Cap 28 - Circunferencia

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Capítulo 28: Circunferência 
 
Resposta da questão 01: [B] 
 
Triângulo 
ℎ =
𝑙√3
2 → 6 =
𝑙√3
2 → 𝑙 = 4√3 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜	𝑑𝑜	𝑇𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 3 ∙ 4√3 = 12√3 
 
Quadrado 
 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜	𝑑𝑜	𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 4 ∙ 𝑙 = 4 ∙ 6 = 24 
 
Círculo 
 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜	𝑑𝑜	𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 2 ∙ 𝜋 ∙
6
2 = 6𝜋 
 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜	𝑑𝑜	𝐵𝑎𝑟𝑏𝑎𝑛𝑡𝑒 = 12√3 + 24 + 6𝜋 
 
Resposta da questão 02: [A] 
 
𝐴! = 𝜋 ∙ 𝑟" = 𝜋 ∙ 2" = 4𝜋	𝑚" 
𝐴" = 3" = 9	𝑚" 
 
𝐴!
𝐴"
=
4𝜋
9 
 
Resposta da questão 03: [B] 
 
𝐴# = 𝜋 ∙ 𝑟" → 𝜋 ∙ F
12
2 G
"
→ 36𝜋 → 111,6	𝑚𝑚" 
𝐴$ = 𝜋 ∙ 𝑟" → 𝜋 ∙ F
8
2G
"
→ 16𝜋 → 49,6	𝑚𝑚" 
 
Á𝑟𝑒𝑎	𝑑𝑎	ï𝑟𝑖𝑠 = 1116,6 − 49,6 = 62	𝑚𝑚" 
 
Resposta da questão 04: [C] 
 
 
As partes de !
%
 de circunferência em 1 e 4, 
complementam 2 circunferências completas em 2 e 3. 
 
𝐶 = 2 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑟 → 2 ∙ 2𝜋 ∙ 2 → 𝐶 = 8𝜋	𝑐𝑚	 
 
Resposta da questão 05: [B] 
 
 
 
𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙	𝑑𝑜	𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 1 ∙ √2 = √2 
𝑙 = √2 + 1 + 1 = 2 + √2 
 
Resposta da questão 06: [A] 
 
10
2 = 5	𝑐ô𝑣𝑎𝑑𝑜𝑠	𝑑𝑒	𝑟𝑎𝑖𝑜 
2 ∙ 𝜋 ∙ 5 = 30 → 10𝜋 = 30 → 𝜋 = 3 
 
Resposta da questão 07: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 08: [A] 
 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒	𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
𝑙 + 2𝑙
2 =
3𝑙
2 
𝐿𝑎𝑑𝑜	𝑑𝑜	𝑇𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 =
3𝑙
2 
 
 
 
𝑟 =
1
3 ∙ ℎ → 𝑟 =
1
3 ∙
𝑙√3
2 → 𝑟 =
√3 ∙ 𝑙
4 
 
𝑅𝑎𝑖𝑜	𝑑𝑎	𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝐿𝑎𝑑𝑜	𝑑𝑜	𝐻𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜 =
√3 ∙ 𝑙
4
𝑙 =
√3
4 
 
 
 
2 
Resposta da questão 09: [D] 
 
Quantas Frações de áreas estão sobrepostas? 
(Análise cada um dos círculos) 
Resposta: 6 frações de áreas 
 
Á𝑟𝑒𝑎	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ 6 = 12	𝑑𝑚" 
Á𝑟𝑒𝑎	𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 = 6 ∙
1
3 = 2	𝑑𝑚" 
Á𝑟𝑒𝑎	𝑐𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎 = 12 − 2 = 10	𝑑𝑚" 
 
Resposta da questão 10: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 11: [C] 
 
 
 
 
Resposta da questão 12: [B] 
 
 
 
 
(18 + 𝑟)" = 18" + (36 − 𝑟)" 
324 + 36𝑟 + 𝑟" = 324 + 1296 − 72𝑟 + 𝑟" 
36𝑟 + 72 = 1296 
𝑟 = 12	𝑚 
 
Resposta da questão 13: [D] 
 
 
Resposta da questão 14: [B] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Resposta da questão 15: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 16: [B] 
 
Sabendo que o comprimento (C) de uma circunferência 
é dado por 𝐶	 = 	2 × 𝜋 × 𝑟 e que o diâmetro (𝐷) 
representa o dobro do raio (𝑟)	de cada circunferência, 
temos: 
𝐷 = 2 × 𝑟		
80 = 2 × 𝑟 → 𝑟 = 40𝑐𝑚.	
 
