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Prévia do material em texto
UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral 4 (MA64A)
SÉRIES - TRANSFORMADAS
NOTAS DE AULA
Rudimar Luiz Nós
2o semestre/2011
2
3
Não é paradoxo dizer
que nos nossos momentos de inspiração mais teórica
podemos estar o mais próximo possível
de nossas aplicações mais práticas.
A. N. Whitehead (1861-1947)
rudimarnos@gmail.com
http://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos
4
5
SUMÁRIO
1. SÉRIES.................................................................................................................................................................................9
1.1 – SEQUÊNCIAS INFINITAS .................................................................................................................................................9
1.2 – SÉRIES INFINITAS ..........................................................................................................................................................9
1.3 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES..........................................................................................................................................10
1.3.1 – A série geométrica..............................................................................................................................................10
1.3.2 – Condição necessária à convergência.................................................................................................................11
1.3.3 – Teste da divergência...........................................................................................................................................11
1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral.....................................................................................................11
1.3.5 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................12
1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções).........................................................................................................12
1.3.7 – Teste M de Weierstrass ......................................................................................................................................13
2. A SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................................................................17
2.1 – FUNÇÕES PERIÓDICAS .................................................................................................................................................17
2.2 – SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS..........................................................................................................................................18
2.3 – SÉRIE DE FOURIER.......................................................................................................................................................22
2.3.1 – Definição............................................................................................................................................................22
2.3.2 – Coeficientes ........................................................................................................................................................22
2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes................................................................................................................25
2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet ...............................................................................................................25
2.4 – SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DADA................................................................................................27
2.5 – FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES ÍMPARES..........................................................................................................................35
2.6 – SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS.................................................................................................................................39
2.7 – SÉRIE DE FOURIER DE SENOS.......................................................................................................................................40
2.8 – O FENÔMENO DE GIBBS...............................................................................................................................................44
2.9 – A IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA SÉRIES DE FOURIER..............................................................................................45
2.10 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS ATRAVÉS DA SÉRIE DE FOURIER ..................................................................47
2.11 – DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................48
2.12 – A FORMA EXPONENCIAL (OU COMPLEXA) DA SÉRIE DE FOURIER...............................................................................50
2.13 – APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS .........................................55
2.13.1 – Equações diferenciais ......................................................................................................................................55
2.13.2 – Equação do calor .............................................................................................................................................56
2.13.3 – Equação da onda..............................................................................................................................................59
2.13.4 – Equação de Laplace .........................................................................................................................................61
2.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ..........................................................................................................................................65
2.15 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES................................................................................................................................77
3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER .........................................................................91
3.1 – A INTEGRAL DE FOURIER ............................................................................................................................................92
3.2 – CONVERGÊNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER ................................................................................................................92
3.2.1 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................93
3.3 – A INTEGRAL COSSENO DE FOURIER .............................................................................................................................933.4 – A INTEGRAL SENO DE FOURIER ...................................................................................................................................94
3.5 – FORMAS EQUIVALENTES DA INTEGRAL DE FOURIER....................................................................................................95
3.6 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DA TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER ........................................97
3.7 – TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER E TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER INVERSA ......................................99
3.8 – TRANSFORMADA SENO DE FOURIER E TRANSFORMADA SENO DE FOURIER INVERSA.................................................100
3.9 – FUNÇÃO DE HEAVISIDE .............................................................................................................................................102
3.10 – ESPECTRO, AMPLITUDE E FASE DA TRANSFORMADA DE FOURIER............................................................................104
3.11 – PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER........................................................................106
3.11.1 – Comportamento de F(α) quando |α|→∞ ........................................................................................................107
3.11.2 – Linearidade ....................................................................................................................................................108
3.11.3 – Simetria (ou dualidade)..................................................................................................................................108
3.11.4 – Conjugado......................................................................................................................................................109
3.11.5 – Translação (no tempo) ...................................................................................................................................109
3.11.6 – Translação (na frequência) ............................................................................................................................110
6
3.11.7 – Similaridade (ou mudança de escala) e inversão de tempo ...........................................................................110
3.11.8 – Convolução ....................................................................................................................................................111
3.11.9 – Multiplicação (Convolução na frequência)....................................................................................................114
3.11.10 – Transformada de Fourier de derivadas .......................................................................................................115
3.11.11 – Derivadas de transformadas de Fourier ......................................................................................................116
3.12 – RESUMO: PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................119
3.13 – DELTA DE DIRAC.....................................................................................................................................................120
3.13.1 – Propriedades do delta de Dirac .....................................................................................................................121
3.13.2 – Transformada de Fourier do delta de Dirac ..................................................................................................122
3.14 – MÉTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER .........................................................................................122
3.14.1 – Uso da definição.............................................................................................................................................122
3.14.2 – Uso de equações diferenciais .........................................................................................................................126
3.14.3 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................128
3.15 – TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ............................................................................................130
3.15.1 – A função constante unitária ...........................................................................................................................130
3.15.2 – A função sinal.................................................................................................................................................131
3.15.3 – A função degrau .............................................................................................................................................132
3.15.4 – Exponencial....................................................................................................................................................132
3.15.5 – Função cosseno..............................................................................................................................................133
3.16 – RESUMO: TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES...........................................................................134
3.17 – IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA AS INTEGRAIS DE FOURIER..................................................................................135
3.18 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS......................................................................................................................137
3.19 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................141
3.19.1 – Equações diferenciais ordinárias...................................................................................................................141
3.19.2 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................142
Derivação sob o sinal de integração – Regra de Leibniz .................................................................................................................. 142
3.19.2.1 – Equação do calor (EDP parabólica).................................................................................................................................. 144
3.19.2.2 – Equação da onda (EDP hiperbólica) ................................................................................................................................. 146
3.19.2.3 – Equação de Laplace (EDP elíptica) .................................................................................................................................. 148
3.20 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS E DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS.........................................................151
3.21 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................154
3.22 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES..............................................................................................................................157
4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ............................................................................................................................165
4.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ...........................................................................................................165
4.1.1 – Motivação.........................................................................................................................................................165
4.1.2 – Função de Heaviside........................................................................................................................................166
4.1.2.1 -Generalização........................................................................................................................................................................ 167
4.1.3 – Transformada de Laplace ................................................................................................................................168
4.2 – FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL...........................................................................................................................171
4.3 – CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ..............................................................................174
4.3.1 – Convergência absoluta e condicional ..............................................................................................................174
4.3.2 – Condições suficientes para a convergência .....................................................................................................174
4.4 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DAS FUNÇÕES ELEMENTARES ...............................................................175
4.4.1 – f(t) = tn..............................................................................................................................................................175
4.4.2 – f(t) = eat ............................................................................................................................................................177
4.4.3 – Transformada de algumas funções elementares ..............................................................................................177
4.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL................................................................................178
4.5.1 – Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s→∞ ....................................................................178
4.5.2 – Linearidade ......................................................................................................................................................178
4.5.3 – Primeira propriedade de translação ou deslocamento ....................................................................................181
4.5.4 – Segunda propriedade de translação ou deslocamento.....................................................................................181
4.5.5 – Similaridade (ou mudança de escala) ..............................................................................................................182
4.5.6 – Transformada de Laplace unilateral de derivadas ..........................................................................................183
4.5.7 – Transformada de Laplace unilateral de integrais............................................................................................185
4.5.8 – Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicação por tn) ....................................................186
4.5.9 – Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (divisão por t) ..................................................................187
4.5.10 – Convolução ....................................................................................................................................................189
4.5.11 – Valor inicial ...................................................................................................................................................190
4.5.12 – Valor final ......................................................................................................................................................191
4.6 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE FUNÇÕES PERIÓDICAS......................................................................192
7
4.7 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS........................................................................................................................194
4.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ...........................................................196
4.8.1 – Uso da definição...............................................................................................................................................196
4.8.2 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................196
4.8.3 – Uso de equações diferenciais ...........................................................................................................................200
4.8.4 – Outros métodos ................................................................................................................................................200
4.8.5 – Uso de tabelas de transformadas .....................................................................................................................200
4.9 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE ALGUMAS FUNÇÕES.........................................................................200
4.9.1 – Função nula .....................................................................................................................................................200
4.9.2 – Função degrau unitário ...................................................................................................................................200
4.9.3 – Função impulso unitário ..................................................................................................................................201
4.9.4 – Algumas funções periódicas.............................................................................................................................202
4.10 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL INVERSA...........................................204
4.10.1 – Completando quadrados ................................................................................................................................204
4.10.2 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................204
4.10.3 – Expansão em série de potências.....................................................................................................................209
4.10.4 – Uso de tabelas de transformadas de Laplace.................................................................................................211
4.10.5 – A fórmula de Heaviside ..................................................................................................................................211
4.10.6 – A fórmula geral (ou complexa) de inversão ...................................................................................................212
4.11 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................213
4.11.1 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes......................................................................213
4.11.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis........................................................................219
4.11.3 – Equações diferenciais ordinárias simultâneas...............................................................................................221
4.11.4 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................223
4.12 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS....................................................................................................229
4.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................232
4.14 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES..............................................................................................................................2405. TRANSFORMADAS ZZZZ ...................................................................................................................................................251
5.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .......................................................................................................252
5.2 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL DE ALGUMAS SEQUÊNCIAS.....................................................................................253
5.2.1 – Versão discreta da função delta de Dirac........................................................................................................253
5.2.2 – Sequência unitária ou passo discreto unitário .................................................................................................253
5.2.3 – Exponencial......................................................................................................................................................254
5.2.4 – Potência............................................................................................................................................................255
5.3 – SÉRIES DE POTÊNCIAS: DEFINIÇÃO, RAIO DE CONVERGÊNCIA....................................................................................256
5.4 – EXISTÊNCIA E DOMÍNIO DE DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .............................................................258
5.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .................................................................................................260
5.5.1 – Linearidade ......................................................................................................................................................260
5.5.2 – Translação (ou deslocamento) .........................................................................................................................264
5.5.3 – Similaridade .....................................................................................................................................................265
5.5.4 – Convolução ......................................................................................................................................................266
5.5.5 – Diferenciação da transformada de uma sequência ..........................................................................................267
5.5.6 – Integração da transformada de uma sequência ...............................................................................................269
5.5.7 – Valor inicial .....................................................................................................................................................270
5.5.8 – Valor final ........................................................................................................................................................271
5.6 – RESUMO: TRANSFORMADA Z UNILATERAL DAS FUNÇÕES DISCRETAS ELEMENTARES ...............................................272
5.7 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ................................................................................................................272
5.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA..............................................................273
5.8.1 – Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades..............................................................................273
5.8.2 – Decomposição em frações parciais..................................................................................................................274
5.8.3 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................277
5.8.4 – Estratégia geral de inversão ............................................................................................................................279
5.9 – TRANSFORMADA Z BILATERAL .................................................................................................................................280
5.9.1 - Série de Laurent................................................................................................................................................280
5.8.1.1 - Singularidades ....................................................................................................................................................................... 280
5.9.2 – Definição..........................................................................................................................................................282
5.10 – EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS .....................................................................................................................................286
5.10.1 – Definição........................................................................................................................................................286
5.10.2 – Equações de diferenças lineares ....................................................................................................................287
8
5.10.3 – Solução de equações de diferenças lineares ..................................................................................................287
5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................294
5.12 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES..............................................................................................................................301
6. FORMULÁRIO ...............................................................................................................................................................307
REFERÊNCIAS...................................................................................................................................................................317
9
1. SÉRIES
1.1 – Sequências infinitas
Uma sequência infinita é uma função discreta cujo domínio é { }0\N .
Notação: { } { } ( )nfa ,0\Nn ,a nn =∈
Exemplos
1o) { } ( ) { } ,
14
25
,
11
16
,
8
9
,
5
4
,
2
1
a
1n3
n1a n
2
1n
n
−−=⇒
−
−=
+
L
2o) A sequência { }
1n2
n
a n
+
= é convergente ou divergente?
{ }
,
3n2
1n
,
1n2
n
,,
11
5
,
9
4
,
7
3
,
5
2
,
3
1
a n
+
+
+
= KL
Se n
n
alim
∞→
existe, então { } a n é convergente. Caso contrário, { } a n é divergente.
Como
2
1
n
12
1lim
1n2
nlim
nn
=
+
=
+ ∞→∞→
, { } a n é convergente.
1.2 – Séries infinitas
Uma série infinita é definida como sendo a soma dos termos de uma sequência infinita.
Notação: LL +++++=∑
∞
=
n321
1n
n aaaaa
Somas parciais:
n321n
3213
212
11
aaaaS
aaaS
aaS
aS
++++=
++=
+=
=
L
M
Se SSlim n
n
=
∞→
, então a série infinita é convergente. Se o limite S não existe, então a série
infinita é divergente.
Exemplo
( ) ( ) LL +++++++=+∑
∞
=
1nn
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
1nn
1
1n
10
( )
1
1n
nlimSlim
1n
n
1n
11S
1n
1
n
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11aaaaS
1n
1
n
1
1nn
1
a
n
n
n
n
n321n
n
=
+
=
+
=
+
−=
+
−++
−+
−+
−=++++=
+
−=
+
=
∞→∞→
LL
Logo, a série infinita é convergente.
1.3 – Convergência de séries
Diferenciar:
• Condições necessárias à convergência;
• Condições suficientes à convergência;
• Condições necessárias e suficientes à convergência.
1.3.1 – A série geométrica
Teorema: A série geométrica
K++++=∑
∞
=
32
1n
1-n arararar a , com a≠0,
(i) converge, e tem por soma
r1
a
−
, se ( )1r1 1r <<−< ;
(ii) diverge, se ( )1rou -1r 1r ≥≤≥ .
Exemplos
1o) 2
2
11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
2
1
1n432
1n
1n =
−
=+++++++=
−
∞
=
−
∑ LL
2o)
9
5
10
9
10
5
10
11
10
5
10000
5
1000
5
100
5
10
55555,05,0 ==
−
=++++== KK
11
1.3.2 – Condição necessária à convergência
Teorema: Se a série infinita ∑
∞
=1n
na é convergente, então 0alim n
n
=
∞→
.
A recíproca não é sempre verdadeira.
1.3.3 – Teste da divergência
Se
n
n
alim
∞→
não existir ou 0alim n
n
≠
∞→
, então a série infinita ∑
∞
=1n
na é divergente.
1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral
Teorema: Se f é uma função contínua, decrescente e de valores positivos para todo 1x ≥ , então
a série infinita
( ) ( ) ( ) ( ) LL ++++=∑
∞
=
nf2f1fnf
1n
(i) converge se a integral imprópria ( )∫
∞
1
dx xf converge;
(ii) diverge se a integral imprópria ( )∫
∞
1
dx xf diverge.
Exemplo
A série harmônica L+++++=∑
∞
=
5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
é divergente.
0
n
1lim
n
=
∞→
(condição necessária, porém não suficiente)
( )[ ] ( )[ ] ∞=−===
∞→∞→∞→
∞
∫∫ 0blnlimxlnlimdxx1 limdxx1 bb1b
b
1
b
1
Como a integral diverge, a série harmônica diverge.
12
1.3.5 – Convergência absoluta e condicional
A série∑
∞
=1n
na é dita absolutamente convergente se K+++=∑
∞
=
321
1n
n aaaa convergir.
Se ∑
∞
=1n
na convergir mas ∑
∞
=1n
na divergir, então ∑
∞
=1n
na é dita condicionalmente convergente.
Teorema: Se ∑
∞
=1n
na converge, então ∑
∞
=1n
na também converge.
Exemplo
A série L+−−++−−+ 2222222 8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11 é absolutamente convergente, uma vez que
6n
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
2
1n
22222222
π
==++++++++ ∑
∞
=
L (provaremos usando a série de Fourier).
1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções)
Série de números reais
K+++=∑
∞
=
321
1n
n aaaa
Exemplo:
Série de funções
( ) ( ) ( ) ( ) K+++=∑
∞
=
xuxuxuxu 321
1n
n
Exemplo:
K+++++=∑
∞
=
!5
32
!4
16
!3
8
!2
42
!n
2
1n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++++=∑
∞
=
!4
x4sen
!3
x3sen
!2
x2sen
xsen
!n
nxsen
1n
13
A série de Fourier ∑
∞
=
+
+
1n
nn
0
L
xn
senb
L
xn
cosa
2
a ππ é uma série de funções trigonomé-
ricas.
Sejam a série ( )∑
∞
=1n
n xu , onde ( ){ }xu n , K,3,2,1n = é uma sequência de funções definidas em
[a,b], ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxuxuxuxS n321n ++++= L a soma parcial da série e ( ) ( )xSxSlim n
n
=
∞→
. A série
converge para ( )xS em [ ]b,a se para cada 0>ε e cada [ ]b,ax∈ existe um 0N > tal que
( ) ( ) ε<− xSxSn para todo Nn > . O número N depende geralmente de ε e x . Se N depende
somente deε , então a série converge uniformemente ou é uniformemente convergente em [ ]b,a .
Teorema 1: Se cada termo da série ( )∑
∞
=1n
n xu é uma função contínua em [a,b] e a série é
uniformemente convergente para S(x) em [a,b], então a série pode ser integrada termo a termo, isto é,
( ) ( )∑ ∫∫ ∑
∞
=
∞
=
=
1n
b
a
n
b
a 1n
n dxxu dxxu .
Teorema 2: Se cada termo da série ( )∑
∞
=1n
n xu é uma função contínua com derivada contínua
em [a,b] e se ( )∑
∞
=1n
n xu converge para S(x) enquanto ( )∑
∞
=1n
'
n xu converge uniformemente em [a,b],
então a série pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto é, ( ) ( )∑∑
∞
=
∞
=
=
1n
n
1n
n xudx
d
xu
dx
d
.
1.3.7 – Teste M de Weierstrass
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemático alemão.
Se existe uma sequência de constantes ,1,2,3,n ,Mn K= tal que para todo x em um intervalo
(a) ( ) nn Mxu ≤
e
(b) ∑
∞
=1n
nM converge,
então ( )∑
∞
=1n
n xu converge uniforme e absolutamente no intervalo.
14
Observações:
1a) O teste fornece condições suficientes, porém não necessárias.
2a) Séries uniformemente convergentes não são necessariamente absolutamente convergentes ou vice-
versa.
Exemplo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
++++=
1n
2222 4
x4cos
3
x3cos
2
x2cos
xcos
n
nxcos
L é uniforme e absolutamente
convergente em [0,2π] (ou em qualquer intervalo), uma vez que
( )
22 n
1
n
nxcos ≤ e
6n
1 2
1n
2
π
=∑
∞
=
.
Exercícios
01. Mostre que a série ∑
∞
=
+
1n
2
2
4n5
n
diverge.
R.: Use o teste da divergência.
02. Mostre que a série ( )( )∑
∞
=
+−
1n
1n21n2
1
converge e determine sua soma.
R.:
2
1
03. Determine se as séries infinitas a seguir são convergentes ou divergentes.
a) ∑
∞
=
+
1n
2 1n
n
R.: A série é divergente: ∞=
+∫
∞
1
2 dx1x
x
.
b) ( )∑
∞
=1n
3n
nln
R.: A série é convergente: ( )
4
1dx
x
xln
1
3 =∫
∞
.
15
c) ∑
∞
=
−
1n
nne
R.: A série é convergente:
e
2dxxe
1
x
=∫
∞
−
.
d) ( )∑
∞
=2n
nlnn
1
R.: A série é divergente: ( ) ∞=∫
∞
2 xlnx
dx
.
04. Verifique se as séries de funções seguintes são uniformemente convergentes para todo x .
a) ( )∑
∞
=1n
n2
nxcos
R.: A série é uniformemente convergente para todo x .
b) ∑
∞
=
+
1n
22
xn
1
R.: A série é uniformemente convergente para todo x .
c) ( )∑
∞
=
−
1n
n
2
12
nxsen
R.: A série é uniformemente convergente para todo x .
05. Seja ( ) ( )∑
∞
=
=
1n
3n
nxsen
xf . Prove que ( ) ( )∑∫
∞
=
−
=
1n
4
0 1n2
12dxxf
π
.
R.: Use ( ) 33 n
1
n
nxsen ≤ , o teste M de Weierstrass (prove que ∑
∞
=1n
3n
1
converge usando o teste da
integral) e o fato de que uma série uniformemente convergente pode ser integrada termo a termo.
Observação: Mostraremos futuramente que ( ) 961n2
1 4
1n
4
π
=
−
∑
∞
=
. Assim, ( )
48
dx
n
nxsen 4
0 1n
3
π
=∫ ∑
π ∞
=
.
06. Prove que ( ) ( ) ( ) 0dx
7.5
x6cos
5.3
x4cos
3.1
x2cos
0=
+++∫
π
L .
16
17
2. A SÉRIE DE FOURIER
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830): físico, matemático e engenheiro francês. Principais
contribuições: teoria da condução do calor, séries trigonométricas.
Por que aproximar uma função por uma função dada por senos e cossenos?
Para facilitar o tratamento matemático do modelo, uma vez que as funções trigonométricas seno
e cosseno são periódicas de período fundamental π2 , contínuas, limitadas e de classe ∞C , ou seja, são
infinitamente diferenciáveis.
