;
e) são todas afirmativas verdadeiras.
 9 O triângulo ABC é 
isósceles de base tBC e 
M é ponto médio da 
base.
Determine a medida 
do ângulo A BBC.
 10 No triângulo retângulo ABC temos: M é ponto mé-
dio de tBC, m(M BAC ) 5 30° e CM 5 3 cm.
Calcule o perímetro do triângulo ABM.
A C
B
M
(Lembrete: perímetro de um polígono é a soma das 
medidas dos seus lados.)
B M C
A
x
35°
Teorema de TalesTeorema de Tales5
Tales de Mileto é considerado o primeiro filósofo grego e é também o primeiro homem da 
História a quem se atribuem descobertas matemáticas específicas, embora, antes dele, a humani-
dade já tivesse acumulado um conhecimento matemático. Um dos teoremas associados ao nome 
de Tales trata da proporção entre segmentos de reta, conforme é enunciado a seguir.
Consideremos três retas paralelas, p, q, r, “cortadas” por duas transversais, s e t.
A
B
C F
E
D
s t
p
q
r
Dizemos que dois segmentos das transversais s e t são correspondentes quando seus extremos 
pertencem às mesmas paralelas. Por exemplo: tAB e tDE são correspondentes, pois seus extremos per-
tencemàs mesmas paralelas p e q; de modo análogo, são correspondentes tAC e tDF, tCB e tFE.
Tales demonstrou que a razão entre dois segmentos de uma mesma transversal é igual à razão 
entre os segmentos correspondentes na outra transversal, isto é:
AB
BC
DE
EF
AB
AC
DE
DF
CB
CA
FE
FD
    ;     ;    5 5 5
Esse teorema pode ser generalizado para mais de três paralelas, como segue.
Se três ou mais retas paralelas concorrem com duas retas transversais, então a razão 
entre dois segmentos de uma mesma transversal é igual à razão entre os segmentos corres-
pondentes da outra transversal.
Tales de Mileto
(624 a.C.-548 a.C.), 
gravura do século XVII.
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55°55°
9 cm9 cm
alternativa alternativa ee
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68 Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
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Exercício resolvido
 R.4 As retas p, q e r, representadas a seguir, são paralelas. Determinar a medida x.
3
5
r
q
p
x
x � 4
Resolução
Pelo teorema de Tales, temos: x
x    
   
1
5
4
3
5
Logo,
5x 5 3x 1 12 ⇒ 2x 5 12
 x 5 6
Exercícios propostos
 11 Determine a medida x em cada figura:
a) r // s // t
9
8
x
12
r
s
t
d) r // s
x
x 4
9
r
s
b) r // s // t
2
6x
12
r
s
t
e) r // s
x � 2 x � 1
r
6 4
s
c) r // s // t
t
x � 1 x � 2
10
8
r s
 
 12 O terreno de uma fazenda tem a forma de um trapézio de bases tAB e tCD, com AD 5 9 km 
e BC 5 12 km. A partir de um ponto E do lado tAD, com AE 5 6 km, o fazendeiro pretende 
construir uma estrada paralela a tAB que cruze a fazenda até um ponto F do lado tBC. 
Calcule a distância FC.
9 km 12 km
6 km
D C
E F
BA
fA
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4 km4 km
66
99
33
66
7
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69Geometria plana: triângulos e proporcionalidade Capítulo 3 
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Semelhança de figuras planasSemelhança de figuras planas6
Certamente você já viu na vitrine de alguma loja dois ou 
mais televisores mostrando a mesma imagem. As figuras mos-
tradas nas telas têm a mesma forma, mas não necessariamente 
o mesmo tamanho. Tendo o mesmo tamanho ou não, dizemos 
que essas figuras são semelhantes.
Intuitivamente, duas figuras planas são semelhantes 
quando têm a mesma forma, não importando se têm ou não o 
mesmo tamanho.
Exemplos
a) Dois quadrados quaisquer são figuras semelhantes.
 Se os quadrados tiverem o mesmo tamanho, então eles são congruentes. A congruência 
é um caso particular da semelhança. Indica-se a semelhança de duas figuras A e B por A , B, 
e a congruência entre duas figuras C e D por C  D.
b) Duas circunferências quaisquer são figuras semelhantes.
c) Dois retângulos são semelhantes somente quando os lados de um deles são proporcionais 
aos do outro.
5 cm
10 cm
16 cm
8 cm
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos7
O conceito intuitivo de semelhança é muito importante, porém devemos formalizá-lo. Para 
isso, adotamos a definição a seguir.
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, existe uma correspondência biunívo-
ca, que associa os três vértices de um dos triângulos aos três vértices do outro tal que:
I. ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
II. lados opostos a vértices correspondentes são proporcionais.
A
C
D
E FB
ABC , DEF ⇔ 
B B
B B
B B
A D
B E
AB
DE
BC
EF
AC
DF
C
   