Logo, o comprimento de cada anel é dado por: 
𝐶 = 2 × 𝜋 × 𝑟 = 2 × 𝜋 × 40	 
𝐶 = 80𝜋𝑐𝑚 = 0,8𝜋𝑚.	 
 
Assim, basta multiplicar o comprimento de cada anel 
pelo número total de anéis (cinco). Desta maneira: 
0, 8	𝜋 × 5	 = 	4	𝜋	𝑚.	 
 
Resposta da questão 17: [A] 
 
A área da face da moeda será dada pela diferença 
entre a área do círculo e a área do quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 18: [D] 
 
 
 
Resposta da questão 19: [B] 
 
A área A pintada de branco será dada pela diferença 
entre a área AR do retângulo e a área do círculo AC. 
Logo: 
𝐴	 = 	𝐴& 	−	𝐴' 		
𝐴	 = 	8	 × 12	 − 	𝜋	 ×	2"		
𝐴	 = 	8	 × 12	 − 	3	 ×		2"	 
𝐴	 = 	96	 − 	12		
𝐴	 = 84	𝑐𝑚"	
 
Resposta da questão 20: [B] 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Resposta da questão 21: [D] 
 
 
A área limitada pelos três setores de 60° corresponde 
à área de um semicírculo de raio 2cm. Logo, a resposta 
é dada por 
 
 
Resposta da questão 22: [B] 
 
Podemos considerar o coração constituído por um 
quadrado e dois semicírculos, pois o raio de cada 
semicírculo é r. A figura abaixo ilustra esta 
consideração. 
 
Portanto, a razão entre a área retirada e a área total 
será dada por: 
 
 
Resposta da questão 23: [D] 
 
Considere a situação: 
 
 
Desta maneira, a área da nuvem será dada pela área 
dos três semicírculos, de diâmetro igual a 5 
centímetros, somadas com a área do trapézio interior. 
Porém, deve-se obter a altura (h) do trapézio através 
do teorema de Pitágoras, logo: 
 
Desta maneira, seja o raio = 2,5cm, a área da nuvem é 
dada por: 
 
 
 
Resposta da questão 24: [D] 
 
O raio da circunferência maior será dado por 
9	 + 	6	 = 	15	𝑐𝑚. 
Calculando inicialmente a área da coroa circular, 
temos: 
𝐴	 = 	𝜋	 ×	(152	 − 	92	) 	= 	144𝜋	𝑐𝑚".	 
 
Admitindo que cada peça tenha área 12 𝜋	𝑐𝑚", 
concluímos que o número n de pessoas utilizadas será 
dado por: 
 
𝑛 =
144𝜋
12𝜋 = 12 
 
Resposta da questão 25: [D] 
 
 
 
Resposta da questão 26: [C] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Resposta da questão 27: [E] 
 
 
 
Resposta da questão 28: [B] 
 
A área destacada é equivalente à área de um 
semicírculo de raio 4m. 
 
 
Resposta da questão 29: [C] 
 
O perímetro da flor de Mariana é formado por 4 
metades de uma circunferência, ou seja: 
 
 
 
Resposta da questão 30: [C] 
 
 
 
 
Resposta da questão 31: [C] 
 
 
 
Resposta da questão 32: [A] 
 
 
Resposta da questão 33: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 34: [B] 
 
 
 
6 
 
Resposta da questão 35: [B] 
 
8 ∙ 	2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 = 48 → 16 ∙ 3 ∙ 𝑅 = 48 → 𝑅 = 1	𝑚.	 
 