2.1 – Funções periódicas
Uma função RR:f → é periódica de período fundamental P se
( ) ( ) 0P x, xfPxf >∀=+ .
Exemplos
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1: (a) ( ) ( )xsenxf = , função de período fundamental π2P = ; (b) ( ) ( )xcosxf = , função de
período fundamental π2P = ; (c) ( ) 5xf = , função de período fundamental 0k ,kP >= ; (d) função
onda triangular, de período fundamental 2P = .
18
Como as funções ( )xsen e ( )xcos são 2π-periódicas, temos que
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) L
L
=+=+=+=
=+=+=+=
πππ
πππ
6xcos4xcos2xcosxcos
6xsen4xsen2xsenxsen
.
Funções periódicas surgem em uma grande variedade de problemas físicos, tais como as
vibrações de uma corda, o movimento dos planetas em torno do sol, a rotação da terra em torno do seu
eixo, o movimento de um pêndulo, a corrente alternada em circuitos elétricos, as marés e os
movimentos ondulatórios em geral.
2.2 – Séries trigonométricas
Denomina-se série trigonométrica a uma série da forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa
2
a
332211
0
ou
( ) ( )[ ]∑
∞
=
++
1n
nn
0 nxsenbnxcosa
2
a
(2.2.1)
ou
∑
∞
=
+
+
1n
nn
0
L
xn
senb
L
xn
cosa
2
a ππ
. (2.2.2)
Obtém-se a forma (2.2.2) através de uma transformação linear que leva um intervalo de
amplitude L2 em um intervalo de amplitude π2 .
Em (2.2.1) ou (2.2.2), para cada n
temos um harmônico da série e 0a , na e nb são os
coeficientes da série.
0a : constante
( )nfa n = e ( )nfbn = : sequências infinitas
Exemplo
( ) ( ) { }
−−−=⇒
−
== K,
5
2
,
2
1
,
3
2
,
1
,
2
a
n
12
ncos
n
2
a n
n
n ππππππ
π
π
A série trigonométrica (2) também pode ser escrita na forma
19
∑
∞
=
φ+π+
1n
nn
0 nsenA
2
a
L
x
, (2.2.3)
onde 2n
2
nn baA += , ( )nnn senAa φ= e ( )nnn cosAb φ= .
A forma (2.2.3) é obtida multiplicando-se e dividindo-se a forma (2.2.2) por 2n2n ba + .
∑
∞
=
+
+
π
+
π
+
+
+
1n
2
n
2
n
2
n
2
n
nn2
n
2
n
2
n
2
n0
ba
ban
senbncosa
ba
ba
2
a
L
x
L
x
∑
∞
=
π
+
+
π
+
++
1n
2
n
2
n
n
2
n
2
n
n2
n
2
n
0 nsen
ba
bn
cos
ba
aba
2
a
L
x
L
x
Considerando n
2
n
2
n Aba =+ , ( )n
n
n sen
A
a φ= e ( )n
n
n cos
A
b φ= , temos que:
( ) ( )∑
∞
=
πφ+
πφ+
1n
nnn
0 nsencos
n
cossenA
2
a
L
x
L
x
∑
∞
=
φ+π+
1n
nn
0 nsenA
2
a
L
x
Em (2.2.3), o termo
φ+π nn nsenA L
x
é chamado harmônico de ordem n e pode ser
caracterizado somente pela amplitude nA e pelo ângulo de fase nφ .
Questões
01. Dada uma função f(x) 2L-periódica, quais as condições que f(x) deve satisfazer para que exista uma
série trigonométrica convergente para ela?
02. Sendo Nn,m ∈ , mostre que:
(a) 0n ,0dx
L
xn
cos
L
L
≠=
∫
−
π
20
du
n
Ldx dx
L
ndu
L
xn
u
π
ππ
===
( ) ( )[ ] 0nsennsen
n
L
L
xn
sen
n
Ldx
L
xn
cos
L
L
L
L
=π−−π
π
=
π
π
=
π
−−
∫
[ ] ( ) L2LLxdx dx
L
xn
cos0n LL
L
L
L
L
=−−===
π⇒=
−
−−
∫∫
(b) 0dx
L
xn
sen
L
L
=
∫
−
π
( ( )
π
=
L
xn
senxf é ímpar no intervalo [ ]L,L− )
du
n
Ldx dx
L
ndu
L
xn
u
π
ππ
===
( ) ( )[ ] 0ncosncos
n
L
L
xn
cos
n
Ldx
L
xn
sen
L
L
L
L
=π−−π
π
−=
π
π
−=
π
−−
∫
00dx dx
L
xn
sen0n
L
L
L
L
==
π⇒= ∫∫
−−
(c)
≠=
≠
=
∫
−
0nm se L,
nm se 0,
dx
L
xn
cos
L
xm
cos
L
L
ππ
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
nm se 0dx
L
xn-m
cos
L
xnm
cos
2
1dx
L
xn
cos
L
xm
cos
vucosvucos
2
1
vcosucos : que Lembrando
L
L
L
L
≠=
+
+
=
−++=
∫∫
−−
ππππ
[ ] Lx
2
1dx
2
1dx1
L
xn2
cos
2
1dx
L
xn
cos0nm LL
L
L
L
L
L
L
2
===
+
π
=
π⇒≠=
−
−−−
∫∫∫
[ ] L2xdx2
2
1dx
L
xn
cos
L
xm
cos0nm LL
L
L
L
L
===
π
π⇒==
−
−−
∫∫
(d)
≠=
≠
=
∫
−
0nm se L,
nm se 0,
dx
L
xn
sen
L
xm
sen
L
L
ππ
(o produto de duas funções ímpares é par)
21
( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos
2
1
vsenusen : que Lembrando +−−=
( ) ( )
nm se 0dx
L
xnm
cos
L
xn-m
cos
2
1dx
L
xn
sen
L
xm
sen
L
L
L
L
≠=
π+
−
π
=
π
π ∫∫
−−
[ ] Lx
2
1dx
2
1dx
L
xn2cos1
2
1dx
L
xn
sen0nm LL
L
L
L
L
L
L
2
===
π
−=
π⇒≠=
−
−−−
∫∫∫
0dx0
2
1dx
L
xn
sen
L
xm
sen0nm
L
L
L
L
==
π
π⇒== ∫∫
−−
(e) 0dx
L
xn
sen
L
xm
cos
L
L
=
∫
−
ππ
(o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
0dx
L
xm-n
sen
L
xmn
sen
2
1dx
L
xn
cos
L
xm
sen
vusenvusen
2
1
vcosusen : que Lembrando
L
L
L
L ∫∫ −− =
+
+
=
−++=
ππππ
Observações:
1a) Os resultados encontrados anteriormente continuam válidos quando os limites de integração –L e L
são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc∈ .
2a) Funções ortogonais
Definição 1: O produto interno ou produto escalar de duas funções ( )xf e ( )xg em um
intervalo [a,b] é o número
( ) ( ) ( )∫=
b
a
dx xgxf g|f .
Definição 2: Duas funções f e g são ortogonais em um intervalo [ ]b,a se
( ) ( ) ( ) 0dx xgxf g|f
b
a
== ∫ .
Assim, as funções ( )
=
L
xn
senxf π e ( )
=
L
xn
cosxg π são ortogonais no intervalo ( )L,L− .
22
2.3 – Série de Fourier
2.3.1 – Definição
Seja a função f(x) definida no intervalo ( )L,L− e fora desse intervalo definida como
( ) ( )xfL2xf =+ , ou seja, ( )xf é 2L-periódica. A série de Fourier ou a expansão de Fourier
correspondente a f(x) é dada por
∑
∞
=
+
+
1n
nn
0
L
xn
senb
L
xn
cosa
2
a ππ
sendo que os coeficientes de Fourier nn0 b e a ,a são dados pelas expressões a seguir.
( )∫
−
=
L
L
0 dxxf L
1
a
( )∫
−
=
L
L
n dxL
xn
cosxf
L
1
a
π
( )∫
−
π
=
L
L
n dxL
xn
sen xf
L
1b
2.3.2 – Coeficientes
Se a série
∑
∞
=
+
+
1n
nn L
xn
senb
L
xn
cosaA ππ
converge uniformemente para ( )xf em ( )L,L− , mostre que, para K,3,2,1n = ,
1. ( )∫
−
=
L
L
n dxL
xn
cosxf
L
1
a
π
;
2. ( )∫
−
π
=
L
L
n dxL
xn
sen xf
L
1b ;
3.
2
aA 0= .
23
1. Multiplicando ( ) ∑
∞
=
+
+=
1n
nn L
xn
senb
L
xn
cosaAxf ππ por
L
xm
cos
π
e integrando de –L
a L, obtemos:
( )
∑ ∫∫
∫∫
∞
=
=
−−
−−
π
π
+
π
π
+
+
π
=
π
1n
m,,1,2,3,n II
L
L
n
L
L
n
I
L
L
L
L
dx
L
xn
sen
L
xm
cosbdx
L
xn
cos
L
xm
cosa
dx
L
xm
cosAdx
L
xm
cosxf
4444444444444 34444444444444 21
444 3444 21
KK
Considerando 0≠m em I e mn = em II:
( ) Ladx
L
xm
cosxf m
L
L
=
π∫
−
( )∫
−
π
=
L
L
m dxL
xm
cosxf
L
1
a ou ( )∫
−
π
=
L
L
n dxL
xn
cosxf
L
1
a
Para 0n = , ( )∫
−
=
L
L
0 dxxf L
1
a . (2.3.2.1)
2. Multiplicando ( ) ∑
∞
=
+
+=
1n
nn L
xn
senb
L
xn
cosaAxf ππ por
L
xm
sen
π
e integrando de –L
a L, obtemos:
( )
∑ ∫∫
∫∫
∞
=
=
−−
−−
π
π
+
π
π
+
+
π
=
π
1n
m,,1,2,3,n I
L
L
n
L
L
n
L
L
L
L
dx
L
xn
sen
L
xm
senbdx
L
xn
cos
L
xm
sena
dx
L
xm
senAdx
L
xm
sen xf
4444444444444 34444444444444 21
KK
Considerando mn = em I:
24
( ) Lbdx
L
xm
sen xf m
L
L
=
π∫
−
( )∫
−
π
=
L
L
m dxL
xm
sen xf
L
1b ou ( )∫
−
π
=
L
L
n dxL
xn
sen xf
L
1b
3. Integrando ( ) ∑
∞
=
+
+=
1n
nn L
xn
senb
L
xn
cosaAxf ππ de –L a L, obtemos:
( ) ∑ ∫∫∫∫
∞
=
−−−−
+
+=
1n
L
L
n
L
L
n
L
L
L
L
dx
L
xn
senbdx
L
xn
cosadx Adxxf ππ
Para ,,3,2,1n K= obtemos:
( ) AL2dxxf
L
L
=∫
−
( ) dxxf
L2
1A
L
L ∫−= (2.3.2.2)
Comparando (2.3.2.1) e (2.3.2.2), concluímos que
2
aAAL2La 00 =⇒= .
Observação: Os resultados encontrados continuam válidos quando os limites de integração –L e L são
substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc∈ .
Teorema 1: Se ( )∑
∞
=1n
n xu e ( )∑
∞
=1n
n xv são uniformemente convergentes em bxa ≤≤ e se
( )xh é contínua em bxa ≤≤ , então as séries ( ) ( )[ ]∑
∞
=
+
1n
nn xvxu , ( ) ( )[ ]∑
∞
=
−
1n
nn xvxu ,
( ) ( )[ ]∑
∞
=1
n
n xuxh e ( ) ( )[ ]∑
∞
=1n
n xv xh são uniformemente convergentes em bxa ≤≤ .
Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 393.
25
Teorema 2: Toda série trigonométrica uniformemente convergente é uma série de Fourier.
Mais precisamente, se a série
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa
2
a
332211
0
converge uniformemente a ( )xf para todo x , então ( )xf é contínua para todo x , ( )xf tem período
π2 e a série trigonométrica é a série de Fourier de ( )xf .
2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes
Uma função é seccionalmente contínua ou contínua por partes em um intervalo βα ≤≤ t se
este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos em cada um dos quais a função é
contínua e tem limites, à direita e à esquerda, finitos.
Exemplo
Figura 2: Função seccionalmente contínua – [13].
2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemático alemão.
Suponha que:
(1) ( )xf é definida em ( )L,L− , exceto em um número finito de pontos;
(2) ( )xf é 2L-periódica fora de ( )L,L− ;
(3) ( )xf e ( )xf ' são seccionalmente contínuas em ( )L,L− .
Então, a série
∑
∞
=
+
+
1n
nn
0
L
xn
senb
L
xn
cosa
2
a ππ
,
26
com coeficientes de Fourier, converge para:(a) f(x), se x é um ponto de continuidade;
(b) ( ) ( )
2
xfxf
−+ +
, se x é um ponto de descontinuidade.
Observações:
1a) ( )+xf e ( )−xf representam os limites laterais de f(x), à direita e à esquerda, respectivamente.
( ) ( )hxflimxf
0h
+=
+→
+ e ( ) ( )hxflimxf 0h −= +→−
2a) As condições (1), (2) e (3) impostas a f(x) são suficientes para a convergência, porém não
necessárias.
Demonstração: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. 2a ed. Porto Alegre:
Bookman.
Teorema fundamental: Seja ( )xf uma função definida e muito lisa por partes no intervalo
π≤≤π− x e seja ( )xf definida fora desse intervalo de tal modo que tenha período π2 . Então a série
de Fourier de ( )xf converge uniformemente a ( )xf em todo intervalo fechado que não contenha
descontinuidades de ( )xf . Em cada descontinuidade 0x , a série converge para
( ) ( )
+
−→+→
xflimxflim
2
1
00 xxxx
.
Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 461.
Observação: Uma função contínua por partes é lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada
primeira contínua; é muito lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada segunda contínua.
Teorema da unicidade: Sejam ( )xf1 e ( )xf2 funções seccionalmente contínuas no intervalo
π≤≤π− x , de modo que ambas tenham os mesmos coeficientes de Fourier. Então, ( ) ( )xfxf 21 = ,
exceto talvez nos pontos de descontinuidade.
Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 456.
27
2.4 – Série de Fourier de uma função periódica dada
Exemplo 1
Seja ( )
<<
<<
=
5x0 se 3,
0x5- se ,0
xf , ( ) ( )10xfxf += .
a) Construa o gráfico de f(x).
Figura 3: Gráfico de ( )
<<
<<
=
5x0 se 3,
0x5- se ,0
xf , ( ) ( )10xfxf += .
b) f(x) satisfaz às condições de Dirichlet?
• ( )xf é definida em ( )5,5− , exceto em 0x = (há um número finito de
descontinuidades no intervalo);
• ( )xf é periódica de período fundamental 10P = , isto é, ( ) ( )10xfxf += ;
• ( )xf e ( )xf ' são seccionalmente contínuas em ( )5,5− .
Assim, a série de Fourier converge para ( )xf nos pontos de continuidade e para
2
3
(média
dos limites laterais) nos pontos de descontinuidade.
c) Determine a série de Fourier correspondente a f(x).
5L10L2P =⇒==
( ) [ ] ( ) 305
5
3
x
5
3dx3 dx0
5
1dxxf
L
1
a
5
0
5
0
0
5
L
L
0 =−==
+== ∫∫∫
−−
3a 0 =
28
( )
π
+
π
=
π
= ∫∫∫
−−
5
0
0
5
L
L
n dx5
xn
cos3dx
5
xn
cos0
5
1dx
L
xn
cosxf
L
1
a
( ) ( )[ ] 00sennsen
n
3
5
xn
sen
n
5
5
3
a
5
0
n =−π
π
=
π
π
=
0a n =
( )
π
+
π
=
π
= ∫∫∫
−−
5
0
0
5
L
L
n dx5
xn
sen3dx
5
xn
sen0
5
1dx
L
xn
senxf
L
1b
( ) ( )[ ] ( )[ ]π−
π
=−π
π
−=
π
π
−= ncos1
n
30cosncos
n
3
5
xn
cos
n
5
5
3b
5
0
n
( )[ ] ( )[ ]11
n
311
n
3b 1nnn +−
π
=−−
π
=
+
( )[ ]11
n
3b 1nn +−
π
=
+
Série de Fourier de ( )xf :
( ) ( )∑
∞
=
+
π+−
π
+=
1n
1n
5
x n
sen
n
113
2
3
xf
( )
+
π
+
π
+
π
+
π
π
+= K
5
x7
sen
7
2
5
x5
sen
5
2
5
x3
sen
3
2
5
x
sen
1
23
2
3
xf
( )
+
π
+
π
+
π
+
π
π
+= K
5
x7
sen
7
1
5
x5
sen
5
1
5
x3
sen
3
1
5
x
sen
6
2
3
xf
( ) ( )∑
∞
=
π−
−π
+=
1n
5
x1n2
sen
1n2
16
2
3
xf
29
(a) (b)
Figura 4: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com 19n = ; (b) expansão de f(x) em série de
Fourier com 49n = .
d) Redefina f(x) para que a série de Fourier venha a convergir para f(x) em 5x5 ≤≤− .
( )
=
<<
=
<<
=
=
5 x,23
5x0 3,
0 x,23
0x5- 0,
-5 x,23
xf
Exemplo 2
Seja ( ) π2x0 ,xxf 2 <<= , ( ) ( )π+= 2xfxf .
a) Esboce o gráfico de f(x).
Figura 5: Gráfico de ( ) π2x0 ,xxf 2 <<= ,
( ) ( )π+= 2xfxf .
30
b) Expanda f(x) em uma série de Fourier.
π=⇒π== L2L2P
Lembre-se de que a função está definida em ( )L2,0 , e não em ( )L,L− .
( ) ( )
3
808
3
1
3
x1dx x1dxxf
L
1
a
2
3
2
0
3
2
0
2
L2c
c
0
π
=−π
π
=
π
=
π
==
ππ+
∫∫
3
8
a
2
0
π
=
( ) ( )∫∫
π+
π
=
π
=
2
0
2
L2c
c
n dxnxcos x
1dx
L
xn
cosxf
L
1
a (2.4.1)
Usando integração por partes, temos que:
∫∫ −= vduuvudv
( ) ( )
n
nxsen
v,dxnxcosdv 2xdx,du ,xu 2 ====
( ) ( ) ( )∫ ∫−= dxnxsen xn2n nxsenxdxnxcosx
2
2
( ) ( )
n
nxcos
v,dxnxsendv dx,du ,xu −====
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
+−−= dxnxcos
n
1
n
nxcosx
n
2
n
nxsenxdxnxcosx
2
2
( ) ( ) ( ) ( )∫ +−+= Cn nxsen2n nxcosx2n nxsenxdxnxcosx 32
2
2
Voltando a (2.4.1), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )
ππ
−+
π
=
π
= ∫
2
0
32
2
2
0
2
n
n
nxsen2
n
nxcosx2
n
nxsenx1dxnxcos x1a
31
22n n
40
n
41
a =
−
π
π
=
2n n
4
a =
( ) ( )∫∫
π+
π
=
π
=
2
0
2
L2c
c
n dxnxsen x
1dx
L
xn
senxf
L
1b (2.4.2)
Usando integração por partes, temos que:
( ) ( )
n
nxcos
v,dxnxsendv 2xdx,du ,xu 2 −====
( ) ( ) ( )∫ ∫+−= dxnxcos xn2n nxcosxdxnxsenx
2
2
( ) ( )
n
nxsen
v,dxnxcosdv dx,du,xu ====
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
−+−= dxnxsen
n
1
n
nxsen x
n
2
n
nxcosxdxnxsenx
2
2
( ) ( ) ( ) ( )∫ +++−= Cn nxcos2n nxsen x2n nxcosxdxnxsenx 32
2
2
Voltando a (2.4.2), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )
ππ
++−
π
=
π
= ∫
2
0
32
2
2
0
2
n
n
nxcos2
n
nxsen x2
n
nxcosx1dxnxsen x1b
n
4
n
2
n
2
n
41b 33
2
n
π
−=
−+
π
−
π
=
n
4bn
π
−=
32
Série de Fourier de ( )xf :
( ) ( ) ( )∑
∞
=
π
−+
π
=
1n
2
2
n
nxsen
n
nxcos4
3
4
xf (2.4.3)
Em 0x = , (2.4.3) converge para a média dos limites laterais, ou seja
2
2
2
2
04
π=
+π
.
Figura 6: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com 10n = ; (b) expansão de f(x) em série de
Fourier com 20n = .
c) Usando a série de Fourier de f(x), prove que
64
1
3
1
2
11
n
1 2
222
1n
2
π
=++++=∑
∞
=
L .