                
   



e  5 5
FF  






Uma correspondên-
cia biunívoca entre 
dois conjuntos não 
vazios A e B associa 
cada elemento de A 
a um único elemen-
to de B e cada ele-
mento de B a um 
único elemento de A.
J 
M
A
R
SH
A
LL
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70 Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
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 Casos de semelhança de triângulos
Pela definição de semelhança de triângulos é necessário que sejam obedecidas seis condições: 
três congruências e três proporcionalidades. Porém, escolhendo adequadamente algumas dentre 
essas seis condições, percebemos que, se elas forem obedecidas, as outras também o serão. Qual-
quer conjunto formado por uma quantidade mínima de condições capazes de garantir a seme-
lhança de dois triângulos é chamado de caso de semelhança. A seguir apresentamos os casos 
principais.
Caso A.A. (ângulo-ângulo)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, têm dois ângulos respectivamente con-
gruentes.
A
C
D
E FB
B B
B B
B E
C F
   
   


e





 ⇔ ABC , DEF
Caso L.A.L. (lado-ângulo-lado)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, têm dois lados, respectivamente, propor-
cionais; e são congruentes os ângulos formados por esses lados.
A
C
D
E FB
AB
DE
BC
EF
B E
   
   
5
e
B B







 ⇔ ABC , DEF
Caso L.L.L. (lado-lado-lado)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, têm os três lados, respectivamente, pro-
porcionais.
A
C
D
E FB
AB
DE
BC
EF
AC
DF
       5 5 ⇔ ABC , DEF
Notas:
1. Ao indicar a semelhança por ABC , DEF estamos afirmando que os vértices A, B e C são, 
respectivamente, os correspondentes dos vértices D, E e F.
2. Lados opostos a ângulos correspondentes são chamados de lados correspondentes.
3. A razão entre dois lados correspondentes é chamada razão de semelhança. A razão de 
semelhança também pode ser obtida através da razão entre dois segmentos corresponden-
tes quaisquer: alturas, medianas, bissetrizes etc., conforme a demonstração a seguir.
Demonstração
Consideremos que ABC , DEF.
A
C
D
E FB
A razão de semelhança do triângulo ABC para DEF é o número k tal que:
k
AB
DE
BC
EF
AC
DF
            ( )5 5 5 I
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Traçando as alturas correspondentes tAH e tDI, concluímos, pelo caso A.A., que os triângu-
los ABH e DEI são semelhantes:
A
C
D
E
IH
FB
Logo, temos:
AH
DI
AB
DE
    ( )5 II
Em (I), observamos que 
AB
DE
k    ;5 logo, de (II), podemos concluir que 
AH
DI
k    ,5 ou seja, a 
razão entre as alturas correspondentes tAH u e tDI é a razão de semelhança entre os triângulos.
De maneira análoga, pode-se demonstrar que a razão de semelhança se mantém para 
dois comprimentos correspondentes quaisquer: medianas, bissetrizes, perímetros etc.
Exercícios resolvidos
 R.5 Um projetor de slide, colocado a 9 m de distância 
de uma tela, projeta um retângulo de altura 6 m. 
A que distância da tela deve ser colocado o proje-
tor para que o retângulo projetado tenha 2 m de 
altura?
9 m
6 m
2 m
Resolução
Sendo d a distância procurada, esquematizamos:
6 2
9
A
B
C
D E
F
G
Hd
Temos que ABC ~ EFG e que a razão de seme-
lhança é a razão entre dois comprimentos corres-
pondentes quaisquer. Assim, temos:
BC
FH
AD
EG d
d d
           