Resposta da questão 36: [C] 
 
Se a baratinha percorreu toda a faixa de Möebius, 
então isso significa que ela percorreu duas vezes o 
comprimento da faixa (correspondente aos dois lados 
da mesma). Assim, o comprimento da faixa será igual 
à metade da distância percorrida. Para encontrar o raio 
da base da superfície cilíndrica obtida com a faixa 
retangular basta igualar esta distância ao comprimento 
do círculo da base, ou seja: 
7,2
2 = 2𝜋𝑅 → 𝑅 = 0,6	𝑚 
 
Resposta da questão 37: [C] 
 
Considerando x a medida do arco com extremidades 
nos pontos P e Q e y a medida do arco com 
extremidades nos pontos R e S, podemos escrever: 
 
 
Logo, o perímetro da figura será dado por: 
𝑃	 = 	3	 + 3	 + 	𝑥	 + 	𝑦	 = 	6	 + 	𝜋	 + 	2𝜋	 = 	3𝜋	 + 	6	 
 
Resposta da questão 38: [A] 
 
Seja r o raio da peça. Da potência do ponto M em 
relação à peça, vem 
 
Portanto, a área pedida é 
 
 
 
Resposta da questão 39: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 40: [E] 
 
Sabendo que a parte prateada tem 24 mm de diâmetro 
e que a moeda tem 27 mm de diâmetro e sabendo que 
o raio é metade do diâmetro, basta calcular a área total 
da moeda menos a parte prateada, e assim temos: 
 
 
 
Resposta da questão 41: [E] 
 
Considerando 𝑛 o número de voltas da engrenagem A 
e 2 × 𝜋 × 4	 = 	8𝜋 a distância percorrida por um de 
seus pontos quando esta engrenagem executa uma 
volta, temos: 
 
 
Resposta da questão 42: [B] 
 
O arco de extremos C e B, determinado pelo 
ângulo x na circunferência, mede 2x. Portanto, 
 
2𝑥 + 160°+ 160° = 360° 
	2𝑥 = 40° 
𝑥 = 20° 
 
Resposta da questão 43: [B] 
 
Pela propriedade do ângulo interior à circunferência 
como sendo a média aritmética dos arcos que ele 
determina numa circunferência, podemos escrever 
que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Resposta da questão 44: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 45: [E] 
 
Se o lado AB refere-se a um polígono regular de 6 
lados, então o arco AB mede 60°. 
Se o lado CD refere-se a um polígono regular de 10 
lados, então o arco CD mede 36°. 
A circunferência tem um total de 360°, logo o ângulo 
pedido será: 
 
 
Resposta da questão 46: [A] 
 
 
Resposta da questão 47: [E] 
 
 
Resposta da questão 48: [E] 
 
 
Resposta da questão 49: [A] 
 
 
Resposta da questão 50: [A] 
 
Raio r dos círculos menores: 
 
Por semelhança entre os triângulos OAD e OBC, 
obtemos o raio R do círculo maior: 
 
 
Portanto, a área do círculo sombreado vale: 
 
Resposta da questão 51: [D] 
 
Hipotenusa do triângulo ABC: 
 
Raio do semicírculo: 
 
Área do jardim: 
 
2r 1
1r
π
π
=
=
R
r
R 3r
2r
+
=
2R R 3r
3R 3r
π
= +
= =
23A 9 u.a.π
π
æ ö
= × =ç ÷
è ø
2 2 2BC 12 16
BC 400
BC 20 m
= +
=
=
20mr 10m
2
= =
2
2
16 12 1A 10
2 2
A 96 157
A 253 m
π×
= + × ×
= +
\ =
 
 
8 
Resposta da questão 52: [C] 
 
Igualando as áreas das pizzas, obtemos: 
 
 
Resposta da questão 53: [A] 
 
Lado do triângulo isósceles: 
 
 
Raio do círculo: 
 
 
 
 
 
Logo, a área total coberta pelos quatro discos é igual 
a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 54: [A] 
 
Considerandoo menor arco possível entre duas 
colunas de concreto, temos: 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 55: [E] 
 
 
individual grande4A A
4 π
=
2d
2
πæ ö =ç ÷
è ø
2
2
10
d 100
d 10 cm
×
=
\ =
2 2 2
2
x x 10
2x 100
x 50
x 5 2 cm
+ =
=
=
=
5 2 r 5 2 r 10
2r 10 2 10
r 5 2 5 cm
- + - =
= -
= -
( )
( )
( )
2
2
A 4 5 2 5
A 4 50 50 2 25
A 100 3 2 2 cm
π
π
π
= -
= - +
= -
2 35 2 3,14 35 13,74m
16 16
π× × × ×
= !