Considerando 0x = em (3), temos que:
∑
∞
=
+
π
=π
1n
2
2
2
n
14
3
42
3
2
3
42
n
14
22
2
1n
2
π
=
π
−π=∑
∞
=
33
( )
>
≤≤+−
<+
=
3x ,
x
1
3x1 ,4x
1x ,2x
xf
2
6n
1 2
1n
2
π
=∑
∞
=
Observações:
1a) Comando do winplot para uma função definida por várias sentenças::
joinx( )
Exemplo
joinx
+−+
x
1
,3|4x,1|2x 2
2a) Comando do winplot para uma soma:
sum(f(n,x),n,a,b): soma de ( )x,nf de an = até bn =
Exemplo
( ) ( )∑
∞
=
+
π
=
1n
nx2sen
n
14
xf
(4/pi)+sum((1/n)*sin(2*n*x),n,1,100)
34
Exercícios
01. Seja ( ) π+= xxf , ππ <<− x , uma função π2 -periódica.
a) Verifique se ( )xf satisfaz às condições de Dirichlet.
b) Expanda ( )xf em uma série de Fourier.
R.: ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
+=
1n
1n
nxsen
n
12xf π
c) Mostre que ( )
412
1
1
1 π
=
−
−∑
∞
=
+
n
n
n
.
d) Como ( )xf deveria ser definida em π−=x e π=x para que a série de Fourier convergisse para
( )xf em ππ ≤≤− x ?
e) Plote simultaneamente o gráfico de ( )xf e da série de Fourier que converge para ela.
02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo.
(a) (b)
Figura 7: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com 5n = .
R.: ( ) ∑
∞
=
−
+=
1n
22 2
xn
cos
n
2
n
cos1
8
2
1
xf π
π
π
35
03. Seja o sinal representado no gráfico abaixo.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 8: Sinal.
a) Determine a série de Fourier correspondente ao sinal.
R.: ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
π
+−
π
+=
1n
1n
xnsen
n
1141xf
b) Para quanto converge a série de Fourier do sinal em 1x = ? E em 2x = ?
R.: 1
c) Use a série de Fourier determinada em (a) para calcular para quanto converge a série numérica
∑
∞
=1n
2n
1
.
R.:
6
2π
d) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf .
2.5 – Funções pares e funções ímpares
Uma função f(x) é par se
( ) ( )xfxf =− .
Assim, ( ) 21 xxf = , ( ) 5x4x2xf 262 +−= , ( ) ( )xcosxf3 = e ( ) xx4 eexf −+= são funções pares.
36
Figura 9: Gráfico da função ( ) xx eexf −+= .
Uma função f(x) é ímpar se
( ) ( )xfxf −=− .
Assim, ( ) 31 xxf = , ( ) x2x3xxf 352 +−= , ( ) ( )xsenxf3 = e ( ) ( )x3tgxf4 = são funções ímpares.
Figura 10: Gráfico da função ( ) x2x3xxf 35 +−= .
Teorema – Propriedades das funções pares e ímpares
(a) O produto de duas funções pares é par.
(b) O produto de duas funções ímpares é par.
(c) O produto de uma função par e uma função ímpar é ímpar.
(d) A soma (ou diferença) de duas funções pares é par.
37
(e) A soma (ou diferença) de duas funções ímpares é ímpar.
(f) Se f é par, então ( ) ( )∫∫ =
−
a
0
a
a
dxxf 2dxxf .
(g) Se f é ímpar, então ( ) 0dxxf
a
a
=∫
−
.
Demonstração
Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF = .
(a) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares.
Assim:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) par é xF
xFxg xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
==−=−
==−
b) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares.
Logo:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) par é xF
xFxg xf xg-xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
==−=−=−
−=−=−
(c) Suponhamos f(x) par e g(x) ímpar.
Então:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ímpar é xF
xFxg xf xg-xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
−=−==−=−
−==−
Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF ±= .
(d) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares.
Dessa forma:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) par é xF
xF xgxfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
=±=±−=−
==−
(e) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares.
Assim:
38
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ímpar é xF
xFxgxf xgxfx-g xfxF
ímpar é xF
xFxgxf xgxfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
−=−−=+−=−−=−
∴
−=+−=−−=+−=−
−=−=−
(f) f(x) é par ( ) ( )xfxf =−⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
=+=+=
=−=−−=
−−
−
a
0
a
0
a
0
a
0
0
a
a
a
a
0
a
0
0
a
0
a
dxxf 2dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf
dxxf dxxf dxxf dxxf
(g) f(x) é ímpar ( ) ( )xfxf −=−⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf
dxxf dxxf dxxf dxxf
a
0
a
0
a
0
0
a
a
a
a
0
a
0
0
a
0
a
=+−=+=
−=−=−−=
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
−−
−
Exemplo
( ) ( ) ( ) ] [∞∞∈= ,- x,x3senx2cosxxf 5
( ) ( ) ( ) ()
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( )xf
x3senx2cosx
x3senx2cos-x
x3senx2cosxxf
5
5
5
=
=
−=
−−−=−
( )xf é função par
Exercícios
Verifique a paridade das seguintes funções:
01. ( ) ( ) ( )x4cosxsenxf = , ] [∞∞−∈ ,x
02. ( ) ( ) ( )x5cosx2cosxf = , ] [∞∞−∈ ,x
03. ( ) ( ) ( )xsenx3senxf = , ] [∞∞−∈ ,x
04. ( ) ( ) ( ) ( )x2senxcosx5senxf = , ] [∞∞−∈ ,x
39
05. ( ) ( )x2senxxf 4= , ] [∞∞−∈ ,x
06. ( ) ( )x3cosxxf 2= , ] [∞∞−∈ ,x
07. ( ) ( ) ( )x4senxcosxxf 7= , ] [∞∞−∈ ,x
08. ( ) ( ) ( )x2cos2xxf += , ] [∞∞−∈ ,x
09. ( ) ( )xsenexf x= , ] [∞∞−∈ ,x
10. ( ) ( ) ( ) ( )xsenx3coseexf xx −+= , ] [∞∞−∈ ,x
11. ( ) xexxf += , ] [∞∞−∈ ,x
12. ( )
x
1
xf = , ] [ ] [∞∪∞−∈ ,00,x
13. ( ) ( ) ( ) ( )x8cosx10senee
x
1
xf xx2
−+= , ] [ ] [∞∪∞−∈ ,00,x
14. ( ) ( ) ( ) ( )x3senxcoseexf xx −−= , ] [∞∞−∈ ,x
2.6 – Série de Fourier de cossenos
Se f(x) é uma função par em ( )L,L− , então temos que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0dx
L
xn
senxf
L
1b
dx
L
xn
cosxf
L
2
xd
L
xn
cosxf
L
1
a
dxxf
L
2dxxf
L
1
a
L
L
ímpar função
n
L
0
L
L
par função
n
L
0
L
L
0
=
=
=
=
==
∫
∫∫
∫∫
−
−
−
44 344 21
44 344 21
π
ππ
Série de Fourier de cossenos: ( ) ∑
∞
=
+=
1n
n
0
L
xn
cosa
2
a
xf π
Exemplos
01. Expanda ( )
<<
<<−
=
2x0 se x,
0x2- se ,x
xf , ( ) ( )4xfxf += , em uma série de Fourier de cossenos.
40
R.: ( ) ( )∑
∞
=
−−
+=
1n
2
n
2 2
xn
cos
n
1141xf π
π
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 11: Gráfico da função ( )
<<
<<−
=
2x0 se x,
0x2- se ,x
xf , 22 <<− x , ( ) ( )4xfxf += , expandida em
série de Fourier de cossenos com 5n = e 100n = .
02. Mostre que ( )∑
∞
=
=
−
1n
2
2 81n2
1 π
.
03. Determine para quanto converge a soma ( )∑
∞
=1n
2
n2
1
. R.:
24
2π
2.7 – Série de Fourier de senos
Se f(x) é uma função ímpar em ( )L,L− , então temos que:
( )
( ) 0 xd
L
xn
cosxf
L
1
a
0dxxf
L
1
a
L
L
ímpar função
n
L
L
0
=
=
==
∫
∫
−
−
44 344 21
π
41
( ) ( )∫∫ ==
−
L
0
L
L
par função
n dxL
xn
senxf
L
2dx
L
xn
senxf
L
1b ππ
44 344 21
Série de Fourier de senos: ( ) ∑
∞
=
=
1n
n L
xn
senbxf π
Exemplo
Expanda ( ) 2x2- ,xxf <<= , ( ) ( )4xfxf += , em uma série de Fourier de senos.
R.: ( ) ( )∑
∞
=
+
−
=
1n
1n
2
xn
sen
n
14
xf π
π
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 12: Gráfico da função ( ) xxf = , 22 <<− x , ( ) ( )4xfxf += , expandida em série de Fourier de
senos com 10n = e 100n = .
Exercícios
01. Seja ( ) 3x3- ,x2xf <≤= ,
( ) ( )6xfxf += .
a) Desenvolva f(x) em uma série de Fourier.
R.: ( ) ( )∑
∞
=
+
−
=
1n
1n
3
xn
sen
n
112
xf π
π
42
b) Determine para quanto converge a série ( )∑
∞
=
+
−
−
1n
1n
1n2
1
.
R.: 4π
02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo.
(a) (b)
Figura 13: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com cinco harmônicos.
R.: ( ) ∑
∞
=
−
+=
1n
22 2
xn
cos
n
1
2
n
cos
8
2
3
xf π
π
π
03. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo.
(a) (b)
Figura 14: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com vinte harmônicos.
43
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
R.: ( )
( )
∑
∞
=
−−
=
1n
n
2
xn
sen
n
2
n
sen
n
21
6
xf π
π
π
π
04. Seja ( )
<≤
≤≤
≤≤
≤<
=
4x2 4,
2x0 2,-3x
0x2- 2,-3x-
-2x4- ,4
xf , ( ) ( )8xfxf += . Determine a série de Fourier de ( )xf .
R.: ( ) ∑
∞
=
−
+=
1n
22 4
xn
cos
n
1
2
n
cos
24
2
5
xf π
π
π
05. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2sen xxf =π+π<<π= , representada graficamente abaixo.
Figura 15: Gráfico de ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2sen xxf =π+π<<π= .
a) Determine a série de Fourier de ( )xf .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
−
−−+−=
3n
2
1n
nxcos
4n
14x2cos
4
1
xcos
3
4
2
1
xf
b) Empregando (a), calcule para quanto converge a série numérica
( )
( ) K+−+−+−=+
−∑
∞
=
+
10.6
1
9.5
1
8.4
1
7.3
1
6.2
1
5.1
1
4nn
1
1n
1n
.
R.:
48
7
44
06. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x3cosxxf/RR:f =π+π<<π=→ .
a) Calcule a série de Fourier de ( )xf .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )∑
∞
=
+−
−
+−−=
4n
n
nxsen
3n3n
1n2x3sen
6
1
x2sen
5
4
xsen
4
1
xf
b) Determine para quanto converge a série numérica
( ) ( )
( ) K+−+−+−=+
+−∑
∞
=
+
9.6
15
8.5
13
7.4
11
6.3
9
5.2
7
4.1
5
3nn
3n21
1n
1n
.
R.:
6
5
2.8 – O fenômeno de Gibbs
Josiah Willard Gibbs (1839-1903): matemático e físico teórico norte americano. Principais
contribuições: análise vetorial e mecânica estatística.
O fenômeno de Gibbs descreve a maneira peculiar como a série de Fourier truncada de uma
função ( )xf periódica e seccionalmente contínua se comporta nas vizinhanças de uma descontinuidade
dessa função. A n-ésima soma parcial da série de Fourier apresenta oscilações de maior amplitude nas
proximidades de uma descontinuidade. A amplitude dessas oscilações não diminui com o aumento do
número de harmônicos, porém tende a um limite. Há uma estimativa para a amplitude das oscilações
nas proximidades de uma descontinuidade 0x dada por
( ) ( )[ ]
- 0 0 xfxf09,0 −+ .
A Figura 16 ilustra ofenômeno de Gibbs para a onda quadrada.
Onda quadrada: ( )
<<
<<
=
1x0 1
0x1- 0
,
,
xf , ( ) ( )xfxf =+ 2 .
Série de Fourier da onda quadrada: ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
π
+−
π
+=
1n
1n
xnsen
n
111
2
1
xf
45
−1 1
1
x
y
Figura 16: Série de Fourier da onda quadrada ( )
<<
<<
=
1x0 1
0x1- 0
,
,
xf , ( ) ( )xfxf =+ 2 , com 5n = ,
10n = , 20n = e 100n = .
Exercício
Pesquise a respeito dos seguintes aspectos do fenômeno de Gibbs:
a) amplitude das oscilações;
b) como minimizar os efeitos do fenômeno de Gibbs;
c) consequências do fenômeno de Gibbs associadas principalmente à compactação de imagens e de
áudio;
d) associe os fenômenos de Gibbs e de Runge (interpolação polinomial).
2.9 – A identidade de Parseval para séries de Fourier
Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836): matemático francês.
Se na e nb são os coeficientes de Fourier correspondentes a ( )xf , e se ( )xf satisfaz as
condições de Dirichlet, então
( )[ ] ( )∑∫
∞
=
−
++=
1n
2
n
2
n
2
0
L
L
2 ba
2
adxxf
L
1
.
46
Demonstração
Assumimos que a série de Fourier correspondente a ( )xf converge uniformemente para ( )xf
em ( )L,L− e que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) Lbdx
L
xn
senxf dx
L
xn
senxf
L
1b
L a dx
L
xn
cosxf dx
L
xn
cosxf
L
1
a
Ladxxf dxxf
L
1
a
n
L
L
L
L
n
n
L
L
L
L
n
0
L
L
L
L
0
=
⇒
=
=
⇒
=
=⇒=
∫∫
∫∫
∫∫
−−
−−
−−
ππ
ππ
Dessa forma, multiplicando
( ) ∑
∞
=
+
+=
1n
nn
0
L
xn
senb
L
xn
cosa
2
a
xf ππ
por ( )xf e integrando termo a termo de –L a L, temos que:
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )∑∫
∑∫
∑∫
∑ ∫∫∫∫
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−−−−
++=
++=
++=
+
+=
1n
2
n
2
n
2
0
L
L
2
1n
2
n
2
n
2
0
L
L
2
1n
nnnn0
0
L
L
2
1n
L
L
n
L
L
n
L
L
0
L
L
2
ba
2
adxxf
L
1
ba
2
a
Ldxxf
LbbLaaLa
2
adxxf
dx
L
xn
senxfbdx
L
xn
cosxfadxxf
2
adxxf ππ
Aplicações
• Convergência de séries.
• Verificar se uma série trigonométrica é a série de Fourier de uma função f(x).
47
Exercício
Seja ( )
<<
<<−
=
2x0 se x,
0x2- se ,x
xf ,
( ) ( )4xfxf += . Determine a identidade de Parseval correspondente à
série de Fourier de f(x).
R.: ( ) 967
1
5
1
3
11
1n2
1 4
444
1n
4
π
=++++=
−
∑
∞
=
L (2.9.1)
2.10 – Convergência de séries numéricas através da série de Fourier
Exemplo
Empregando a identidade de Parseval determinada anteriormente, mostrar que
90n
1 4
1n
4
π
=∑
∞
=
e ( ) 1440n2
1 4
1n
4
π
=∑
∞
=
.
( )
( )6159615
16
n
1
96n
1
16
15
96n
1
16
11
n
1
16
1
96n
1
4
1
3
1
2
11
2
1
1n2
1
n
1
6
1
4
1
2
1
7
1
5
1
3
11
n
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
44
1n
4
4
1n
4
4
1n
4
1n
4
4
1n
4
4444
1n
4
1n
4
444444
1n
4
444444
1n
4
ππ
π
π
π
==
=
=
−
+=
+++++
−
=
++++
++++=
+++++++=
∑
∑
∑
∑∑
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
L
LL
L
48
90n
1 4
1n
4
π
=∑
∞
=
(2.10.1)
Empregando (2.9.1) e (2.10.1), temos que:
( )
( )
( ) 1440n2
1
1440
1516
9690n2
1
8
1
6
1
4
1
2
1
n2
1
4
1n
4
4444
1n
4
4444
1n
4
π
ππππ
=
−
=−=
++++=
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
L
2.11 – Derivação e integração da série de Fourier
Teorema 1: Se ( ){ } K1,2,3,n ,xu n = , forem contínuas em [ ]b,a e se ( )∑
∞
=1n
n xu convergir
uniformemente para a soma ( )xS em [ ]b,a , então
( ) ( )∑ ∫∫
∞
=
=
1n
b
a
n
b
a
dxxu dxxS ou ( ) ( )∑ ∫∫ ∑
∞
=
∞
=
=
1n
b
a
n
b
a 1n
n dxxu dxxu .
Assim, uma série uniformemente convergente de funções contínuas pode ser integrada termo a
termo.
Teorema 2: Se ( ){ } K1,2,3,n ,xu n = , forem contínuas e tiverem derivadas contínuas em [ ]b,a
e se ( )∑
∞
=1n
n xu convergir para ( )xS enquanto ( )∑
∞
=1n
'
n xu é uniformemente convergente em [ ]b,a ,
então em [ ]b,a
( ) ( )∑
∞
=
=
1n
'
n
'
xuxS ou ( ) ( )∑∑
∞
=
∞
=
=
1n
n
1n
n xudx
d
xu
dx
d
.
Dessa forma, a série pode ser derivada termo a termo.
Observação: Os teoremas 1 e 2 oferecem condições suficientes, porém não necessárias.
49
Teorema 3: A série de Fourier correspondente a f(x) pode ser integrada termo a termo de a a x,
e a série resultante convergirá uniformemente para ( )∫
x
a
duuf desde que f(x) seja seccionalmente
contínua em LxL ≤≤− e ambos, a e x, pertençam a esse intervalo.
Exemplo
Seja ( ) 2x2- ,xxf <<= .
a) Obtenha uma série de Fourier para ( ) 2x0 ,xxf 2 <<= , integrando a série de Fourier
( ) ( )∑
∞
=
+
−
==
1n
1n
2
xn
sen
n
14
xxf π
π
.
b) Use a série obtida anteriormente para mostrar que ( )∑
∞
=
+
=
−
1n
2
2
1n
12n
1 π
.
a) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
==
1n
1n
2
xn
sen
n
14
xxf π
π
( )
( )
+
−
+
−
==
+
−
+
−
==
L
L
2
u 4
sen
4
1
2
u 3
sen
3
1
2
u 2
sen
2
1
2
u
sen
4
uuf
2
x 4
sen
4
1
2
x 3
sen
3
1
2
x 2
sen
2
1
2
x
sen
4
xxf
ππππ
π
ππππ
π
Integrando a igualdade anterior de 0 a x, temos que:
+
π
−
π
+
π
−
π
π
−=
+
π
−
π
+
π−
π
π
−=
+
π
π
+
π
π
−
π
π
+
π
π
−
π
+=
++
π
π
++
π
π
−+
π
π
++
π
π
−
π
=
+
π
−
π
+
π
−
π
π
= ∫∫∫∫∫
L
L
L
444444444444444444 3444444444444444444 21
L
L
2
x 4
cos
4
1
2
x 3
cos
3
1
2
x 2
cos
2
1
2
x
cos
16Cx
2
x 4
cos
4
1
2
x 3
cos
3
1
2
x 2
cos
2
1
2
x
cos
8C
2
x
2
x 4
cos
4
2
2
x 3
cos
3
2
2
x 2
cos
2
2
2
x
cos
24C
2
x
C
2
x 4
cos
4
2C
2
x 3
cos
3
2C
2
x 2
cos
2
2C
2
x
cos
24
2
x
du
2
u 4
sen
4
1du
2
u 3
sen
3
1du
2
u 2
sen
2
1du
2
u
sen
4
udu
2222
2
2222
'
2
222
'
2
)1(
4232221
2
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
50
Em (1), se a soma ∞<++=∑
∞
=
K21
1i
i CCC for conhecida, podemos usá-la para determinar 0a .
( )
3
4
3
8
2
1
3
x
2
1dxx
2
1dxxf
L
1
2
aC
2
0
32
0
2
2
0
0
=⋅=
==== ∫∫
Logo:
2
x 4
cos
4
1
2
x 3
cos
3
1
2
x 2
cos
2
1
2
x
cos
16
3
4
x 2222
2
+
−
+
−
−= L
ππππ
π
( ) ( )∑
∞
=
+
−
−==
1n
2
1n
2
2
2
xn
cos
n
116
3
4
xxf π
π
(2.11.1)
b) Considerando 0x = em (2.11.1):
( )
( )
( )
( )
( )
12n
1
n
1
163
4
n
116
3
4
n
116
3
40
n
116
3
4
x
2
1n
2
1n
1n
2
1n2
1n
2
1n
2
1n
2
1n
2
1n
2
1n
2
2
π
π
π
π
π
=
−
−
=⋅
−
−=−
−
−=
−
−=
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
+
2.12 – A forma exponencial (ou complexa) da série de Fourier
a) Mostrar que ( ) ∑
∞
=
+
+=
1n
nn
0
L
xn
senb
L
xn
cosa
2
a
xf ππ pode ser escrita na forma
complexa ( ) ∑
∞
−∞=
=
n
L
x ni
necxf
π
.