   d d   d d
5 55 55 55 5
d d5 5d d
⇒   ⇒   5 5⇒5 5
⇒
6
2
9
6 1d d6 1d d   6 1   d d   d d6 1d d   d dd d   d d6 1d d   d dd d5 5d d6 1d d5 5d d8 3d d8 3d d   8 3   d d   d d8 3d d   d dd d8 3d dd d   d d8 3d d   d d5 58 35 5d d5 5d d8 3d d5 5d dd d⇒d d8 3d d⇒d dd d5 5d d⇒d d5 5d d8 3d d5 5d d⇒d d5 5d d
Logo, a distância entreo projetor e a tela deve ser 3 m.
 R.6 Determinar a medida do lado tAB do triângulo 
ABC abaixo, sabendo que B BAC  D BBC.
A
B
D
C
6 cm
3 cm
4 cm
x
Resolução
Separando os triângulos ABC e BDC, e observando 
que B BAC  D BBC e B BCA  B BCD ( BC é ângulo comum 
aos dois triângulos), concluímos que ABC , BDC 
(caso A.A.). Marcando os ângulos congruentes 
com o mesmo número de arquinhos, temos os
triângulos abaixo.
A
B
D C
B
C
6
4
3
x
Para montar a proporção entre as medidas dos la-
dos, colocamos como numeradores as medidas dos 
lados de um mesmo triângulo e em cada denomi-
nador colocamos o correspondente do numerador 
(lados correspondentes são lados opostos a ângulos 
congruentes), isto é:
x
x
4
6
3
8           5 5x5 5x5 55 5⇒   ⇒   5 5⇒5 5
Logo, o lado tAB mede 8 cm.
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72 Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
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Resolva as questões 3 e 4 do Roteiro de trabalho.
Exercícios propostos
 13 No triângulo ABC abaixo, o segmento tED é parale-
lo a tBC. Determine as medidas tAE e tAD.
A
B
E D
C
6
9
18
12
 14 Na figura a seguir, tAB // tDE. Determine as medidas 
x e y.
A B16
y
x8
21 12
D E
C
 15 (Unir-RO) Na figura, tem-se D BAB  D BBC. A medi-
da x é:
5
x
D
C B
A
10
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
 16 O esquema abaixo, fora de escala, representa uma 
pessoa em frente a uma máquina fotográfica cuja 
base é paralela ao piso plano e horizontal.
Diafragma
Se a distância entre a pessoa e o diafragma da máqui-
na é 3 m, a distância entre o diafragma e o filme é 6 cm 
e a altura da pessoa é 1,75 m, calcule a altura, em cen-
tímetro, da imagem da pessoa projetada no filme.
 17 Em uma noite de Lua cheia, Paulo e Renata realiza-
ram a seguinte experiência: Paulo fechou um dos 
olhos e Renata segurou uma moeda de 2,5 cm de 
diâmetro entre a Lua e o olho aberto de Paulo, de 
modo que o jovem visse a moeda coincidindo com 
a imagem do disco lunar; a seguir, mediram a dis-
tância entre a moeda e o olho aberto de Paulo, ob-
tendo 290 cm. Sabendo que a distância da Terra à 
Lua é 4  105 km, os jovens estimaram a medida do 
diâmetro da Lua. Com esses dados, que medida, 
em quilômetro, se obtém para o diâmetro da Lua?
 18 (Vunesp) Um observador situado num ponto O, lo-
calizado na margem de um rio, precisa determinar 
sua distância até um ponto P, localizado na outra 
margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com 
estacas, outros pontos do lado da margem em que 
se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinha-
dos entre si e P, A e C também. Além disso, tOA é 
paralelo a tBC, OA  25 m, BC  40 m e OB  30 m, 
conforme mostra a figura.
P
AO
B C
rio
A distância, em metro, do observador em O até o 
ponto P é:
a) 30 
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
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LH
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R
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3,5 cm3,5 cm
 3,45 3,45  10 1033 km km
AEAE  12; 12; ADAD  8 8
xx  14 e 14 e yy  24 24
alternativa alternativa dd
alternativa alternativa ee
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Relações métricas no triângulo 
retângulo
Relações métricas no triângulo 
retângulo
8
Considerando o triângulo retângulo ABC ao lado, temos:
•	 b e c são as medidas dos catetos;
•	 a é a medida da hipotenusa;
•	 h é a medida da altura relativa à hipotenusa;
•	 m é a medida da projeção ortogonal do cateto tAB sobre a hipotenusa;
•	 n é a medida da projeção ortogonal do cateto tAC sobre a hipotenusa.
Vamos demonstrar as seguintes relações métricas:
ah 5 bc ch 5 bm a2 5 b2 1 c2 (teorema de Pitágoras)
c2 5 am bh 5 cn
b2 5 an h2 5 mn
Demonstrações
O triângulo retângulo ABC pode ser separado em três triângulos semelhantes entre si.
B BCa
hh
b
c
nm
AA
CHH
A
c
b
Assim, temos:
•	 ABC , HBA ⇔ 
a
c
b
h
c
m
       5 5
 Logo: ah 5 bc, c2 5 am, ch 5 bm
•	ABC , HAC ⇔ 
a
b
b
n
c
h
       5 5
 Logo: b2 5 an, ah 5 bc, bh 5 cn
•	HBA , HAC ⇔ 
c
b
h
n
m
h
       5 5
 Logo: bh 5 cn, ch 5 bm, h2 5 mn
•	 Para	demonstrar	o	teorema	de	Pitágoras,	basta	adicionar,	membro	a	membro,	as	
relações b2 5 an e c2 5 am, obtendo:
b2 1 c2 5 an 1 am ⇒ b2 1 c2 5 a(n 1 m)
 Como n 1 m 5 a, concluímos que: b2 1 c2 5 a2
 Nota:
 Nenhuma outra proposição matemática possui tantas demonstrações quanto o teorema 
de Pitágoras. Em 1940, o professor norte-americano Elisha Scott Loomis publicou, em seu 
livro The Pythagorean Proposition, 367 demonstrações diferentes desse teorema. Uma de-
las é apresentada a seguir.
 Consideremos quatro triângulos retângulos congruentes entre si, cuja hipotenusa tem 
medida a e os catetos têm medidas b e c:
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
B C
A
c
h
H
a
b
m n
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74 Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
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Exercício resolvido
 Dispondo esses triângulos conforme a figura abaixo, temos que as hipotenusas são 
lados de um quadrado inscrito no quadrado cujos lados são formados por catetos:
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
 Observando que a área do quadrado de lado b 1 c é igual à soma das áreas dos quatro 
triângulos com a área do quadrado de lado a, podemos escrever:
(     )            b c
bc
a1 5 12 24
2
?
 Assim, concluímos:
b2 1 2bc 1 c2 5 2bc 1 a2 ⇒ b2 1 c2 5 a2
 R.7 Em um retângulo ABCD, tem-se AB 5 8 cm e BC 5 6 cm. Calcular:
a) a medida da diagonal tAC;
b) a distância do ponto B à diagonal tAC;
c) a medida da projeção ortogonal do lado tAB sobre a diagonal tAC.
Resolução
a) Traçando a diagonal tAC, obtém-se o triângulo retângulo ABC.
Indicando por x a medida, em centímetro, dessa diago-
nal, temos pelo teorema de Pitágoras:
x2 5 62 1 82 ⇒ x2 5 100
 x 5 110 ou x 5 210
Excluímos o valor 210, porque x é necessariamente posi-
tivo; logo, a medida da diagonal tAC é 10 cm.
b) A distância de B à diagonal tAC é a medida h da altura tBB’ relativa à hipotenusa do tri-
ângulo retângulo ABC.
 Uma das relações métricas no triângulo retângulo afirma 
que o produto das medidas da hipotenusa e de sua altura 
relativa é igual ao produto das medidas dos catetos. As-
sim, no triângulo ABC, temos:
10h 5 8 ? 6
 h 5 4,8
 Concluímos, então, que B dista 4,8 cm da diagonal tAC.