51
b) Mostrar que os coeficientes de Fourier nn0 b e a ,a podem ser escritos como uma única
integral ( ) K3,2,1,0,n ,dxexf
L2
1
c
L
L-
L
x ni
n ±±±== ∫ −
π
.
a) Recordando as identidades de Euler (Leonhard Euler (1707-1783): matemático suíço)
( ) ( )θθθ sen icose i ±=±
Seja ( ) ( ) ( )[ ] xiexsen ixcosxf −+= . (2.12.1)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) xi xi eixsen ixcosexsen xcosixf
dx
d
−−
−++−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xf0exsen xcosixsen xcosixf
dx
d
xi ⇒=+−−= − é constante
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1e0sen i0cos0f 0i =+= −
( ) 1xf =
Voltando a (2.12.1), temos que:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) xi xi exsen ixcosexsen ixcos1 =+⇒+= −
Assim:
−
=
−+
−=
+
=
−
L
xn
sen i
L
xn
cos
L
xn
sen i
L
xn
cose
L
xn
sen i
L
xn
cose
L
xni
L
xni
ππππ
ππ
π
π
As igualdades anteriores conduzem a:
i2
ee
L
xn
sen
2
ee
L
xn
cos
L
xni
L
xni
L
xni
L
xni
ππ
ππ
π
π
−
−
−
=
+
=
Substituindo as igualdades acima na série de Fourier de ( )xf , temos que:
52
( )
( )
( )
( )
( ) ∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−−
∞
=
+
+
−
+=
−
+
+
+=
−+
++=
−
+
+
+=
+
+=
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
nnL
xni
nn0
1n
L
xni
L
xni
n
L
xni
L
xni
n
0
1n
nn
0
e
2
iba
e
2
iba
2
a
xf
e
i2
bia
e
i2
bia
2
a
xf
e
i2
b
2
a
e
i2
b
2
a
2
a
xf
i2
eeb
2
ee
a
2
a
xf
L
xn
senb
L
xn
cosa
2
a
xf
ππ
ππ
ππ
ππππ
ππ
Considerando
2
iba
c nnn
−
= e
cca
2
iba
c nnn
nn
n- −+=⇒
+
= e ( )nnn ccib −−= :
( ) ∑
∞
−∞=
π
=
n
ni
necxf L
x
2
a
c0n 00 =⇒=
Exercício
Mostre que
( )
=
≠
=∫
−
nm se 2L,
nm se ,0
dxe
L
L-
L
x mni π
b) Multiplicando ( ) ∑
∞
−∞=
=
n
L
xni
necxf
π
por L
xmi
e
π
−
e integrando de –L a L, obtemos:
( )
( ) ( )∑ ∫∫
∑ ∫∫
∞
−∞=
−
−
∞
−∞=
−−
=
=
n
L
L-
L
x mni
n
L
L-
L
x mi
n
L
L-
L
x mi
L
x ni
n
L
L-
L
x mi
dxe cdxexf
dxee cdxexf
ππ
πππ
53
Considerando mn = :
( )
( )∫
∫
−
−
=
=
L
L-
L
x ni
n
n
L
L-
L
x ni
dxexf
L2
1
c
L2cdxexf
π
π
Outra forma de mostrar:
( ) ( ) ( )
( )∫
∫∫
−
−−
−
=
−
=−=
L
L
n
L
L
L
L
nnn
dx
L
xn
sen i
L
xn
cosxf
L2
1
c
dx
L
xn
senxf
L
1idx
L
xn
cosxf
L
1
2
1iba
2
1
c
ππ
ππ
( )∫
−
−
=
L
L
L
xni
n dxexf L2
1
c
π
( ) ( )
2
a
cac2dxxf
L
1
c2dxxf
L2
1
c 0000
L
L
0
L
L
0 =⇒=⇒=⇒= ∫∫
−−
Exemplo
( ) 2L4P 2,x2- =⇒=<<= ,xxf
( )∫
−
−
=
L
L
L
xni
n dxexf L2
1
c
π
∫∫
−−
π
−
π
−
π
==
2
2
2
2
ni
n dx
n
senincosx
4
1dxxe
4
1
c
2
x
2
x
2
x
(2.12.2)
∫∫ π−= π−=
−
2
0
2
2
n dx
n
xsen
2
idxnsenx
4
i
c
2
x
2
x
Integrando por partes, temos que:
( )
π
π
−−=
π
π
+
π
π
−−= ncos
n
4
2
in
sen
n
4n
cos
n
x2
2
i
c
2
0
22n 2
x
2
x54
0c0n 0 =⇒= (substitua n por 0 em (2.12.2))
( ) ∑
∞
−∞=
π
=
n
ni
n ecxf L
x
( ) ( ) ( )∑∑
∞
−∞=
π
∞
−∞=
π
−
π
=−
π
=
n
nin
n
ni
e
n
1i2
e1
n
i2
xf 2
x
2
x
n
Verificando a equivalência entre as formas exponencial e usual:
( ) ( )∑
∞
−∞=
π
−
π−
π
=
n
n
2
xn
sen
2
xn
cos i
n
12
xf
Para n opostos, ( )
π−
2
x
n
n
cosi
n
1
se anula e ( )
π−
2
xn
sen
n
1 n duplica. Assim:
( ) ( )∑
∞
=
+
π−
π
=
1n
1n
2
xn
sen
n
14
xf
0dxx
4
1
c
2
0 == ∫
−
2
Exercícios
01. Determine a série de Fourier na forma exponencial de ( ) xexf −= , π<<π− x , ( ) ( )π+= 2xfxf .
R.: ( ) ( ) ( )∑
∞
−∞=
+
−
π
π
=
n
inx
n
e
in1
1senh
xf
02. Seja ( )
<<−
<<
=
5x0 ,10
0x5- ,01
xf , ( ) ( )10xfxf += . Expanda ( )xf em série de Fourier na forma
exponencial.
( ) 0n ,1
n
i2
c
n
n ≠−
π
=
55
R.: ( ) ( )∑
∞
−∞=
π+
=⇒=
+−
π
=
n
0
5
xni1n
0c0n ,e
n
11i10
xf ou ( )
( )
∑
∞
−∞=
π−
−π
=
n
5
x 1n2i
1n2
ei20
xf
03. Seja ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2xf =π+π<<π= .
a) Expanda ( )xf em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em
π±=x ?
R.: ( ) ( ) 0c0n ,e
n
1i 2xf 0
n
inx
n
=⇒=
−
= ∑
∞
−∞=
Em π±=x a série de Fourier converge para a média dos limites laterais, ou seja, zero.
b) Use a série determinada no item a para calcular ∑
∞
=1n
2n
1
. R.:
6
2π
2.13 – Aplicações da série de Fourier na solução de equações diferenciais parciais
A série de Fourier surge na solução de equações diferenciais parciais, tais como a equação do
calor, a equação da onda e a equação de Laplace.
2.13.1 – Equações diferenciais
Uma equação diferencial é uma igualdade que relaciona uma função e suas derivadas (ou
apenas as derivadas dessa função).
Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma igualdade envolvendo as derivadas de uma
função de uma única variável independente.
Exemplos
( ) ( ) 0 t,0ty3
dt
tdy
>=+ (1)
( ) ( ) ( ) 0 x,x2cos3xu4xu '' >π=− (2)
Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma igualdade envolvendo as derivadas de uma
função de duas ou mais variáveis independentes.
Exemplos
( ) ( ) 0 t2,x0 ,t,xu2t,xu xxt ><<= (3)
56
( ) ( ) 1y0 1,x0 ,xy2
y
y,xu
x
y,xu
2
2
2
2
<<<<=
∂
∂
+
∂
∂
(4)
( ) ( ) ( ) ( ) 0 t5,x1 ,t,xu t,xut,xut,xu xxxt ><<Γ=+ (5)
A ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada (simples ou parcial) de maior ordem
que ocorre na equação.
Uma equação diferencial é dita linear quando depende linearmente da função (variável
dependente) envolvida e seus coeficientes independem dessa função.
Uma equação diferencial é dita homogênea quando o termo que independe da função e de suas
derivadas é identicamente nulo.
Assim, nos exemplos dados anteriormente, temos em:
(1) uma EDO linear de 1a ordem homogênea;
(2) uma EDO linear de 2a ordem não homogênea;
(3) uma EDP linear de 2a ordem homogênea;
(4) uma EDP linear de 2a ordem não homogênea (equação de Poisson);
(5) uma EDP não linear de 2a ordem não homogênea (equação de Burger).
Na solução de equações diferenciais parciais podemos ter dois tipos de informações
suplementares necessárias à unicidade de solução: condições iniciais e condições de contorno
(domínios limitados). Dessa forma, teremos problemas de valor inicial, problemas de contorno ou
problemas mistos (ambos).
Uma equação diferencial parcial de segunda ordem da forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gy,xF
y
y,xE
x
y,xD
y
y,xC
yx
y,xB
x
y,xA 2
22
2
2
=φ+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂∂
φ∂
+
∂
φ∂
é dita elíptica se 0AC4B2 <− , parabólica se 0AC4B2 =− e hiperbólica se 0AC4B2 >− .
2.13.2 – Equação do calor
( ) ( )t,xu t,xu xxt κ= (equação diferencial parcial parabólica)
A formulação matemática da equação do calor pode ser encontrada em FIGUEIREDO, D.G.
Análise de Fourier e equações diferenciais parciais, página 1.
Obtenha uma solução ( )t,xu para o problema misto abaixo.
57
( ) ( )
( )
( )
<
<<=
>==
<<>
∂
∂
=
∂
∂
limitada) (solução Mtx,u
2x0 ,xx,0u
0 t,0t,2ut0,u
2x0 0, t ,
x
u3
t
u
2
2
Solução: ( ) ( ) ( )tTxXt,xu = (separação de variáveis) (2.13.2.1)
Substituindo (1) na equação diferencial parcial, obtemos:
( ) ( )XT
x
3XT
t 2
2
∂
∂
=
∂
∂
2
2
dx
XdT3
dt
dTX =
2
2
2
dx
Xd
X
1
dt
dT
T3
1 λ−== (2.13.2.2)
Pode-se mostrar que uma constante 0c ≥ em (2.13.2.2) não satisfaz as condições de contorno.
Assim:
=+
=+
0X
dx
Xd
0T3
dt
dT
2
2
2
2
λ
λ
(2.13.2.3)
A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (2.13.2.3) é:
( ) ( )x senBx cosAX
CeT
11
t3 2
λλ
λ
+=
=
−
(2.13.2.4)
Substituindo (2.13.2.4) em (2.13.2.1), encontramos
( ) ( ) ( )[ ] constantes B eA , xBsen xcosAet,xu t3 2 λλλ += − . (2.13.2.5)
Precisamos agora determinar A e B de tal maneira que (2.13.2.5) satisfaça as condições de
contorno.
( ) ( ) ( )
xsenBet,xu0A0Ae0t,0u t3t3
22 λλλ −− =⇒=⇒=⇒= (2.13.2.6)
( ) ( ) 02senBe0t,2u t3 2 =⇒= − λλ (2.13.2.7)
Como 0B = satisfaz (2.13.2.7) (não nos interessa a solução trivial), evitamos essa escolha
( ( ) 0t,xu = ). Consideremos então
58
( ) Zn ,
2
n
n202sen ∈=⇒=⇒= πλπλλ . (2.13.2.8)
Substituindo (2.13.2.8) em (2.13.2.6):
( )
=
−
2
xn
seneBt,xu 4
tn3
n
22
ππ
. (2.13.2.9)
Em (2.13.2.9), substituímos B por nB , indicando que constantes diferentes podem ser usadas
para diferentes valores de n.
Lembrando que somas de soluções da forma (2.13.2.9) são também soluções (princípio da
superposição), podemos escrever (2.13.2.9) como:
( ) ∑
∞
=
−
=
1n
4
tn3
n 2
xn
seneBt,xu
22
ππ
.(2.13.2.10)
A solução (2.13.2.10) deve satisfazer também a condição inicial ( ) 2x0 ,x0,xu <<= .
Portanto, substituindo 0t = em (2.13.2.10), obtemos:
2x0 ,
2
xn
senBx
1n
n <<
=∑
∞
=
π
. (2.13.2.11)
Observe que (2.13.2.11) equivale a expandir ( ) xxf = , 2x2 <<− , em uma série de Fourier de
senos.
Logo:
( ) ( ) ( ) 1nnn 1
n
41
n
4
ncos
n
4B +−
π
=−
π
−=π
π
−= . (questão resolvida anteriormente) (2.13.2.12)
Substituindo (2.13.2.12) em (2.13.2.10), chegamos à solução
( ) ( )∑
∞
=
π
−
+
π−
π
=
1n
4
tn3
1n
2
xn
sene
n
14
t,xu
22
.
(2.13.2.13)
Exercício
Mostre que a solução (2.13.2.13) satisfaz a equação diferencial parcial, as condições de contorno e a
condição inicial.
59
2.13.3 – Equação da onda
( ) ( )t,xu ct,xu xx2tt = (equação diferencial parcial hiperbólica)
A formulação matemática da equação da onda pode ser encontrada em FIGUEIREDO, D.G.
Análise de Fourier e equações diferenciais parciais, página 130.
Determine uma solução ( )t,xu para o seguinte problema misto.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
<
<<=
<<=
>==
><<
∂
∂
=
∂
∂
M
00,x
xf
0t,Lu
x
u
a
t
u
2
2
2
2
2
tx,u
Lx0 u
Lx0 x,0u
0t t0,u
0t L,x0
t
Solução: ( ) ( ) ( )tTxXt,xu = (separação de variáveis) (2.13.3.1)
Substituindo (2.13.3.1) na equação diferencial parcial, obtemos:
( ) ( )XT
x
aXT
t 2
2
2
2
2
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
dx
XdTa
dt
TdX =
2
2
2
2
2
2 dx
Xd
X
1
dt
Td
Ta
1 λ−== (2.13.3.2)
=λ+
=λ+
0X
dt
Xd
0Ta
dt
Td
2
2
2
22
2
2
(2.13.3.3)
A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (2.13.3.3) é:
( ) ( )
( ) ( )xsenBxcosBX
tasenAtacosAT
21
21
λ+λ=
λ+λ=
. (2.13.3.4)
Substituindo (2.13.3.4) em (2.13.3.1), encontramos
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xsenBxcosBtasenAtacosAt,xu 2121 λ+λλ+λ= . (2.13.3.5)
60
Devemos agora determinar as constantes para que (2.13.3.5) satisfaça as condições de contorno
e as condições iniciais.
( ) ( ) ( )[ ] 0000 1211 =⇒=λ+λ⇒= BtasenAtacosABt,u (a solução trivial não interessa)
(2.13.3.6)
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]tacosBtaAsenxsenxsenBtasenAtacosAt,xu λ+λλ=λλ+λ= 221 (2.13.3.7)
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 00 =λ+λλ⇒= tacosBtaAsenLsent,Lu (2.13.3.8)
( ) Zn 0 ∈π=λ⇒π=λ⇒=λ ,
L
n
nLLsen (2.13.3.9)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]taBsenatacosAaxsent,xu t λλ−λλλ=
( ) ( ) 000 =⇒=λλ= AxAsena,xu t (2.13.3.10)
Substituindo (2.13.3.9) e (2.13.3.10) em (2.13.3.7), temos que:
( ) ( ) ( )tacosxBsent,xu λλ= ;
( ) ∑
∞
=
π
π
=
1n
n
n
cos
n
senBt,xu
L
at
L
x
. (2.13.3.11)
Em (2.13.3.11), acrescentamos o índice n à constante B pensando na superposição de soluções.
( ) ( ) ( )∑
∞
=
=
π⇒=
1n
n xf
n
senBxf0,xu
L
x
. (2.13.3.12)
Temos em (2.13.3.12) a expansão de f(x) em uma série de Fourier de senos. Logo:
( )∫ π=
L
0
n dx
n
senxf
L
2B
L
x
. (2.13.3.13)
Substituindo (2.13.3.13) em (2.13.3.11), obtemos a solução procurada.
( ) ( )∑ ∫
∞
=
π
π
π
=
1n
L
0
n
cos
n
sendxnsenxf
L
2
t,xu
L
at
L
x
L
x
(2.13.3.14)
Exercício
Mostre que a solução (2.13.3.14) satisfaz a equação diferencial parcial, as condições de contorno e as
condições iniciais.
61
2.13.4 – Equação de Laplace
( ) ( ) 0y,xu y,xu yyxx =+ (equação diferencial parcial elíptica)
Obtenha uma solução ( )y,xu para o problema de contorno a seguir.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
<
==
===
<<<<=
∂
∂
+
∂
∂
M
yfu
0,xuy,1u
y
u
x
u
1
2
2
2
2
tx,u
x,1u
0y0,u
1y0 1,x0 0
y
u1
1
0 0
x
0 0 1
Figura 17: Condições de contorno para a equação de Laplace.
Solução: ( ) ( ) ( )yYxXy,xu = (separação de variáveis) (2.13.4.1)
Substituindo (2.13.4.1) na equação diferencial parcial, obtemos:
( ) ( ) 0XY
y
XY
x 2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
0
dy
YdX
dx
XdY 2
2
2
2
=+
2
2
2
2
2
dy
YdX
dx
XdY λ−=−=
2
2
2
2
2
dy
Yd
Y
1
dx
Xd
X
1 λ−=−= (2.13.4.2)
62
=λ−
=λ+
0Y
dy
Yd
0X
dx
Xd
2
2
2
2
2
2
(2.13.4.3)
A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (2.13.4.3) é:
( ) ( )
( ) ( )ysenhBycoshAY
xsenBxcosAX
λ+λ=
λ+λ=
22
11
. (2.13.4.4)
Substituindo (2.13.4.4) em (2.13.4.1), encontramos
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ysenhBycoshAxsenBxcosAt,xu λ+λλ+λ= 2211 . (2.13.4.5)
Devemos agora determinar as constantes para que (2.13.4.5) satisfaça as condições de contorno.
( ) ( ) ( )[ ] 0000 1221 =⇒=λ+λ⇒= AysenhBycoshAAy,u (a solução trivial não interessa)
(2.13.4.6)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]yBsenhycoshAxsent,xu λ+λλ= (2.13.4.7)
( ) ( ) 0000 =⇒=λ⇒= AxAsen,xu(2.13.4.8)
( ) ( ) ( )ysenhxBsent,xu λλ= (2.13.4.9)
( ) ( ) ( ) ( ) Zn ,n 0001 ∈π=λ⇒=λ⇒=λλ⇒= senysenhBseny,u (2.13.4.10)
Substituindo (2.13.4.10) em (2.13.4.9) e usando o princípio da superposição, temos que:
( ) ( ) ( )∑
∞
=
ππ=
1n
n ynsenhxnsenBt,xu ; (2.13.4.11)
( ) ( ) ( ) 1
1n
n1 uxnsennsenhBu1,xu =ππ⇒= ∑
∞
=
. (2.13.4.12)
Temos em (2.13.4.12) a expansão de 1u em uma série de Fourier de senos. Assim:
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1
n
1
0
1n xncos
n
1
nsenh
u2Bdx xnsenu
1
2Bnsenh
π
π
−
π
=⇒π=π ∫ ;
63
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]11nsenhn u21ncosnsenhn u2B 1n11n +−ππ=+π−ππ= + . (2.13.4.13)
Substituindo (2.13.4.13) em (2.13.4.11), obtemos a solução procurada.
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
ππ
π
+−
π
=
1n
1n
1 ynsenhxnsen
nsenhn
11u2
t,xu
(2.13.4.14)
Exercícios
01. Mostre que a solução (2.13.4.14) satisfaz a equação diferencial parcial e as condições de contorno.
02. Suponha uma barra de comprimento L (extremos em 0x = e Lx = ) com temperatura inicial dada
por uma função f(x). Determine a distribuição de temperatura na barra.
Para este caso, o problema de valor de contorno é dado por
( ) ( )
( ) ( )
( )
<
<<=
>==
<<>
∂
∂
=
∂
∂
limitada) (solução Mtx,u
Lx0 ,xfx,0u
0 t,0t,Lut0,u
Lx0 0, t ,
x
u
t
u
xx
2
2
κ
R.: ( ) ( ) ( )∑ ∫∫
∞
=
−
+=
1n
L
tn L
0
L
0 L
xn
cosedx
L
xn
cosxf
L
2dxxf
L
1
t,xu 2
22
ππ
πκ
03. Solucione o problema misto:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
<
<<=
>==
><<
∂
∂
=
∂
∂
M
x25
0t,4u
t,xu
x
2t,xu
t 2
2
tx,u
4x0 x,0u
0t t0,u
0t 4,x0
R.:
( )
( ) ( )∑
∞
=
π
−
+
+
π−
π
=
−
π
=
1n
8
tn1n
1n
n
4
xn
sene
n
1200
t,xu
1
n
200B
22
64
04. Solucione os problemas de valor de contorno a seguir empregando o método de separação de
variáveis.
a)
( ) ( )
( )
=
=+
−x
yx
e40,xu
0y,xu2y,xu3
R.: ( ) ( )2x2y3e4y,xu −=
b)
( ) ( ) ( )
( )
+=
+
∂
∂
=
∂
∂
−− x3x5 e2e30,xu
y,xuy,xu
y
2y,xu
x
R.: ( ) y2x3y3x5 e2e4y,xu −−−− +=
65
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2.14 – Exercícios resolvidos
01. Seja ( ) ( )x2senxxf/RR:f 2=→ , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ .
a) Plote o gráfico de ( )xf com pelo menos três períodos.