c) Observando a figura apresentada no item b, vemos que a projeção ortogonal do lado 
tAB sobre a diagonal tAC é o segmento tAB’.
 Uma relação métrica no triângulo retângulo garante que o quadrado da medida de um 
cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto.
 Indicando por y a medida da projeção tAB’ do cateto tAB sobre a hipotenusa tAC, temos:
82 5 10y
 y 5 6,4
 Concluímos, então, que AB’ é igual a 6,4 cm.
A B
CD
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A B
h
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Exercícios propostos
 19 Determine as medidas a, h, m e n no triângulo re-
tângulo ABC a seguir.
B
H
C
A
3 4
h
m n
a
 20 Calcule a medida da altura relativa à base tBC do 
triângulo isósceles.
B C
A
5 cm 5 cm
8 cm
 21 No triângulo retângulo ABC abaixo, calcule a me-
dida daprojeção ortogonal do cateto tAC sobre a 
hipotenusa.
B
H
C
A
5
12
 22 (Enem) Na figura abaixo, que representa o projeto 
de uma escada com cinco degraus de mesma altura, 
o comprimento total do corrimão é igual a:
30 cm
30 cm
90 cm
90 cm
corrimão
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
a) 1,8 m d) 2,1 m
b) 1,9 m e) 2,2 m
c) 2,0 m
 23 (UFPE) Uma embarcação está presa ao cais por um 
cabo horizontal de comprimento 2,9 m. Quando a 
maré baixar 2,0 m, qual será a distância, em decíme-
tro, medida na horizontal, da embarcação ao cais?
 24 Nas armações de madeira que suportam telhados, 
são construídas estruturas sob a forma de triângu-
los isósceles ABC de base tBC, chamadas de tesoura 
de telhado, conforme mostra a figura abaixo, em 
que N, M e P dividem a base tBC em quatro partes 
congruentes.
A
D E
C M N P B
Se AN  3 m e ND  2,5 m, calcule a metragem 
linear de caibros necessária para a construção des-
sa estrutura.
 25 (Enem) Quatro estações distribuidoras de energia 
A, B, C e D estão dispostas como vértices de um 
quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir 
uma estação central que seja ao mesmo tempo 
equidistante das estações A e B e da estrada (reta) 
que liga as estações C e D. A nova estação deve ser 
localizada:
a) no centro do quadrado;
b) na perpendicular à estrada que liga C e D pas-
sando por seu ponto médio, a 15 km dessa es-
trada;
c) na perpendicular à estrada que liga C e D 
passando por seu ponto médio, a 25 km des-
sa estrada;
d) no vértice de um triângulo equilátero de base 
tAB, oposto a essa base;
e) no ponto médio da estrada que liga as estações 
A e B.
 Cálculo da medida da diagonal de um quadrado e 
da altura de um triângulo equilátero
A medida d da diagonal de um quadrado cujo lado tem medida a pode ser calculada pelo 
teorema de Pitágoras.
d
a
a
d 2  a 2  a 2 ⇒ d 2  2a 2 
∴ d  2 2a ⇒ d  a 2
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3 cm
HCHC  28,8 28,8
alternativa alternativa cc
29 m29 m
21 dm21 dm
aa  5; 5; hh  2,4; 2,4; mm  1,8 e 1,8 e nn  3,2 3,2
alternativa alternativa 
o comprimento total do corrimão é igual a:
alternativa 
o comprimento total do corrimão é igual a:o comprimento total do corrimão é igual a:
dd
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Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
De modo análogo, a medida h da altura de um triângulo equilátero cujo lado tem medida a 
pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras.
h a
a
2
h
a
   
3
2
h
a
a h
a
h
a
2
2
2 2
2
2
2
3
4
3
4
               
        
  





⇒
 ⇒⇒
Exemplos
a) A diagonal de um quadrado de lado 5 cm mede 5 2 cm.
b) A diagonal de um quadrado de lado 2 m mede 2 2    m, ou seja, 2 m.
c) A altura de um triângulo equilátero de lado 7 cm mede 
7 3
2
 cm.
d) A altura de um triângulo equilátero de lado 3 cm mede 
3 3
2
   
 cm, ou seja, 
3
2
 cm.
Exercícios propostos
 26 Na figura, ABCD é um qua-
drado de lado 5 cm.
Calcule a medida da altura 
do triângulo equilátero DBE.
 27 De um ponto C, o piloto de um avião avista um 
ponto A na cabeceira da pista de um aeroporto, a
7 km de distância, 
sob um ângulo de 45° 
com a vertical tCB, 
conforme mostra a 
figura ao lado. A que 
altura, em relação à 
pista do aeroporto, 
encontra-se o avião?
 28 Um cabo de aço de 10 m de comprimento é esticado 
do topo de um poste a um ponto de um terreno pla-
no e horizontal, de modo que o ângulo entre o cabo 
e o solo mede 30°.
30°
Calcule a medida da altura do poste.
(Sugestão: Imagine a metade de um triângulo equi-
látero.)
D
A B
C
E
 1 Em duplas, respondam:
a) O que é um polígono regular?
b) Como podemos classificar os triângulos? 
c) Por que o triângulo pode ser considerado o polígono fundamental?
 2 Junte-se a um colega e enunciem com suas palavras o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo e o teorema 
do ângulo externo de um triângulo. Expliquem como, a partir do teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo, 
pode-se calcular a soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo.
 3 Reúna-se em grupo e escolham situações do dia a dia nas quais esteja presente o conceito de semelhança de figuras planas.
 4 Em duplas, respondam à questão.
A definição de triângulos semelhantes explicita seis condições: as congruências entre os três ângulos internos e as proporcio-
nalidades entre os três lados. Para demonstrar que dois triângulos são semelhantes, é preciso constatar as seis condições? 
Justifique.
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Roteiro de trabalho 
B
C
A
45°
7 km
1. b) Podemos classificar os triângulos quanto aos ângulos (triângulo retângulo, 
triângulo acutângulo e triângulo obtusângulo) e quanto aos lados (triângulo 
equilátero, triângulo isósceles e triângulo escaleno).
Espera-se que os alunos escolham situações em que as figuras têm a mesma forma, não importando se têm ou não o mesmo tamanho.
Porque qualquer outro polígono pode ser considerado uma composição de triângulos dispostos lado a lado.
Ver Suplemento com orientações para o professor.
Ver Suplemento com orientações para o professor.
5 m5 m
Polígono regular é todo polígono convexo que possui todos os lados congruentes entre si e todos os 
ângulos internos congruentes entre si.
5 65 6
2
 cm
7 27 2
2
 km
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77Geometria plana: triângulos e proporcionalidade Capítulo 3 
Exercícios complementares
 1 No triângulo isós-
celes de base tBC 
da figura, deter-
mine a medida 
do ângulo inter-
no BA.
 2 (Fuvest-SP) Na figura, AB  BD  CD.
Então:
a) y  3x
b) y  2x
c) x  y  180°
d) x  y
e) 3x  2y
 3 Um triângulo ABC, retângulo em A, possui um ângu-
lo interno de 30°. Calcule a medida de um ângulo agu-
do formado pela altura e pela bissetriz interna, ambas 
relativas ao vértice A.
 4 (UFMA) Um triângulo retângulo possui um ângulo 
interno de 40°. A medida do ângulo agudo determina-