(a) (b)
Figura 18: Gráfico de ( ) ( )x2senxxf/RR:f 2=→ : (a) ( )ππ−∈ ,x ; (b) ( ) ( )xf2xf =π+ .
b) Determine a série de Fourier de ( )xf .
( ) ( ) ( ) ( )x2senxx2senxxf 22 −=−−=−
( )xf é função ímpar (produto de uma par por uma ímpar) 1n0a ,0a n0 ≥∀==⇒
π=⇒π== L2L2P
( ) ( ) ( )∫∫
π
π
=
π
=
0
2
L
0
n dxnxsenx2senx
2dx
L
x n
senxf
L
2b (2.14.1)
Empregando a identidade ( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos
2
1
vsenusen +−−= em (2.14.1), temos que:
( )[ ] ( )[ ]
+−−
π
= ∫∫
ππ
0
2
0
2
n dxx2ncosx dxx2ncosx
1b (2.14.2)
Calculando a integral indefinida (integração por partes):
66
( ) ( )
a
axsen
v,dxaxcosdv
2xdxdu ,xu 2
==
==
( ) ( )
a
axcos
v,dxaxsendv
dxdu ,xu
−==
==
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) C
a
axsen2
a
axcosx2
a
axsenx
dxaxcos
a
1
a
axcosx
a
2
a
axsenx
dxaxsen x
a
2
a
axsenxdxaxcosx
32
2
2
2
2
+−+=
+−−=
−=
∫
∫∫
(2.14.3)
Usando (2.14.3) em (2.14.2):
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )[ ]
( )
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )[ ]
( )
+
+
−
+
+
+
+
+
π
+
−
−
−
−
−
+
−
−
π
=
π
π
|
|
0
32
2
0
32
2
n
2n
x2nsen2
2n
x2ncosx2
2n
x2nsenx1
-
2n
x2nsen2
2n
x2ncosx2
2n
x2nsenx1b
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )[ ]
( )
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )[ ]
( )
+
π+
−
+
π+π
+
+
π+π
π
+
−
π−
−
−
π−π
+
−
π−π
π
=
32
2
32
2
n
2n
2nsen2
2n
2ncos2
2n
2nsen1
-
2n
2nsen2
2n
2ncos2
2n
2nsen1b
Como ( )[ ] ( )n12ncos −=π± e ( )[ ] 02nsen =π± :
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
+
−
−
−=
+
−π
−
−
−π
π
= 22
n
2
n
2
n
n 2n
1
2n
112
2n
12
2n
121b
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
−
+−−++
−=
+−
−−+
−= 22
22
n
22
22
n
n
4n
4n4n4n4n12
2n2n
2n2n12b
( ) ( )
( )
( ) 2n ,4n
1n16
4n
n812b 22
n
22
n
n ≠
−
−
=
−
−=
9
16b1 −=
Para calcular 2b , voltamos a (2.14.2):
67
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
( )[ ] ( )[ ]
( )
( ) ( ) ( )
8
1
3
16
2
3
1
4
x4sen2
4
x4cosx2
4
x4senx
3
x1
dxx4cosx dxx 1
dxx22cosx dxx22cosx 1b
2
3
0
32
2
0
3
0
2
0
2
0
2
0
2
2
|
−
π
=
π
−
π
π
=
−+−
π
=
−
π
=
+−−
π
=
ππ
ππ
ππ∫∫
∫∫
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑
∞
=
−
−
+
−
π
+−=
3n
22
n2
nxsen
4n
1n16x2sen
8
1
3
xsen
9
16
xf (2.14.4)
c) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf truncada (empregue
diferentes harmônicos) e faça comentários pertinentes.
(a) (b)
Figura 19: Gráfico de ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑
∞
=
−
−
+
−
π
+−=
3n
22
n2
nxsen
4n
1n16x2sen
8
1
3
xsen
9
16
xf : (a) 3n = ; (b)
1000n = .
68
Comentários: Como ( )xf tem descontinuidades do tipo removível em K,5 ,3 , π±π±π± , não
se observa o fenômeno de Gibbs na série de Fourier de ( )xf . Nas descontinuidades de ( )xf , a série de
Fourier converge para a média dos limites laterais (zero).
d) Use a série de Fourier de ( )xf para determinar para quanto converge a série numérica
( ) ( )
( ) ( ) K+−+−=+−
+−∑
∞
=
+
22222222
1n
22
1n
11.7
9
9.5
7
7.3
5
5.1
3
3n21n2
1n21
.
Considerando
2
x
π
= em (2.14.4) e lembrando que ( ) ( )( )2n2n4n 2222 +−=− :
( ) ( )
( ) ( )∑
∞
=
+
+−
+−
=
+−+−+−==
π
1n
22
1n
22222222
3n21n2
1n2116
9
16
11.7
9
9.5
7
7.3
5
5.1
316
9
160
2
f K
( ) ( )
( ) ( ) 9
1
3n21n2
1n21
1n
22
1n
=
+−
+−∑
∞
=
+
02. Seja ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf/RR:f =→ , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ .
a) Determine a série de Fourier de ( )xf .
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )x-f
xcoshx-senh
xcoshxsenhxf
=
=
−−=−
( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = é uma função ímpar (produto de uma ímpar por uma par)
1n0a ,0a n0 ≥∀==⇒
π=⇒π== L2L2P
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
π
π
=
π
=
0
L
0
n dxnxsenxcoshxsenh
2dx
L
x n
senxf
L
2b
69
( )∫
π
−−
+
−
π
=
0
xxxx
dxnxsen
2
ee
2
ee2
( )∫
π
−
−−+
π
=
0
x22x
dxnxsen
4
e11e2
( ) ( )
−
π
= ∫∫
ππ
0
2x-
0
2x dxnxsene dxnxsene
2
1
(2.14.5)
Calculando a integral indefinida (integração por partes) ( )∫ dxnxseneax :
( ) ( )
n
nxcos
v,dxnxsendv
dxaedu ,eu axax
−==
==
( ) ( ) ( )∫∫ +−= dxnxcos enan nxcosedxnxsene ax
ax
ax
( ) ( )
n
nxsen
v,dxnxcosdv
dxaedu ,eu axax
==
==
( ) ( ) ( ) ( )
−+−= ∫∫ dxnxsen enan nxsenenan nxcosedxnxsene ax
axax
ax
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −+−= dxnxsen enan nxsenaen nxcosedxnxsene ax2
2
2
axax
ax
( ) ( ) ( )2
axax
ax
2
2
n
nxsenae
n
nxcosedxnxsene
n
a1 +−=
+ ∫
( ) ( ) ( ) C
n
nxsenae
n
nxcose
an
ndxnxsene 2
axax
22
2
ax +
+−
+
=∫ (2.14.6)
Substituindo (2.14.6) em (2.14.5), primeiramente com 2a = e depois com 2a −= , tem-se que:
70
( ) ( )
( ) ( )
−−
+π
+
+−
+π
=
π
−−
π
|
|
0
2
x2x2
2
2
0
2
x2x2
2
2
n
n
nxsene2
n
nxcose
4n
n
2
1
-
n
nxsene2
n
nxcose
4n
n
2
1b
( ) ( )
−
π
++
π
−
+π
=
π−π
n
1
n
ncose
n
1
n
ncose
4n
n
2
1b
22
2
2
n
( ) ( )π−π +−
+
π
π
=
22
2n ee4n
ncosn
2
1b
( ) ( )π−π +−
+
−
π
=
22
2
n
ee
4n
1n
2
1
( ) ( )π−π+ −
+
−
π
=
22
2
1n
ee
4n
1n
2
1
( )
2
ee
4n
1n1 22
2
1n π−π+
−
+
−
π
=
( ) ( )
4n
n12senh
2
1n
+
−
π
π
=
+
( ) ( ) 1n ,
4n
n12senhb 2
1n
n ≥
+
−
π
π
=
+
( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
+
−
π
π
=
1n
2
1n
nxsen
4n
n12senh
xf
b) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf truncada (empregue
diferentes harmônicos) e faça comentários pertinentes.
71
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 20: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ .
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 21: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 1n = (vermelho).
72
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 22: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 10n = (vermelho).
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 23: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 20n = (vermelho).
73
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 24: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 50n = (vermelho).
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
x
y
Figura 25: Gráfico de ( ) ( ) ( )xcoshxsenhxf = , ( )ππ−∈ ,x , ( ) ( )xf2xf =π+ (azul), e da série de
Fourier de ( )xf com 1000n = (vermelho).
74
Comentários: Como o prolongamento periódico de ( )xf tem descontinuidades do tipo salto
finito, observa-se o fenômeno de Gibbs na série de Fourier de ( )xf , isto é, oscilações de maior
amplitude nas vizinhançasdos saltos. A estimativa para a maior amplitude é de cerca de %9 da
amplitude do salto. Nas descontinuidades de ( )xf , a série de Fourier converge para a média dos limites
laterais (zero).
x
Figura 26: Gráfico da série de Fourier de ( )xf com 1n = (vermelho), 10n = (verde escuro), 20n =
(verde claro), 50n = (marron) e 1000n = (preto).
03. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x3coshxf =π+π<<π= .
a) Determine a série de Fourier de ( )xf .
( ) ( )
( )
( )xf
x3cosh
x3coshxf
=
=
−=−
( ) ( )x3coshxf = é uma função par 1n 0bn ≥∀=⇒
π=⇒π== L2L2P
( ) ( ) ( )π
π
=
π
=
π
=
ππ
∫ 3senh323 x3senh2dxx3cosh 2a 0
0
0
75
( ) ( )∫
π
π
=
0
n dxx ncosx3cosh
2
a (2.14.7)
Calculando a integral indefinida (integração por partes) ( ) ( )∫ dxnxcosx3cosh :
( ) ( )
( ) ( )
n
nxsen
v,dxnxcosdv
dxx3senh3du ,x3coshu
==
==
( ) ( )
( ) ( )
n
nxcos
v,dxnxsendv
dxx3cosh3du ,x3senhu
−==
==
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −= dxnxsenx3senhn3n nxsenx3coshdxnxcosx3cosh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−−= ∫∫ dxnxcosx3coshn3n nxcosx3senhn3n nxsenx3coshdxnxcosx3cosh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 n
nxcosx3senh3
n
nxsenx3coshdxnxcosx3cosh
n
91 +=
+ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C
n
nxcosx3senh3
n
nxsenx3cosh
9n
ndxnxcosx3cosh 22
2
+
+
+
=∫ (2.14.8)
Substituindo (2.14.8) em (2.14.7), tem-se que
( ) ( ) ( ) ( ) π
+
+π
=
0
22
2
n
n
nxcosx3senh3
n
nxsenx3cosh
9n
n2
a
( ) ( )
ππ
+π
= 22
2
n
n
ncos3senh3
9n
n2
a
( ) ( )
9n
13senh6
a 2
n
n
+
−
π
π
= .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
π
π
+
π
π
=
1n
2
n
nxcos
9n
13senh6
3
3senh
xf (2.14.9)
b) Calcule para quanto converge a série numérica
( )
K+−+−+−=
+
−∑
∞
=
34
1
25
1
18
1
13
1
10
1
9n
1
1n
2
n
.
76
Considerando 0x = em (2.14.9), tem-se que ( ) 10cosh = ( ( )xf é contínua em 0x = ) e que
( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
π
π
+
π
π
=
1n
2
n
9n
13senh6
3
3senh1
( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
π
π
=
π
π
−
1n
2
n
9n
13senh6
3
3senh1
( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
π
π
=
π
π−π
1n
2
n
9n
13senh6
3
3senh3
( ) ( )
( )
( )
( )π
π−π
=
π
π
π
π−π
=
+
−∑
∞
=
3senh18
3senh3
3senh63
3senh3
9n
1
1n
2
n
.
77
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
2.15 – Exercícios complementares
01. Seja ( )xf , representada graficamente abaixo, uma função π -periódica.
f(x)
2
x
2
π
−
2
π
-2
Figura 27: Gráfico de
( )
π
<<+
π
−
<<
π
−
π
−
=
2
x0 24
0
2
- 24
,x
x,x
xf , ( ) ( )xfxf =π+ .
Expanda ( )xf em série de Fourier.
R.: ( )∑
∞
=
π
1
214
n
nxsen
n
Figura 28: Gráfico de
( )
π
<<+
π
−
<<
π
−
π
−
=
2
x0 24
0
2
- 24
,x
x,x
xf , ( ) ( )xfxf =π+ , e da série de Fourier de ( )xf
com 5n = e 20n = .
78
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
02. Seja ( )xf , representada graficamente abaixo, uma função π -periódica.
f(x)
2
x
2
π
−
2
π
Figura 29: Gráfico de
( )
π≤≤+
π
−
<≤π+
π
=
2
x0 ,2x4
0x
2
- ,2x4
xf , ( ) ( )xfxf =π+ .
Expanda ( )xf em série de Fourier.
R.: ( ) ( )∑
∞
=
+ +−
π
+
1
2
1
2 2
1141
n
n
nxcos
n
Figura 30: Gráfico de
( )
π≤≤+
π
−
<≤π+
π
=
2
x0 ,2x4
0x
2
- ,2x4
xf , ( ) ( )xfxf =π+ , e da série de Fourier de ( )xf com
2n = e 4n = .
79
03. Seja ( )xf a função representada graficamente abaixo. Sabendo que ( ) ( )π+= 4xfxf , determine a
série de Fourier de ( )xf na forma usual.
f(x)
2
x
π− 2 π− π π2
-2
Figura 31: Gráfico de
( )
π≤≤π−
π
π<≤π−
π−<≤π−
π
−
=
2x ,6x4
x- ,2
x2- ,6x4
xf , ( ) ( )xf4xf =π+ .
R.: ( )
( )
∑
π
−−
π
+−=
2
x n
cos
n
2
n
cos1
161xf 2
n
2
04. Seja ( )xf a função representada graficamente abaixo. Sabendo que ( ) ( )π+= 6xfxf , determine a
série de Fourier de ( )xf na forma usual.
f(x)
3
x
π− 3 π− π π3
-3
Figura 32: Gráfico de
( )
π≤≤π+
π
π<≤π
π−<≤π+
π
=
3x ,6x3-
x- ,3
x3- ,6x3
xf , ( ) ( )xf6xf =π+ .
80
R.: ( )
( )
∑
π
+−
π
+=
+
3
x n
cos
n
3
n
cos1
181xf 2
1n
2
05. Seja ( )
<<
<<−
=
4x0 ,8
0x4- ,8
xf , ( ) ( )8xfxf += . Expanda ( )xf em série de Fourier na forma
exponencial.
R.: ( ) ( )∑
∞
−∞=
π
=⇒=
−−
π
=
n
0
4
xnin
0c0n ,e
n
11i8
xf
06. Seja ( ) ( ) ( )xf2xf ,
x0 ,x2
0x- ,x2
xf =π+
π<<
≤<π−
= .
a) Expanda ( )xf em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em
π±=x ?
R.: ( ) ( ) π=⇒=−−
π
= ∑
∞
−∞=
0
n
inx
2
n
c0n ,e
n
112
xf
Em π±=x a série de Fourier converge para a média dos limites laterais, ou seja, π2 .
b) Use a série determinada no item a para calcular ( )∑
∞
=
−
1n
21n2
1
.
R.:
8
2π
07. a) Obtenha a série de Fourier que converge para a função π2 -periódica ( ) xexf = , ππ <<− x .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
−
+
−
+= ∑
∞
=1n
2
n
nxsen nnxcos
1n
1
2
1senh2
xf
π
π
b) Determine a identidade de Parseval correspondente à série obtida no item anterior.
R.: ( ) ( )( )π
πππ
2
2
1n
2 senh 4
senh 22senh
1n
1 −
=
+∑
∞
=
81
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
08. Sendo ( ) ( )
≤≤
≤≤
=
π
π
x0 se ,xsen
0x- se ,0
xf uma função π2 -periódica:
a) expanda ( )xf em uma série de Fourier;
R.: ( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
−
+−
++=
2n
2
n
nxcos
n1
111
xsen
2
11
xf
ππ
b) mostre que
16
8
7.5
1
5.3
1
3.1
1 2
222222
−
=+++
π
L .
Sugestão: Calcule a identidade de Parseval.
09. Seja
( ) ( )
π<<
<<π
=
x0 ,xcos
0x- ,0
xf , ( ) ( )π+= 2xfxf (1)
e sua série de Fourier
( ) ( ) ( )[ ] ( )∑
∞
=
−
+−
π
+=
2n
2
n
nxsen
1n
11n1
xcos
2
1
xf . (2)
A Figura 22 ilustra o gráfico de ( )xf e de sua série de Fourier com 50n = .
(a) (b)
Figura 33: (a) Gráfico de ( ) ( )
π<<
<<π
=
x0 ,xcos
0x- ,0
xf , ( ) ( )π+= 2xfxf ; (b) gráfico de
( ) ( ) ( )[ ] ( )∑
∞
=
−
+−
π
+=
2n
2
n
nxsen
1n
11n1
xcos
2
1
xf , com 50n = .
82
a) ( )xf é par ou ímpar? Justifique.
b) Identifique os coeficientes de Fourier de ( )xf .
R.: ( )[ ]( ) 2n1n 11nb ,0b ,2n0a ,21a ,0a 2
n
n1n10 ≥∀
−π
+−
==≥∀===
c) Para quanto converge a série (2) se π= 14x ? E se
6
953
x
π
= ? Justifique.
R.: Em π= 14x a série converge para
2
1
; em
6
953
x
π
= a série converge para
2
3
− .
d) Use a série de Fourier de ( )xf para determinar a convergência da série ( )( ) ( )∑
∞
=
+−
1n
22
2
1n21n2
n2
.
R.:
16
2π
10. Prove que, para π≤≤ x0 :
a) ( ) ( ) ( ) ( )
+++−=− L222
2
3
6 cos
2
4 cos
1
2 cos
6
xxx
xx
π
π
b) ( ) ( ) ( ) ( )
+++=− L333 5
5
3
3
1
8 xsenxsenxsen
xx
π
π
Usando (a) e (b), mostre que:
c) ( )∑
∞
=
−
π
=
−
1
2
2
1
12
1
n
n
n
d) ( )( )∑
∞
=
−
π
=
−
−
1
3
3
1
3212
1
n
n
n
e) ( )∑
∞
=
π
=
−
1
6
6 96012
1
n
n
e
∑
∞
=
π
=
1
6
6 945
1
n
n
11. a) Mostre que, em ππ <<− x ,
83
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+−+−= Lx4sen
5.3
4
x3sen
4.2
3
x2sen
3.1
22xsen
2
1
xcosx .
Figura 34: Gráfico de ( ) ( ) ππ <<= x- ,xcosxxf , e da série de Fourier de ( )xf com 5n = e 10n = .
b) Usando (a), mostre que em ππ ≤≤− x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+−−−= L
5.3
x4cos
4.2
x3cos
3.1
x2cos2xcos
2
11xsen x .
Figura 35: Gráfico de ( ) ( ) ππ ≤≤= x- ,xsen xxf , e da série de Fourier de ( )xf com 5n = .
84
c) Empregando (a) e (b), mostre que:
( ) ( )
( ) 4
1
2n2n2
1n21
1n
1n
=
+
+−∑
∞
=
+
R.: Use
2
x
π
= em (a)
( ) 4
3
2nn
1
1n
=
+∑
∞
=
R.: Use π=x em (b)
12. Seja ( ) ( )
<≤
≤<+
=
+ 2x0 se ,e
0x2- se ,2x
2
e
xf
2x-
2
uma função 4-periódica, representada graficamente abaixo.
Figura 36: Gráfico da função ( ) ( )
<≤
≤<+
=
+ 2x0 se ,e
0x2- se ,2x
2
e
xf
2x-
2
, de período fundamental 4P = .
a) Verifique se f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.
b) Determine a série de Fourier correspondente a f(x).
R.:
2
1
ea 20 −= , ( )[ ] ( )[ ]n222n22 2n 1e4n 211nea −−++−−= ππ , ( )[ ]n222
2
n 1e4n
n
n
eb −−
+
+−=
π
π
π
c) Calcule a identidade de Parseval da série de Fourier obtida no item anterior.
85
R.: ( )
8
3
2
e
12
eba
24
1n
2
n
2
n −+=+∑
∞
=
d) Usando um software gráfico, plote o gráfico da série de Fourier determinada em (b) com pelo
menos quinze (15) harmônicos.
Figura 37: Série de Fourier com 15n = da função ( ) ( )
<≤
≤<+
=
+ 2x0 se ,e
0x2- se ,2x
2
e
xf
2x-
2
, de período
fundamental 4P = .
13. Seja ( ) ( )
<<−
≤≤
=
3x0 se ,x3x
0x3- se ,0
xf 2 , ( ) ( )xf6xf =+ .
a) Esboce o gráfico da função dada com pelo menos três períodos.