do pela mediana e pela altura, ambas relativas à hipo-
tenusa, é:
a) 10° b) 20° c) 25° d) 30° e) 35°
 5 Uma escala termométrica é uma sequência de valores 
numéricos em que para cada valor é associada uma 
temperatura. A escala Celsius adota, sob pressão nor-
mal, ao nível do mar, o valor 0 (zero) para a tempera-
tura de congelamento da água e o valor 100 para a 
temperatura sob a qual a água entra em ebulição. Na 
escala Fahrenheit, são atribuídos os valores 32 e 212 a 
essas temperaturas, respectivamente.
No esquema a seguir, as três retas representadas pelos 
tracejados são 
paralelas e con-
correm com as 
duas transver-
sais, que simbo-
lizam as escalas 
Celsius (°C) e 
Fahrenheit (°F).
Aplicando o teo-
rema de Tales, 
determine a tem-
peratura em grau
Fahrenheit (°F) 
correspondente 
a 75 °C.
 6 Para a realização de uma experiência, uma rampa reta 
e plana de 2 m de comprimento, de plástico transpa-
rente, foi colocada sobre um terreno plano e horizon-
tal. Quando os raios de sol eram perpendiculares ao 
terreno, fez-se rolar uma bola desde o ponto mais alto 
da rampa até o solo, observando-se que a sombra da 
bola sobre o terreno percorreu uma distância de 1,6 m. 
Que distância percorreu essa sombra, quando a bola 
se deslocou 50 cm sobre a rampa?
 7 Um estudante posicionou-se a 50 m de distância de 
um prédio e colocou, a 16 cm de seus olhos, uma has-
te vertical de 20 cm de comprimento tal que a haste e 
o prédio ficassem sob o mesmo ângulo visual, confor-
me a figura.
A partir dessa situação, o jovem calculou a altura do 
prédio. Qual é essa altura, em metro?
 8 Na construção da estrutura de um telhado, um carpin-
teiro montou um triângulo isósceles formado por trêsvigas, de 5 m, 5 m e 8 m. Para dar rigidez à estrutura, 
ele fez uma triangulação conforme o esquema abaixo.
5 m5 m
4 m 4 m
Quantos metros de viga foram usados nessa peça?
 9 Para calcular o comprimento de um túnel que será 
construído em linha reta, ligando dois pontos, A e B, 
da base de uma montanha, um topógrafo posicionou 
seu teodolito em um ponto C tal que m(A BCB)  90°; a 
seguir mediu as distâncias AC e BC, obtendo 60 m e 
80 m, respectivamente.
O comprimento do tú-
nel, em metro, será:
a) 120
b) 100
c) 110
d) 80
e) 92
 10 Para calcular a distância entre um navio A e o cais, 
uma pessoa marcou um ponto B na margem do cais 
de maneira que tAB fosse 
perpendicular a essa mar-
gem; a seguir, caminhou 
50 m perpendicularmen-
te a tAB, até um ponto C, 
constatando que o ângulo 
A BCB media 60°. A que 
distância do cais estava o 
navio?
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A
B
x � 5°
2x � 10°
C
A
x
y
B
D
C
M
100 °C
75 °C
0 °C
212 °F
32 °F
x
N
P
M�
N�
P�
A B
C
60°
CB
A
Cais50 m
60°
0,4 m
62,5 m
15°
alternativa a
alternativa a
alternativa b
167 °F
25,8 m
50 3  m
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78 Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
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MAT – PAIVA – PNLEM – Vol.1 – Cap. 01 – 1.ª Prova (FORMATO ☎ 2618-1009 • 3569-1878)
Matemática sem fronteiras
Geometria e arte
Ao observar uma rua longa e reta tem-se a impressão de que suas margens convergem para um 
ponto da linha do horizonte (LH). Em Geometria, esse ponto é chamado de ponto de fuga (PF).
Claude Monet. A rua de Saint-Denis, 
Festa de 30 de junho de 1878, 1878, 
76  52 cm.
Rua em Paraty, Rio de Janeiro. (2009)
O ponto de fuga foi descoberto no século XV pelo arqui-
teto italiano Filippo Brunelleschi (1377-1446). Acredita-se 
que essa descoberta tenha tido origem no hábito de Brunel-
leschi de desenhar as silhuetas de edifícios contornando 
suas imagens em um espelho. Desse modo, o arquiteto per-
cebeu que todas as linhas dos desenhos convergiam para a 
linha do horizonte. Nascia, então, o método geométrico de 
construção da perspectiva, que é a técnica de representação 
de figuras tridimensionais através de desenhos, de modo que 
se tenha a ilusão da espessura e profundidade das figuras.
Observe o quadro ao lado, do pintor impressionista 
Claude Monet: a perspectiva direciona nosso olhar para o 
final da rua, no centro do quadro.
Uma figura tridimensional pode ser representada por um desenho com mais de um ponto 
de fuga; por exemplo, as figuras abaixo mostram um cubo representado com dois ou três pon-
tos de fuga.
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LH
PF1
cubo com dois
pontos de fuga
cubo com três
pontos de fuga
PF2
LH
PF1 PF2
PF3
Um desenho que pretenda representar fielmente a realidade deve manter a proporção entre 
suas medidas. Por exemplo, o desenho de um cubo em perspectiva deve assegurar a ilusão de que 
suas faces são quadrados congruentes. Esse efeito é conseguido por meio de medidas obtidas por 
semelhança de triângulos.
PF PFLH LH
Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
Para um estudo detalhado sobre esse Para um estudo detalhado sobre esse 
assunto, sugerimos o endereço eletrônico assunto, sugerimos o endereço eletrônico 
<http://www.perspectivaquadrilatera.<http://www.perspectivaquadrilatera.
net/y.tessuto/livro/localiz_pfuga.htm>.net/y.tessuto/livro/localiz_pfuga.htm>.
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79Geometria plana: triângulos e proporcionalidade Capítulo 3 
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MAT – PAIVA – PNLEM – Vol.1 – Cap. 01 – 1.ª Prova (FORMATO ☎ 2618-1009 • 3569-1878)
 1 Observe as imagens abaixo e responda aos itens.
Explique como se determinam: um ponto de fuga na figura 1, dois pontos de fuga na figura 2 e três pontos de fuga na 
figura 3.
 2 Vimos que um desenho que pretenda representar fielmente a realidade deve manter a proporção entre suas medidas. 
Para obter esse efeito, aplicamos o conceito de semelhança de triângulos. Observe a representação do cubo e do seu 
ponto de fuga.
H
LH PF
D
G
C
A B
F
Encontre dois triângulos semelhantes na figura acima e identifique um caso de semelhança.
 3 Em dupla, escolham um objeto à sua volta que lembre um paralelepípedo, por exemplo, borracha, caderno, livro etc. 
Desenhem, utilizando régua, o objeto de três maneiras diferentes: com 1, 2 ou 3 pontos de fuga.
Atividades
FA
U
ST
IN
O
79
Casarões da rua Triunfo no bairro da Luz, São Paulo, SP. (2007)
Estrada de ferro, sul dos Estados Unidos. (2005)
Prédio em Potsmader Platz em Berlim, na Alemanha. (2007)
D
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M
 M
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Figura 2
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Figura 1
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Figura 3
Geometria plana: triângulos e proporcionalidade Capítulo 3 
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Resposta pessoal.Resposta pessoal.
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