Figura 38: Gráfico da função ( ) ( )
<<−
≤≤
=
3x0 se ,x3x
0x3- se ,0
xf 2 , de período fundamental 6=P .
86
−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425
−23
−22
−21
−20
−19
−18
−17
−16
−15
−14
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
x
y
b) Determine a série de Fourier de f(x).
R.;
4
9
0 =a , ( )[ ] ( )nnn
nn
a 12711162 2244 −π
−−−
π
= , ( )[ ]11254 133 −−π= +nn nb
c) Esboce o gráfico da série de Fourier determinada em (b) com pelo menos cinco (5) harmônicos.
Figura 39: Série de Fourier com 5n = da função ( ) ( )
<<−
≤≤
=
3x0 se ,x3x
0x3- se ,0
xf 2 , de período
fundamental 6=P .
14. Seja ( ) ( )xsenxxf 2= ,
2
3
x
2
3 π
<<
π
− , ( ) ( )π+= 3xfxf .
a) Esboce o gráfico de ( )xf com pelo menos três períodos.Figura 40: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf .
87
−28−27−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829
−26
−25
−24
−23
−22
−21
−20
−19
−18
−17
−16
−15
−14
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
x
y
−28−27−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829
−26
−25
−24
−23
−22
−21
−20
−19
−18
−17
−16
−15
−14
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
x
y
b) Determine a série de Fourier de ( )xf .
R.: 0aa n0 == ,
( )
( )
( )
( )
−
+
+π−
−π
−
= 22
2
2
2
n
n
n49
n427n8
n
n49
118b
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
+
+π−
−
−
π
=
1n
22
2
2
2
n
3
nx2
sen
n49
n427n8
n
n49
118
xf
c) Esboce o gráfico da série de Fourier de ( )xf com 1n = , 10n = , 100n = , 1000n = , K
(Explore as limitações do aplicativo gráfico empregado).
Figura 41: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf , e de
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
+
+π−
−
−
π
=
1n
22
2
2
2
n
3
nx2
sen
n49
n427n8
n
n49
118
xf , com 2n = .
Figura 42: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf , e de
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
+
+π−
−
−
π
=
1n
22
2
2
2
n
3
nx2
sen
n49
n427n8
n
n49
118
xf , com 5n = .
88
−28−27−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829
−26
−25
−24
−23
−22
−21
−20
−19
−18
−17
−16
−15
−14
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
x
y
−28−27−26−25−24−23−22−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829
−26
−25
−24
−23
−22
−21
−20
−19
−18
−17
−16
−15
−14
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
x
y
Figura 43: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf , e de
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
+
+π−
−
−
π
=
1n
22
2
2
2
n
3
nx2
sen
n49
n427n8
n
n49
118
xf , com 10n = .
Figura 44: Gráfico de ( ) ( )xsenxxf 2= , ( ) ( )π+= 3xfxf , e de
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−
+
+π−
−
−
π
=
1n
22
2
2
2
n
3
nx2
sen
n49
n427n8
n
n49
118
xf , com 5000n = .
d) Para quanto converge a série de Fourier de ( )xf se
12
17
x
π
−= ? E se
2
619
x
π
= ? Justifique.
89
R.: Em
12
17
x
π
−= a série de Fourier converge para ( )62
576
289 2
+
π
.
Em
2
619
x
π
= a série de Fourier converge para
4
2π
.
15. Seja
( ) ( )
π<<
<<π
=
x0 ,xcos
0x- ,0
xf , ( ) ( )xf2xf =π+ .
a) Esboce o gráfico de ( )xf com pelo menos três períodos.
b) Determine a série de Fourier de ( )xf .
R.: ( ) ( ) ( )[ ] ( )∑
∞
=
−
+−
π
+=
2n
2
n
nxsen
1n
11n1
xcos
2
1
xf
c) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf truncada.
Empregue diferentes harmônicos.
d) Para quanto converge a série de Fourier de ( )xf se π= 15x ? E se
4
425
x
π
= ?
Justifique.
R.:
2
1
− ;
2
2
4
cos =
π
e) Use a série de Fourier de ( )xf para determinar para quanto converge a série
( )∑
∞
=
−
1n
22
2
1n4
n
.
R.:
64
2π
90
91
3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER
Usamos a série de Fourier para representar uma função f(x) definida em um intervalo
( )L,L− ou ( )L,0 . Quando ( )xf e ( )xf ' são seccionalmente contínuas nesse intervalo, uma série de
Fourier representa a função no intervalo e converge para um prolongamento periódico de ( )xf fora do
intervalo.
Estabeleceremos agora (de forma não rigorosa) uma maneira de representar certos tipos de
funções não-periódicas definidas em um intervalo infinito ( )∞∞− , ou ( )∞,0 (expansão de f(x) em uma
integral de Fourier).
Da série de Fourier à integral de Fourier
Suponhamos uma função f(x) definida em ( )L,L− que satisfaça as condições de Dirichlet.
Assim
( ) ∑
∞
=
+
+=
1n
nn
0
L
xn
senb
L
xn
cosa
2
a
xf ππ ;
( ) ( )
( )
( )
∑
∫
∫
∫
∞
=
−
−
−
+
+
+=
1n
L
L
L
L
L
L
L
xn
sendu
L
u n
senuf
L
xn
cosdu
L
u n
cosuf
L
1duuf
L2
1
xf
ππ
ππ
. (3.1)
Considerando ( )
LL
n
L
1n
,
L
n
n1nn
πππ
ααα
π
α =−
+
=−=∆= + , reescrevemos (3.1) como
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
α
αα
αα
π
α
π
∆
+
+
+∆
= ∑
∫
∫
∫
∞
=
−
−
− 1n
n
L
L
n
n
L
L
nL
L
xsenduusenuf
xcosduucosuf
1duuf
2
1
xf . (3.2)
Como 0L →∆⇒∞→ α , temos que
( ) 0duuf
2
1lim
L
L
0
=
∆
∫
−
→∆
α
πα
.
Logo, o restante de (3.2) toma a forma
92
( ) ( ) ( )∑∑
∞
=
→∆
∞
=
→∆
∆∆=∆=
1n
0
1n
n0
nFlimFlimxf αααα
αα
(3.3)
Em (3.3) temos uma soma de Riemann, o que nos leva à integral ( )∫
∞
0
dF αα .
Dessa forma, podemos escrever o limite de (3.2), quando 0L →∆⇒∞→ α , como
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) α
α
α+α
α
π
= ∫ ∫∫
∞
α
∞
∞−
α
∞
∞−
dx senduu senuf x cosduu cosuf 1xf
0
B
A
444 3444 21444 3444 21
.
3.1 – A integral de Fourier
A integral de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo ( )∞∞− , é dada por
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ααααα
π
d x senBx cosA 1xf
0 ∫
∞
+=
onde
( ) ( ) ( )dxx cosxf A
∫
∞
∞−
= αα
e
( ) ( ) ( )dxx senxf B
∫
∞
∞−
= αα .
3.2 – Convergência da integral de Fourier
Se
(1) f(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas em qualquer intervalo finito e
(2) ( )dxxf
∫
∞
∞−
converge, isto é, f(x) é absolutamente integrável em ( )∞∞− ,
,
então a integral de Fourier converge para f(x) em um ponto de continuidade e converge para
( ) ( )
2
xfxf
−+ +
(média dos limites laterais) em um ponto de descontinuidade.
93
Demonstração
SPIEGEL, Murray R.; WREDE, Robert C. Cálculo avançado. Porto Alegre: Bookman.
Observação: as condições de convergência da integral de Fourier são suficientes, porém não
necessárias.
3.2.1 – Convergência absoluta e condicional
( )∫
∞
a
dxxf é dita absolutamente convergente se ( )∫
∞
a
dxxf convergir. Se ( )∫
∞
a
dxxf
convergir mas ( )∫
∞
a
dxxf divergir, então ( )∫
∞
a
dxxf é dita condicionalmente convergente.
Teorema: Se ( )∫
∞
a
dxxf convergir, então ( )∫
∞
a
dxxf converge.
Exemplos
1o) ( )∫
∞
+
0
2 dx1x
xcos
é absolutamente convergente e, portanto, convergente, isto porque
( ) ∫∫
∞∞
+
≤
+
0
2
0
2 dx1x
1
dx
1x
xcos
e ∫
∞
+
0
2 dx1x
1
converge.
2o) ( ) π=∫
∞
∞−
dx
x
xsen
, mas
( )∫
∞
∞
-
dx
x
xsen
diverge. Assim, ( )∫
∞
∞
-
dx
x
xsen
é condicionalmente
convergente.
Exercício
Mostre que ∫
∞
+
0
2 dx1x
1
converge.
3.3 – A integral cosseno de Fourier
Se f(x) é uma função par no intervalo ( )∞∞− , , temos que:
94
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxx cosxf 2dxx cosxf A
0
∫∫
∞∞
∞−
== ααα ;
( ) ( ) ( ) 0dxx senxf B
== ∫
∞
∞−
αα ;
( ) ( ) ( ) ααα
π
dx cosA 1xf
0 ∫
∞
= . Integral cosseno de Fourier
3.4 – A integral seno de Fourier
Se f(x) é uma função ímpar no intervalo ( )∞∞− , , temos que:
( ) ( ) ( ) 0dxx cosxf A
== ∫
∞
∞−
αα ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxx senxf 2dxx senxf B
0
∫∫
∞∞
∞−
== ααα ;
( ) ( ) ( ) ααα
π
dx senB 1xf
0 ∫
∞
= . Integral seno de Fourier
Exercícios
Seja ( )
>
<<
<
=
2 xse 0,
2x0 se 1,
0 xse ,0
xf .
01. Determine a integral de Fourier de f(x).
R.: ( ) ( ) ( )[ ] α
α
αα
π
d1xcossen2xf
0 ∫
∞
−
=
( ) ( )[ ]
==
π
<<
π
><
=α
α
α−α∫
∞
2ou x 0 x,
4
2x0 ,
2
2ou x 0 x,0
d1xcossen
0
02. Para quanto a integral de Fourier converge em 0x = e 2x = ?
95
03. Prove que ( )
2
dsen
0
π
α
α
α
=∫
∞
e
( )
π=α
α
α∫
∞
∞−
dsen .
3.5 – Formas equivalentes da integral de Fourier
(1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ααααα
π
d x senBx cosA 1xf
0 ∫
∞
+=
( ) ( ) ( )dxx cosxf A
∫
∞
∞−
= αα
( ) ( ) ( )dxx senxf B
∫
∞
∞−
= αα
(2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] α
α−
π
=
α
αα+αα
π
=
α
α
α+α
α
π
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫
∞ ∞
∞−
∞ ∞
∞−
∞ ∞
∞−
∞
∞−
dduxucosuf 1xf
ddux senu senx cosu cosuf 1xf
dx senduu senuf x cosduu cosuf 1xf
0
0
0
(3) Forma complexa
( ) ( ) ( )[ ] αα
π
dduxucosuf 1xf
0
∫ ∫
∞ ∞
∞−
−=
Como ( ) ( )[ ]αxucosuf − é uma função par em α, temos que
( ) ( ) ( )[ ] αα
π
dduxucosuf
2
1
xf
-
∫ ∫
∞
∞
∞
∞−
−= . (3.5.1)
Uma vez que ( ) ( )[ ]αxusenuf − é uma função ímpar em α, o que implica que
( ) ( )[ ] 0dduxusenuf
-
=
−∫ ∫
∞
∞
∞
∞−
αα , podemos escrever (3.5.1) como
96
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }
( ) ( ) ( ) α
π
ααα
π
ααα
π
α ddue uf
2
1
xf
dduxusen ixucosuf
2
1
xf
dduxusenuf ixucosuf
2
1
xf
-
xui
-
-
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∞
∞
∞
∞−
−
∞
∞
∞
∞−
∞
∞
∞
∞−
=
−+−=
−+−=
( ) ( )
( ) ( )
( )
α
π
=
α
π
=
α−
∞
∞
α
∞
∞−
α
∞
∞
∞
∞−
α−α
∫ ∫
∫ ∫
de due uf
2
1
xf
dduee uf
2
1
xf
x i
-
F
u i
-
x iu i
44 344 21
( ) ( ) ( ) ( ) dxe xf F onde de F
2
1
xf x i
-
x i
-
α
∞
∞
α−
∞
∞
∫∫ =αααπ= .
Observação: Se em (3.5.1) considerássemos ( )[ ]α− uxcos , teríamos
( ) ( ) de F
2
1
xf x i
-
αα
π
=
α
∞
∞
∫ com ( ) ( ) dxe xf F x i
-
α−
∞
∞
∫=α .
Exercícios
01. Determine a integral de Fourier que representa a função pulso
( )
>
<
=
ax se 0,
ax se ,1
xf . (3.5.2)
R.: ( ) ( ) ( ) α
α
αα
π
d xcosasen2xf
0 ∫
∞
=
97
( ) ( )
=
π
>
<
π
=α
α
αα∫
∞
ax ,
4
ax ,0
ax ,
2
dx cosasen
0
Observação: Se 1a = , a função (3.5.2) é chamada pulso unitário.
02. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir.
a) ( )
<
>
=
−
0 xse ,e
0x se ,e
xf
x
x
R.: ( ) ( ) α
α
α
π
d
1
xcos2
xf
0
2∫
∞
+
=
b) ( )
<
>
=
−
0 xse ,e-
0x se ,e
xf
x
x
R.: ( ) ( ) α
α
αα
π
d
1
xsen 2
xf
0
2∫
∞
+
=
03. Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
a) ( ) ( ) ( )
>
<
=
−∫
∞
π
π
π
α
α
απα
x se ,0
x se ,xsen2d
1
xsensen
0
2 ;
b)
( ) ( )
>
<
=
−
∫
∞
2
x se ,0
2
x se ,xcos
2d
1
xcos
2
cos
0
2 π
ππ
α
α
α
πα
.
3.6 – Definição da transformada de Fourier e da transformada inversa de Fourier
Integral de Fourier:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
de due uf
2
1
xf
dxe xf F onde de F
2
1
xf
x i
F
u i
-
-
x i
-
x i
-
α
π
=
=ααα
π
=
α−
α
α
∞
∞
∞
∞
α
∞
∞
α−
∞
∞
∫∫
∫∫
44 344 21
98
Transformada de Fourier:
( ){ } ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]dx xsen i xcosxf
dxe xf Fxf
-
x i
-
αα
α α
+=
==ℑ
∫
∫
∞
∞
∞
∞
(3.6.1)
Transformada inversa de Fourier:
( ){ } ( ) ( ) de F
2
1
xfF x i
-
1 αα
π
α α−
∞
∞
− ∫==ℑ (3.6.2)
( )xf ( )αF ( )xf
ℑ 1−ℑ
Figura 45: Transformadas de Fourier.
Definimos a transformada de Fourier de f como sendo a função F(α) ou
^
f que associa a cada
função absolutamente integrável CR:f → a função ( )
→→ CR:f ou CR:F
^
α definida pela
expressão (3.6.1); a sua inversa, chamada transformada inversa de Fourier, é a função que associa a
cada função ( )
→→ CR:f ou CR:F
^
α pertencente ao conjunto imagem de ( ){ }xfℑ a função
absolutamente integrável CR:f → definida pela expressão (3.6.2).
( ) ( )α→← F x f
Se f(x) é função par ( ){ } ( ) ( ) ( )dxxcos xf Fxf
-
αα ∫
∞
∞
==ℑ⇒ . (real puro)
Se f(x) é função ímpar ( ){ } ( ) ( ) ( )dxxsen xf iFxf
-
αα ∫
∞
∞
==ℑ⇒ . (imaginário puro)
99
Observações:
1a) A literatura não é unânime quanto à forma para as transformadas (3.6.1) e (3.6.2). Você também
encontrará os pares de transformadas abaixo.
1.
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) αα
π
α
α
α
α
de F
2
1
xfF
dxe xf Fxf
x i
-
1
x i
-
∫
∫
∞
∞
−
−
∞
∞
==ℑ
==ℑ
2.
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) αα
π
α
π
α
α
α
de F
2
1
xfF
dxe xf
2
1Fxf
x i
-
1
x i
-
−
∞
∞
−
∞
∞
∫
∫
==ℑ
==ℑ
3.
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) αα
π
α
π
α
α
α
de F
2
1
xfF
dxe xf
2
1Fxf
x i
-
1
x i
-
∫
∫
∞
∞
−
−
∞
∞
==ℑ
==ℑ
2a) Os pares 2 e 3 constituem a forma simétrica.
3a) Quanto às constantes que multiplicam as integrais nos pares de transformadas, o produto das
mesmas deve sempre ser igual a
π2
1
.
4a) A transformada de Fourier é convergente somente para um conjunto muito limitado de funções
( )xf , isto porque as condições de existência (suficientes, não necessárias) da integral de Fourier são
bastante restritivas.
3.7 – Transformada cosseno de Fourier e transformada cosseno de Fourier inversa
f(x) é uma função par no intervalo ( )∞∞− ,
Integral cosseno de Fourier:
100
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ααα
π
ααα
π
αα
dx cosduu cosuf 2xf
dx cosA 1xf
dxx cosxf 2A
0
0
0
0
∫ ∫
∫
∫
∞ ∞
∞
∞
=
=
=
Transformada cosseno de Fourier:
( ){ } ( ) ( ) ( ) dx xcos xf Fxf
0
CC αα ∫
∞
==ℑ
Transformada cosseno de Fourier inversa:
( ){ } ( ) ( ) ( ) d xcos F 2xfF
0
CC
1
C αααπ
α ∫
∞
−
==ℑ
3.8 – Transformada seno de Fourier e transformada seno de Fourier inversa
f(x) é uma função ímpar no intervalo ( )∞∞− ,
Integral seno de Fourier:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ααα
π
ααα
π
αα
dx sen duu senuf 2xf
dx senB 1xf
dxx senxf 2B
0
0
0
0
∫ ∫
∫
∫
∞ ∞
∞
∞
=
=
=
Transformada seno de Fourier:
( ){ } ( ) ( ) ( ) dx xsen xf Fxf
0
SS αα ∫
∞
==ℑ
Transformada seno de Fourier inversa:
101
( ){ } ( ) ( ) ( ) d xsen F 2xfF
0
SS
1
S αααπ
α ∫
∞
−
==ℑ
Exercícios
01. Seja ( ) 1xf = . Calcule ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ }xfℑ diverge
02. a) Determine a transformada de Fourier de ( )
>
<
=
ax se 0,
ax se ,1
xf .
R.: ( ) ( ) ( ) 0 ,asinc a2asen2F ≠αα=
α
α
=α
( ) a20F0 =⇒=α
b) Esboce o gráfico de f(x) e de sua transformada de Fourier para 3a = .
(a) (b)
Figura 46: (a) Gráfico de f(x) para 3a = ; (b) gráfico de ( ){ }xfℑ para 3a = (função par).
c) Calcule ( ) ( ) α
α
αα d xcosasen
-
∫
∞
∞
.
R.: ( ) ( )
>
=
<
=∫
∞
∞
ax se ,0
ax se ,
2
ax se ,
d xcosasen
-
π
π
α
α
αα
102
03. Solucione a equação integral ( ) ( ) αα −
∞
=∫ edx xcosxf
0
.
R.: ( ) ( ) ( )∫ + −+=
−−
− C
x
xcose
x
xsene
1x
xdxcose 22
2 αα
αα
αα
α
( ) ( )1x
2
xf 2 +
=
π
04. A transformada de Fourier preserva paridade?
05. a) Determine a transformada cosseno de Fourier de ( )
>
<−
=
1x se 0,
1x se ,x1
xf
2
.
R.: ( ) ( ) ( ) 0 ,cos sen2F 3C ≠−= αα
ααα
α
b) Mostre que ( ) ( )∫
∞
=
−
0
3 16
3dx
2
x
cos
x
xcos xxsen π
.
Sugestão: Considere
2
1
x = em ( ) ( ){ }αFxf 1−ℑ= .
3.9 – Função de Heaviside
Oliver Heaviside (1850-1925): engenheiro eletrônico inglês.
A função de Heaviside (ou função unitária de Heaviside) é definida como
{ } R0R:H →−
<
>
→
0 x0,
0 x,1
x . (3.9.1)
103
Figura 47: Função de Heaviside.
A função de Heaviside (3.9.1), também chamada função salto unitário ou função degrau
unitário, não é definida em 0x = (desnecessário). Alguns autores definem
( )
2
10H = .
Na literatura também é comum encontrar a notação u ( )x para
( )xH .
A função degrau unitário transladada é definidacomo
u ( )
<
>
=−
c x0,
c x,1
cx . (3.9.2)
Figura 48: Função degrau unitário transladada u ( )
<
>
=−
2 x0,
2 x,1
2x .
Quando multiplicada por outra função definida em
( )∞∞− , , a função degrau unitário (3.9.2)
cancela uma porção do gráfico da função.
Exemplo
Mostre que ℑ{ axe− u ( )x } 0a ,
ia
1
>
α−
= , onde u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x1,
x é a função unitária de
Heaviside.
104
ℑ{ axe− u ( )x } ax
e −
∞
∞−
∫= u ( ) ( )∫∫
∞
α+−
∞
α−α
==
0
x ia
0
xiax xi dxe dxee dxex
( ) ( ) ( )[ ] b
0
ax
b
b
0
xiax
b
b
0
x ia
b ia
xsen i xcoselim
ia
eelim
ia
elim
α+−
α+α
=
α+−
=
α+−
=
−
∞→
α−
∞→
α+−
∞→
( ) ( )[ ]
α−
=
α+−
−=
α+−
−
α+−
α+α
=
>→
−
∞→ ia
1
ia
1
ia
1
ia
b sen ib coselim
0a se 0
ab
b
4444 34444 21
Observação: Se Ca∈ , então ℑ{ axe− u ( )x } ( ) 0aRe ,
ia
1
>
α−
= .
3.10 – Espectro, amplitude e fase da transformada de Fourier
Denomina-se conjunto dos números complexos (C) o conjunto de pares ordenados de números
reais para os quais estão definidas as seguintes propriedades:
1. igualdade: ( ) ( ) db e cad,cb,a ==⇔= ;
2. adição: ( ) ( ) ( )dc,bad,cb,a ++=+ ;
3. multiplicação: ( )( ) ( )bcad,bdacd,c.b,a +−= .
( ) Ry x,,y,xzCz ∈=⇔∈
Exemplos: ( )3,23i2 =+ , ( ) 0,1i = (imaginário puro), ( )1,01 = (real puro)
Forma algébrica: 1-i ,y ixz =+=
( )( ) ( ) ( ) 10,100,101,0.1,0i.ii2 −=−=+−===
Conjugado: y ixy ixz −=+=
Plano de Argand-Gauss:
Im(z)
y z
|z|
θ
x Re(z)
105
Módulo: ( ) ( )zImzReyxz 2222 +=+=
( )( ) ( ) 222222 zyxyxy ixy ixz.z =+=+=−+=
Forma polar ou trigonométrica:
θ=⇒=θ coszx
z
x
cos
θ=⇒=θ senzy
z
y
sen
[ ] θ=θ+θ=θ+θ=+= ie zsen icoszsenzicoszy ixz
Argumento: ( )( )
=
=θ⇒=θ
zRe
zIm
arctg
x
y
arctg
x
y
tg
Sabemos que ( ){ } ( )αFxf =ℑ , onde CR:f → e CR:F → . Assim, podemos considerar a
transformada de Fourier ( )αF como sendo
( ) ( ) ( )ααα IR F iFF += (3.10.1)
ou
( ) ( ) θαα ie FF = , (3.10.2)
onde 1i −= , ( )αRF é a parte real de ( )αF , ( )αIF é a parte imaginária de ( )αF ,
( ) ( ) ( )ααα 2I2R FFF += (3.10.3)
e
( )
( )
=
α
αθ
R
I
F
F
arctg . (3.10.4)
A forma (3.10.2) é a forma polar da transformada de Fourier, (3.10.3) é a amplitude da
transformada de Fourier ou o espectro de amplitude do sinal ( )xf , (3.10.4) é o ângulo de fase da
transformada de Fourier ou o espectro de fase do sinal ( )xf e
( ) ( ) ( ) ( )αααα 2I2R2 FFFP +== (3.10.5)
é o espectro de potência do sinal ( )xf .
106
Exercícios
Seja ( ) -axe =xf u ( )x , onde u ( )
<
>
=
0 x,0
0 x,1
x é a função unitária de Heaviside e 0a > . Determine:
01. a parte real de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( ) 22R a
aF
α
α
+
=
02. a parte imaginária de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( ) 22I aF α
α
α
+
=
03. o ângulo de fase de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.:
=
a
arctg αθ
04. a amplitude de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( ) 22
22
a
aF
α
α
α
+
+
=
05. o espectro de potência de ( )xf . R.: ( ) 22a
1P
α
α
+
=
3.11 – Propriedades operacionais das transformadas de Fourier
Funções de decrescimento rápido
Uma função CR:f → é de decrescimento rápido se ela for infinitamente diferenciável (f é
∞C ) e se
( ) 0xfDxlim nm
x
=
∞→
,
ou seja, f(x) e suas derivadas vão mais rapidamente para zero do que as potências mx vão para infinito
quando ∞→x .
Exemplo
( ) 2xexf −=
107
(a) (b) (c)
Figura 49: (a) Gráfico de ( ) 3xxf = ; (b) gráfico de ( ) 2xexg −= ; (c) gráfico de ( ) 2x33 ex8xgD −−= .
O conjunto das funções f de classe ( )RC∞ tais que, tanto f como todas as suas derivadas tendem
a zero quando ∞→x , constituem o espaço de Schwarz, denotado por ( )RS .
1. A função Gaussiana ( ) 2axexf −= , com 0a > , pertence a ( )RS .
2. O produto de uma função polinomial ( )xpp = pela função Gaussiana é uma função
( ) ( ) 2axe xpxh −= pertencente a ( )RS .
3. ( )RS é um espaço vetorial de funções.
4. Se uma função ( )xf pertence a ( )RS , então sua derivada também pertence a ( )RS .
5. Se uma função ( )xf pertence a ( )RS , então a transformada de Fourier de ( )xf também
pertence a ( )RS .
3.11.1 – Comportamento de F(α) quando |α|→∞
A transformada de Fourier ( )αF de uma função f(x) absolutamente integrável é uma função
contínua e que se anula no infinito, isto é,
( ) 0Flim =
±∞→
α
α
.
Exemplo
A função pulso unitário ( )
>
≤
=
1x se 0,
1x se ,1
xu , cuja transformada de Fourier é
( ){ } ( ) ( ) ( ) 20U0 0, ,sen 2Uxu =⇒=≠==ℑ αα
α
α
α .
108
Figura 50: Gráfico de ( ){ } ( ) ( ) ( ) 20U0 0, ,sen 2Uxu =⇒=≠==ℑ αα
α
α
α .
Teorema
Se CR:f →
é uma função absolutamente integrável, então sua transformada de Fourier
( ) CR:F →α (ou CR:f^ → ) é uma função contínua e limitada. Se, além disso, ( )αF (ou ^f ) for
absolutamente integrável, então f é contínua.
3.11.2 – Linearidade
Se CR:g,f → são funções absolutamente integráveis e Rb,a ∈ , então
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )αα bGaFxgbxfaxbgxaf +=ℑ+ℑ=+ℑ .
Prova: Segue da definição de transformada de Fourier e da propriedade de linearidade da
integral.
( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )αααα
α
bGaFdxexg bdxexf a
dxexbgxaf xbgxaf
xi
xi
xi
+=+=
+=+ℑ
∫∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
3.11.3 – Simetria (ou dualidade)
Se ( ){ } ( )α=ℑ Fxf , então ( ){ } ( )α−π=ℑ f 2xF .
Prova:
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )xf 2de F de F
2
1
xfF
xi-
xi-1 π=αα⇒αα
π
==αℑ ∫∫
∞
∞−
α
∞
∞−
α−
(3.11.3.1)
Efetuandoas substituições x←α e α−←x em (3.11.3.1), tem-se que
109
( ) ( ) ( )α−π=∫
∞
∞−
α f 2dxe xF
- xi- ;
( ) ( )α−π=∫
∞
∞−
α f 2dxe xF
x i ;
( ){ } ( )α−π=ℑ f 2xF .
Exemplo
{ } ( )32
2
2x2
4
348xe
+α
α−
=ℑ −
( )
α−α− α
π
=απ=
+
−ℑ 222232
2
e
4
e2
8
1
4x
x34
3.11.4 – Conjugado
Se CR:f → é uma função absolutamente integrável, então
( ){ } ( )α−=ℑ Fxf , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α e é o conjugado complexo.
Prova:
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫
∞
∞−
∞
∞−
α α+α==ℑ
x i dx xsen i xcos xf dxe xf xf
( ) ( )α−== ∫
∞
∞−
α Fdxe xf
x i-
Observação: gfgf e g.fg.f +=+= .
3.11.5 – Translação (no tempo)
Se CR:f → é uma função absolutamente integrável, então
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Feaxf ai ℑ==−ℑ ααα .
Prova: uax =−
110
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fedueuf edueeuf
dueuf dxea-xf axf
ai
uia i
uia i
aui
x i
ℑ====
==−ℑ
∫∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
+
∞
∞−
ααααααα
αα
Observação:
Se ( ){ } ( )∫
∞
∞−
−
=ℑ
x i dxexf xf α , então ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Feaxf ai ℑ==−ℑ − ααα .
3.11.6 – Translação (na frequência)
Se CR:f → é uma função absolutamente integrável, então
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,aFxfeiax ℑ=+=ℑ αα .
Prova: ua =+α
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )aFuFdxexf
dxexf dxexfe xfe
iux
xai
x ix iax ia
+===
==ℑ
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
+
∞
∞−
α
αα
Observação: Se ( ){ } ( )∫
∞
∞−
−
=ℑ
x i dxexf xf α , então ( ){ } ( )aFxfe ai −=ℑ αα .
3.11.7 – Similaridade (ou mudança de escala) e inversão de tempo
Se CR:f → é uma função absolutamente integrável e 0a ≠ , então
( ){ } ( ) ( ){ }xfF onde ,
a
F
a
1
axf ℑ=
=ℑ αα . (3.11.7.1)
Prova:
(1) uax ,0a => ,
a
u
x = ,
a
dudx = , ∞→⇒∞→ ux , −∞→⇒−∞→ ux
111
( ){ } ( ) ( )
( )
==
==ℑ
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
a
F
a
1dueuf
a
1
dueuf
a
1dxeaxf axf
a
iu
a
u
i
x i
αα
α
α
(2) uax ,0a =< ,
a
u
x = ,
a
dudx = , −∞→⇒∞→ ux , ∞→⇒−∞→ ux
( ){ } ( ) ( ) ( )
( )
==
−===ℑ
∫
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞
∞
∞−
a
F
a
1dueuf
a
1
dueuf
a
1dueuf
a
1dxeaxf axf
a
iu
a
u
i
-
a
u
i
x i
αα
αα
α
Observação: Considerando em (3.11.7.1) 1a −= , obtemos ( ){ } ( )α−=−ℑ Fxf . Esta última igualdade é
conhecida como propriedade da inversão de tempo.
Exercícios
Sabendo que ( ){ } ( )
6i5
iGxg 2 ++−
==ℑ
αα
α
α , calcule:
01. ( ){ }x2gℑ ; R.: ( ){ }
24i10
i
2
G
2
1
x2g 2 ++−
=
=ℑ
αα
αα
02. ( ){ }2xg −ℑ ; R.: ( ){ } ( )
6i5
i
eGe2xg 2
i2i2
++−
==−ℑ
αα
α
α αα
03. ( ){ }xge ix100−ℑ . R.: ( ){ } ( ) ( )( ) ( ) 6100i5100
100i100Gxge 2
ix100
+−+−−
−
=−=ℑ −
αα
α
α
3.11.8 – Convolução
A convolução (ou produto de convolução) de duas funções absolutamente integráveis f e g é
definida como sendo a função
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−=∗
duuxguf duuguxf xgf .
A integral imprópria que define a convolução converge para todo x se as funções f e g, além de
serem absolutamente integráveis, são também quadrado-integráveis, isto é, seus quadrados também são
absolutamente integráveis:
112
( ) ( ) ∞<∞< ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
2
2 duug ,duuf .
A afirmativa anterior pode ser comprovada com o emprego da desigualdade de Schwarz
2
b
2
a
ab
22
+≤ ,
válida para todo Rb,a ∈ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞<+−≤−≤− ∫∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
2
2
duug
2
1duuxf
2
1duuguxf duuguxf
A convolução de funções absolutamente integráveis, quando está definida, é também uma
função absolutamente integrável.
Transformada de Fourier de uma convolução
Se CR:g,f → são funções absolutamente integráveis, então
( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }xgG e xfF onde ,GFxgf ℑ=ℑ==∗ℑ αααα .
Prova:
{ } ( ) ( ) ( )∫ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−=∗=∗ℑ
xi
xi dxeduuxguf dxegf gf αα
Como ( )uxiu i xi eee −= ααα :
{ } ( ) ( ) ( )∫ ∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−=∗ℑ
uxiu i
dxeeduuxguf gf αα
Mudando a ordem de integração:
{ } ( ) ( ) ( )∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−
−=∗ℑ
u i
uxi duedxeuxg ufgf αα
Considerando dvdxvuxvux =⇒+=⇒=− :
113
{ } ( ) ( )
{ } ( ) { }
{ } { } ( )
{ } { } { }
{ } ( ) ( )αα
α
α
αα
GFgf
fggf
dueuf ggf
dueguf gf
duedvevg ufgf
u i
u i
u i
vi
=∗ℑ
ℑℑ=∗ℑ
ℑ=∗ℑ
ℑ=∗ℑ
=∗ℑ
∫
∫
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
Propriedades da convolução
1a) Comutativa fggf ∗=∗
2a) Associativa ( ) ( ) hgfhgf ∗∗=∗∗
3a) Distributiva ( ) ( ) ( )hfgfhgf ∗+∗=+∗
4a) Elemento nulo 00f =∗
5a) Elemento identidade ff =∗δ δ : delta de Dirac (distribuição)
Modelos matemáticos que envolvem a convolução estão presentes em diferentes ramos do
conhecimento. A convolução modela distorções em ondas sonoras e luminosas, surge no
processamento de sinais e na detecção de ondas eletromagnéticas e/ou mecânicas e é também base de
alguns sistemas de redes neurais de auto-aprendizagem. Na Matemática, a convolução é empregada na
solução de sistemas lineares de equações diferenciais e na solução de alguns tipos de equações
integrais. Na Estatística, é usada para calcular funções de densidade de probabilidade.
Exemplo
Solucione a equação integral
( ) ( ) ( ) ( )∫
∞
∞−
−+=
duuxruy xgxy ,
onde g(x) e r(x) são conhecidas.
114
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ){ }
( ){ } ( ){ } { }
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )( )α
α
α
ααα
αααα
αααα
R1
GY
GYR1
GRYY
RYGY
ryxgxy
ryxgxy
ryxgxy
duuxruy xgxy
−
=
=−
=−
+=
∗ℑ+ℑ=ℑ
∗+ℑ=ℑ
∗+=
−+= ∫
∞
∞−
( ){ } ( )( )
( ) ( )( ) αα
α
π
α
α
α
α de
R1
G
2
1
xy
R1
GY
xi
11
−
∞
∞−
−−
−
=
−
ℑ=ℑ
∫
Exercícios
01. Mostre que:
a) π=∫
∞
∞−
−
u due
2
;
b) ( ) π=−=∗ ∫
∞
∞−
−−
xdueux ex
ux 22
.
02. Mostre que ( )∗xf u ( ) ( )∫
∞−
κκ=
x
df x , sendo u ( )
<
>
=
0 xse ,0
0 xse ,1
x .
3.11.9 – Multiplicação (Convolução na frequência)
Se CR:g,f → são funções absolutamente integráveis, então
( ) ( ){ } ( ) ( )α∗α
π
=ℑ GF
2
1
xg.xf , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α e ( ) ( ){ }xgG ℑ=α .
Prova:
( ) ( ){ } ( ) ( )∫
∞
∞−
α
=ℑ
x i dxexgxf xg.xf
115
( ) ( )∫ ∫
∞
∞−
α
∞
∞−
κ−
κκ
π
=
x i
x i dxexgdeF
2
1
( ) ( ) ( )∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
κ−α κ
κ
π
=
xi ddxexg F
2
1
( ) ( )∫
∞
∞−
κκ−ακ
π
=
dGF
2
1
( ) ( )α∗α
π
= GF
2
1
3.11.10 – Transformada de Fourier de derivadas
Sejam CR:f → uma função diferenciável absolutamente integrável e 'f uma função
absolutamente integrável. Como ( ) 0xf → quando ±∞→x , então
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F ixf ' ℑ=−=ℑ ααα .
Sejam CR:f → uma função duas vezes diferenciável absolutamente integrável e 'f e ' 'f
funções absolutamente integráveis. Como ( ) 0xf ' → quando ±∞→x , então
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F xf 2" ℑ=−=ℑ ααα .
Generalizando, sejam CR:f → uma função n vezes diferenciável absolutamente integrável e
as derivadas até ordem n de f funções absolutamente integráveis. Como ( ) ( ) ( ) ( ) 0xf,,xf,xf 1n"' →−K
quando ±∞→x , então
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF 1,n Z,n onde ,F ixf nn ℑ=≥∈−=ℑ ααα .
Prova:
( ){ } ( )∫
∞
∞−
=ℑ
x i'' dxexf xf α
( ){ } ( ) ( )∫∫ ∞→−∞→ +=ℑ
b
0
xi'
b
0
a
xi'
a
' dxexf lim dxexf lim xf αα (3.11.10.1)
Usando integração por partes:
( ) ( )xfvdxxfdv
dxe idueu
'
xi xi
=⇒=
=⇒= αα α
116
( ) ( ) ( )∫∫ −= dxexfie xfdxexf xi xi xi' ααα α (3.11.10.2)
Empregando (3.11.10.2) em (3.11.10.1):
( ){ } ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−−+
−−=ℑ
−+
−=ℑ
∫∫
∫∫
∞→−∞→
∞→−∞→
b
0
xib i
b
0
a
xia i
a
'
b
0
xib
0
xi
b
0
a
xi0
a
xi
a
'
dxexf i0febflimdxexf ieaf0flim xf
dxexf i exflimdxexf i exflim xf
αααα
αααα
αα
αα
( ){ } ( )
( ){ } ( ){ } ( )ααα
α α
F ixfixf
dxexf ixf
'
-
xi'
−=ℑ−=ℑ
−=ℑ ∫
∞
∞
Por recursividade:
( ){ } ( ){ } ( )( ) ( ){ } ( ){ } ( )αααααα F xf xfiixf ixf 22'" −=ℑ−=ℑ−−=ℑ−=ℑ
Exercícios
01. Sejam CR:f → uma função diferenciável absolutamente integrável e 'f uma função
absolutamente integrável. Como ( ) 0xf → quando ±∞→x , mostre que:
a) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0fF 0fxf xf SS'C −=−ℑ=ℑ ααα ;
b) ( ){ } ( ){ } ( )ααα CC'S F xf xf −=ℑ−=ℑ .
Observação: As transformadas seno e cosseno de Fourier não são adequadas para transformar a
derivada primeira (ou qualquer derivada de ordem ímpar), isto porque a transformada seno (ou
cosseno) da derivada de f não é expressa em termos da transformada seno (ou cosseno) da função f.
02. Sejam CR:f → uma função duas vezes diferenciável absolutamente integrável e 'f e ' 'f funções
absolutamente integráveis. Como ( ) 0xf ' → quando ±∞→x , mostre que:
a) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0fF 0fxf xf 'C2'C2"C −−=−ℑ−=ℑ ααα ;
b) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0f F 0f xf xf S2S2"S ααααα +−=+ℑ−=ℑ .
3.11.11 – Derivadas de transformadas de Fourier
Se CR:f → é uma função absolutamente integrável e ( )xf x também é uma função
absolutamente integrável, então
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F ixxf ' ℑ=−=ℑ αα .
117
Se CR:f → é uma função absolutamente integrável e ( )xf x 2 também é uma função
absolutamente integrável, então
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fxfx "2 ℑ=−=ℑ αα .
Se CR:f → é uma função absolutamente integrável e ( )xf x n também é uma função
absolutamente integrável, então
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fixfx nnn ℑ=−=ℑ αα .
Prova:
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( ){ }
( ){ } ( )
( ){ } ( )α
α
α
α
αα
α
α
α
ααα
'
'
xi
xi
xi
xi
F ixxf
F
i
1
xxf
xxfidxexfx iF
d
d
dxexfix dxexf dxexf
d
dF
d
d
−=ℑ
=ℑ
ℑ==
=
∂
∂
==
∫
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( ){ }
( ){ } ( )α
α
α
αα
α
α
α
ααα
"2
2
xi2
2
2
xi22
xi
2
2
xi
2
2
2
2
Fxfx
xfxdxexf x F
d
d
dxexfxi dxexf dxexf
d
dF
d
d
−=ℑ
−ℑ=−=
=
∂
∂
==
∫
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
Exemplos
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }
( ) ( ) ( )α+α+α−=
ℑ+ℑ−ℑ=+−ℑ
'''"'
3232
F i 3FF i 2
xf x3xf xxf x2xf x3xx2
ℑ{ axxe− u ( )x } ( ) ( )( ) ( )22 ia
1
ia
ii
ia
1
d
di
α−
=
α−
−−
−=
α−α
−=
( ) 0aRe > e u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x1,
x
118
ℑ{ ax2ex − u ( )x } ( ) ( )
( )( )
( ) ( )3422
2
2
ia
2
ia
iia2i
ia
1
d
di
ia
1
d
di
α−
=
α−
−α−−
−=
α−α
−=
α−α
−=
( ) 0aRe > e u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x1,
x
ℑ{ ax3ex − u ( )x } ( ) ( ) ( )422
2
3
3
3
ia
6
ia
1
d
d
ia
1
d
di
α−
=
α−α
−=
α−α
−=
( ) 0aRe > e u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x1,
x
ℑ{ axn ex − u ( )x } ( ) 1nia
!n
+α−
=
( ) 0aRe > e u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x1,
x
Exercícios
01. Seja ( ) -axe xxf = u ( )x , onde u ( )
<
>
=
0 x,0
0 x,1
x é a função unitária de Heaviside e 0a > . Determine:
a) a parte real de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( ) ( )222
22
R
a
aF
α
α
α
+
−
=
b) a parte imaginária de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( ) ( )222I a
a2F
α
α
α
+
=
c) o ângulo de fase de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.:
−
= 22a
a2
arctg
α
αθ
d) a amplitude de ( ){ } ( )αFxf =ℑ ; R.: ( ) 22a
1F
α
α
+
=
e) o espectro de potência de ( )xf . R.: ( ) ( )222a
1P
α
α
+
=
02. Prove a propriedade da diferenciação na frequência ( ){ } ( )α
α
=ℑ F
d
d
xf x i .
119
3.12 – Resumo: Propriedades operacionais das transformadas de Fourier
1. Linearidade
( ) ( ){} ( ){ } ( ){ } ( ) ( )αα bGaFxgbxfaxbgxaf +=ℑ+ℑ=+ℑ
2. Simetria
Se ( ) ( ){ }xfF ℑ=α , então ( ){ } ( )α−π=ℑ f 2xF .
3. Conjugado
Se ( ) ( ){ }xfF ℑ=α , então ( ){ } ( )α−=ℑ Fxf .
4. Translação (no tempo)
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Feaxf ai ℑ==−ℑ ααα
5. Translação (na freqüência)
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,aFxfeiax ℑ=+=ℑ αα
6. Dilatação (ou similaridade)
( ){ } ( ) ( ){ }xfF onde ,
a
F
a
1
axf ℑ=
=ℑ αα
7. Inversão de tempo
( ){ } ( )α−=−ℑ Fxf , onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α
8. Convolução
( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }xgG e xfF onde ,GFxgf ℑ=ℑ==∗ℑ αααα
9. Multiplicação (convolução na frequência)
Se ( ) ( ){ }xfF ℑ=α e ( ) ( ){ }xgG ℑ=α , então ( ) ( ){ } ( ) ( )α∗α
π
=ℑ GF
2
1
xg.xf .
10. Transformada da derivada primeira
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F ixf ' ℑ=−=ℑ ααα
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0fF 0fxf xf SS'C −=−ℑ=ℑ ααα
( ){ } ( ){ } ( )ααα CC'S F xf xf −=ℑ−=ℑ
11. Transformada da derivada segunda
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F xf 2" ℑ=−=ℑ ααα
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0fF 0fxf xf 'C2'C2"C −−=−ℑ−=ℑ ααα
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )0f F 0f xf xf S2S2"S ααααα +−=+ℑ−=ℑ
12. Transformada de derivadas
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF 1,n Z,n onde ,F ixf nn ℑ=≥∈−=ℑ ααα
13. Derivadas de transformadas de Fourier
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,F ixxf ' ℑ=−=ℑ αα
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fxfx "2 ℑ=−=ℑ αα
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,Fixfx nnn ℑ=−=ℑ αα
14. Diferenciação na frequência
( ){ } ( )α
α
=ℑ F
d
d
xf x i
Tabela 1: Propriedades das transformadas de Fourier.
120
3.13 – Delta de Dirac
Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984): físico, matemático e engenheiro britânico. Partilhou o
Nobel de Física de 1933 com Erwin Schrödinger.
Função impulso unitário:
( )
+≥
>+<≤
−<
=−δ
ax x ,0
0a axxa-x ,
a2
1
ax x ,0
xx
0
00
0
0a (3.13.1)
a2
1
( ) 1a2
a2
1A ==
x
ax 0 − 0x ax 0 +
Figura 51: Função impulso unitário.
A função (3.13.1) pode ser compactada usando-se a função degrau unitário. Assim,
( )
a2
1
xx 0a =−δ {u ( )[ ]−−− axx 0 u ( )[ ]axx 0 +− },
onde
u ( )[ ]
−<
−>
=−−
ax x,0
ax x,1
axx
0
0
0 e u ( )[ ]
+<
+>
=+−
ax x,0
ax x,1
axx
0
0
0 .
Considerando
( ) ( )0a0a0 xxlimxx −δ=−δ → ,
temos a distribuição delta de Dirac
( )
≠
=∞
=−δ
0
0
0
x xse 0,
x xse ,
xx . (3.13.2)
121
A distribuição (3.13.2) pode ser escrita como ( ) ( )
≠
=∞
=−δ=δ
c xse 0,
c xse ,
cxxc .
Quando 0c = , temos que ( )
≠
=∞
=δ
0 xse 0,
0 xse ,
x .
Fisicamente, o delta de Dirac pode ser interpretado como um impulso de energia em um
sistema, razão pela qual recebe o nome de função impulso de Dirac.
3.13.1 – Propriedades do delta de Dirac
A distribuição delta de Dirac ( )xδ=δ apresenta as seguintes propriedades:
1. ( ) 0 xse ,0x ≠=δ ;
2. ( ) ( ) Rx ,xx ∈∀−δ=δ ;
3. ( ) ∞=δ 0 ;
4. ( ) ( ) ( ) ( )x0fxxf δ=δ se ( )xf for contínua em 0x = ;
5. ( ) ( ) ( ) ( )000 xxxfxxxf −δ=−δ se ( )xf for contínua em 0xx = ;
6. ( ) 1dxx
=δ∫
∞
∞−
;
7. ( )( ) ( )xfxf =δ∗ , se ( )xf é contínua;
8. ( ) ( ) ( )0fdxxxf
=δ∫
∞
∞−
, se ( )xf é contínua em 0x = ;
9. ( )( ) ( )cfxf c =δ∗ , se ( )xf é contínua em cx = ;
10. ( ) =δ x u ( )
dx
d
x
'
= u ( )x , onde u ( )x é a função degrau unitário;
11. ( ) ( )x
a
1
ax δ=δ .
Observação: Mais informações a respeito do delta de Dirac podem ser obtidas em HSU, H.P.
Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman.
122
3.13.2 – Transformada de Fourier do delta de Dirac
Aplicando a transformada de Fourier à propriedade 7, temos que:
( )( ) ( )xfxf =δ∗
( )( ){ } ( ){ }xfxf ℑ=δ∗ℑ
( ){ } ( ){ } ( ){ }xfxxf ℑ=δℑℑ
( ){ } 1x =δℑ
{ } ( )x11 δ=ℑ−
Dessa maneira, podemos escrever o par de transformadas
( ) 1 x →←δ .
3.14 – Métodos para obter a transformada de Fourier
3.14.1 – Uso da definição
Mostre que { } ( ) 0aRe ,
a
a2
e 22
xa >
+α
=ℑ − .
<
>
=
−
−
0 x,e
0 x,e
e
ax
ax
xa
{ } ( ) ( )∫∫∫∫
∞
+−
∞−
+
∞
−
∞−
− +=+=ℑ
0
xia
0
xia
0
xiax
0
xiaxxa dxe dxe dxee dxee e αααα
( ) ( ) 2
2
1
1
k
0
xia
k
0
k
xia
k ia
elim
ia
elim
α+−
+
α+
=
α+−
∞→
α+
−∞→
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 2
2
1
1
k
0
ax
k
0
k
ax
k ia
xsen i xcoselim
ia
xsen i xcoselim
α+−
α+α
+
α+
α+α
=
−
∞→−∞→
123
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )[ ]
( )
α+−
−
α+−
α+α
+
+
α+
α+α
−
α+
=
>→
−
∞→
>→
−∞→
ia
1
ia
k sen ik coselim
ia
k sen ik cose
ia
1lim
0 aRe se 0
22
ak
k
0 aRe se 0
11
ak
k
2
2
1
1
44444 344444 21
44444 344444 21
( )
( ) 222222 a
a2
a
a2
ai
iaia
ia
1
ia
1
+
=
−−
−
=
−
+−+−
=
+−
−
+
=
ααα
αα
αα
Exemplo 1
{ } ( )
13
6
32
32
edxe 22
2
x3
xi2x3 | =+=ℑ=
=α
−
∞
∞−
+−∫
Exemplo 2
Seja ( ) xa6exxf/RR:f −=→ .
1. Determine ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
Lembrando que ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF ,Fixfx nnn ℑ=αα−=ℑ e que { } 22xa aa2e +α=ℑ − , 0a > , temos
que:
{ } ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
+α
α−α
α
=
+α
α−α
α
=
+α
αα−−+αα−
α
=
+α
α+αα−−+αα−
α
=
+α
α−
α
=
+α
α−+α
α
=
+α
α+αα−+α
α
=
+α
α
α
=
+α
α−
α
−=
+αα
−=
+αα
−=α=ℑ −
422
23
3
3
422
23
3
3
422
2222
3
3
622
22222322
3
3
322
22
4
4
322
222
4
4
422
22222
4
4
2225
5
2225
5
226
6
226
6
6xa6
a
a
d
d
a48
a
a1212
d
d
a4
a
63aa6
d
d
a4
a
2a33aa6
d
d
a4
a
3a
d
d
a4
a
4a
d
d
a4
a
2a2a
d
d
a4
ad
d
a4
a
2
d
d
a2a
1
d
d
a2
a
a2
d
diF ex
124
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
+α
αα−α−+α−α
α
=
+α
α+αα−α−+α−α
α
=
522
232222
2
2
822
3222342222
2
2
a
8aaa3
d
d
a48
a
2a4aaa3
d
d
a48
( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
+α
α−α+α−
=
+α
+α−α+α−
=
+α
αα+α−α−+α+α−α
=
+α
α+αα+α−α−+α+α−α
=
+α
α+α−α
α
=
+α
α+α−α
α
=
+α
α+α+α−α−α−α+α
α
=
+α
α−α−α−+αα−α
α
=
+α
α+α−α−α−+αα−α
α
=
+α
−α−α
α
=
+α
−α−α
α
=
+α
α+α−−α−α+α
α
=
722
642246
722
624426
722
4325224224
1222
52243256224224
622
4325
622
4325
622
4532325432
622
44222232
1022
422442252232
522
4422
2
2
522
4422
2
2
522
224422224
2
2
a
7a35a21a1440a
a
a3a63a10521
a480
a
12a3a103aa3a3015
a480
a
2a6a3a103aa3a3015
a480
a
a3a103
d
d
a480
a
a30a10030
d
d
a48
a
a1050a100a2020a20a20
d
d
a48
a
10a5a10a20a20
d
d
a48
a
2a5a5a10a20a20
d
d
a48
a
a5a10
d
d
a48
a
a5a10
d
d
a48
a
a88aaa33
d
d
a48
{ } ( ) 0a ,a
7a35a21a1440aex 722
642246
xa6 >
+α
α−α+α−
=ℑ −
(3.14.1.1)
125
−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
2. Plote os gráficos de ( )xf e de ( ) ( ){ }xfF ℑ=α para 2a = e comente-os.
( ) x26exxf −=
( ) ( )
+α
α−α+α−
=α 72
642
4
7140336642880F
Figura 52: Gráfico de ( ) ( )
+α
α−α+α−
=α 72
642
4
7140336642880F (azul) e de ( ) x26exxf −= (vermelho).
Comentários: ( )xf e ( )αF são funções
1. que se anulam no infinito;
2. pares;
3. limitadas;
4. contínuas;
5. absolutamente integráveis;
6. pertencentes ao espaço de Schwarz.
3. Calcule ( )
+
−+−ℑ 72
642
1x
x7x35x211
.
Considerando 1a = em (3.14.1.1), temos que
126
( ) x6exxf −= e ( ) ( )
+α
α−α+α−
=α 72
642
1
7352111440F .
Propriedade da simetria (dualidade): ( ){ } ( ) ( ){ } ( )α=ℑα−π=ℑ Fxf ,f2xF
( ) ( )
<αα
π
>αα
π
=
α
π
=α−
π
=
+
−+−ℑ
α
α−
α−α−−
0 se ,e
720
0 se ,e
720
e
720
e
1440
2
1x
x7x35x211
6
6
66
72
642
3.14.2 – Uso de equações diferenciais
Mostre que a22
ax 22
e
a
2
e
απ −−
=
ℑ e, conseqüentemente, 22
x
22
e 2e
α
π
−−
=
ℑ , sendo
( ) 2axexf −= a função gaussiana e 0a > .
Seja ( ) 2
ax2
exf
−
= . Então, ( )xf satisfaz à equação diferencial ordinária de primeira ordem
( ) ( ) 0xaxfxf ' =+ . (3.14.2.1)
Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados de (3.14.2.1), obtemos:
( ){ } ( ){ } { }0xf xaxf ' ℑ=ℑ+ℑ
( ) ( ) ( ) 0F
d
diaF i =−+− α
α
αα
( ) ( )ααα
α
F iF
d
di a −=
( )
( ) ( )[ ]
a
Fln
d
d
ad
dF
F
1 α
−=α
α
⇒
α
−=
α
α
α
( )[ ] ∫∫ αα−=ααα dadFlndd
( ) 1
2
C
2a
1F ln +α−=α
127
( ) a2
2
CeF
α
α
−
= (3.14.2.2)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.2.2), chegamos a
( ) ( ){ } ( ) ∫∫
∞
∞−
α−
α
−
∞
∞−
α−− α
π
=αα
π
=αℑ=
xia2
xi1 deCe
2
1deF
2
1Fxf
2
. (3.14.2.3)
Considerando 0x = em (3.14.2.3), temos que
( )
C
de
C
2de de
2
C10f
0
a2
a2
a2
222
π
=α⇒
π
=α⇒α
π
== ∫∫∫
∞
α
−
∞
∞−
α
−
∞
∞−
α
−
. (3.14.2.4)
Calculando a integral em (3.14.2.4):
dua2d ,ua2u
a2
2
2
==⇒= αα
α
0a ,u ,0u0 >∞→⇒∞→→⇒→ αα
C
due a2dua2e de
0
u
0
u
0
a2 22
2
π
===α ∫∫∫
∞
−
∞
−
∞
α
−
(3.14.2.5)
Calculando a integral em (3.14.2.5):
dww
2
1
ud ,wwuwu 2
1
2
1
2 −
===⇒=
∞→⇒∞→→⇒→ wu ,0w0u
22
1
2
1dwew
2
1dww
2
1
e due
0
w2
1
0
2
1
w
0
u2 π
=
Γ=== ∫∫∫
∞
−
−
∞
−
−
∞
−
(3.14.2.6)
Substituindo (3.14.2.6) em (3.14.2.5), obtemos
a
2
a2
2C
C2
a2 π
π
πππ
==⇒= . (3.14.2.7)
Substituindo (3.14.2.7) em (3.14.2.2), temos que
( ) a2
2
e
a
2F
απ
α
−
= . (3.14.2.8)
128
Considerando 1a = em (3.14.2.8), concluímos que 22
x
22
e 2e
α
π
−−
=
ℑ .
Exemplo
{ }
4
9
2
3
3
x
xi3x
e
e
2
2
edxe
2
22 | π=π=ℑ= −
=α
−
∞
∞−
+−∫
3.14.3 – Decomposição em frações parciais
Seja ( ) ( )
6i8
i410F 2
−+
−
=
αα
α
α . Determine ( ){ }αF1−ℑ .
( )i 104i10i4
2
40i806i 82 ±−=±−=−±−=⇒=−+ ααα
( ) ( )[ ] ( )[ ]i 104 i 104 i 1040F −−−α+−−α α−=α (3.14.3.1)
Decompondo (3.14.3.1) em frações parciais, temos que:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )i 104Bi 104Ai 104 i 104 i 1040F −−−α++−−α=−−−α+−−α α−=α (3.14.3.2)
( )[ ] ( )[ ]i 104Bi 104Ai 1040 +−−α+−−−α=α−
( ) ( )[ ] ( )αα BAB i 104A i 104i 1040 ++−++=−
( ) ( ) i -5B i, 5A40 B i 104A i 104
i 10B A
=−=⇒
=−++
−=+
(3.14.3.3)
Substituindo (3.14.3.3) em (3.14.3.2), obtemos:
( ) ( ) ( )i 104 i 5i 104 i 5F −−−−+−−−= ααα
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )iii 104 i 5iii 104 i5F −−−−+−−−= ααα
( ) ( ) ( ) ααα i 104 5 i 104 5F +−−+++−=
129
( ) ( ) ( ) ααα i 104 5 i 104 5F −+−−−−= (3.14.3.4)
Sabemos que ℑ{ axe− u ( )x } ( ) 0,aRe ,
ia
1
>
α−
= u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x,1
x . (3.14.3.5)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.3.4) e empregando (3.14.3.5), chegamos a
( ) ( ){ } ( ) ( )
−+
ℑ−
−−
ℑ−=ℑ=
>
−
>
−−
αα
α
i 104
15
i 104
15Fxf
0
1
0
11
4342143421
( ) x 104e5 −−−= u ( ) ( ) x 104e5x +−− u ( )x
5−= u ( ) ( ) ( )[ ]x 104x 104 eex +−−− +
5−= u ( ) [ ]x 10x 10x4 eeex −− +
( )x10coshe10 x4−−= u ( )x .
Exercícios
01. Seja ( ) ( )
π>
π≤
=
x ,0
x ,xsen
xf . Determine ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( )21
sen i2
xf
α
πα
−
=ℑ
02. Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular { }x2ex −ℑ .
R.: { } ( )( )32
2
x2
1
134
ex
+
−
−=ℑ −
α
α
03. Calcule ( ){ }x2 ex1 −−ℑ .
R.: ( ){ } ( )
( )
( )32
2
222
x2
1
134
1
i8
1
2
ex1
+
−
−
+
−
+
=−ℑ −
α
α
α
α
α
130
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
04. Seja ( ) ( ) 0aRe ,
ax
1
xf/CR:f 22 >+
=→ .
a) A função ( )xf é absolutamente integrável? Calcule, se possível, ∫
∞
∞−
+
22 dxax
1
.
R.: ( ) 0aRe ,
a
>
π
b) Mostre que ( ) 0aRe ,e
aax
1 a
22 >
π
=
+
ℑ α− .
3.15 – Transformada de Fourier de algumas funções
Discutiremos também a transformada de Fourier de algumas funções que não são absolutamente
integráveis.
3.15.1 – A função constante unitária
A função constante unitária pode ser vista como o caso limite da função pulso.
Função pulso: ( )
>
<
=
ax ,0
ax ,1
xf
1
( ) 1xflim
a
=
∞→
-a a x
{ } ( ){ } ( ){ } ( )
( )
( )απδ=
α
α
π
π=
α
α
=ℑ=ℑ=ℑ
∞→
∞→∞→∞→
2
asen1lim2
asen2limxflimxflim1
a
aaa
( ){ } 121 =απδℑ− ( )
α
α4sen
( )απδ→← 2 1
131
3.15.2 – A função sinal
Função sinal: ( )
<−
>
=
0 x,1
0 x,1
xsgn 1
x
-1
A função sinal pode ser expressa pelo limite
( )
0a
limxsgn
→
= [ axe− u ( )x - axe u ( )x− ],
onde u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x1,
x e u ( )
>
<
=−
0 x0,
0 x1,
x .
Assim:
( ){ } ℑ=ℑ xsgn {
0a
lim
→
[ axe− u ( )x - axe u ( )x− ]}
0a
lim
→
= ℑ{[ axe− u ( )x - axe u ( )x− ]}
α
=
α+
α
=
α+
−
α−
=
→
→
i2
a
i2lim
ia
1
ia
1lim
220a
0a
( )xsgni21 =
α
ℑ−
( )
α
→
←
i2
xsgn
Observação: Se ( ){ } ( )∫
∞
∞−
−
=ℑ
x i dxexf xf α , então ( ){ }
α
−=ℑ i2xsgn .
Exercício
Mostre que ℑ{ axe u ( )x− } ( ) 0aRe ,
ia
1
>
α+
= , onde u ( )
>
<
=−
0 x0,
0 x1,
x .
132
3.15.3 – A função degrau
Função degrau unitário: u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x1,
x
1
x
A função degrau unitário pode ser reescrita como
u ( ) ( )[ ]xsgn1
2
1
x += .
Logo:
ℑ{u ( )x } ( ) { } ( ){ }xsgn
2
11
2
1
xsgn
2
1
2
1 ℑ+ℑ=
+ℑ=
( ) ( )
α
+απδ=
α
+απδ= ii2
2
12
2
1
( ) =
α
+απδℑ− i1 u ( )x
u ( ) ( )
α
+απδ→←
i
x
Observação: Se ( ){ } ( )∫
∞
∞−
−
=ℑ
x i dxexf xf α , então ℑ{u(x)} ( ) ( )
α
+απδ=
α
−απδ=
i
1i
.
3.15.4 – Exponencial
Se ( ) ( ) ( )
Tx
TxsenTTxsincTxf
π
=
π
= , então ( ) ( ) ( )x
Tx
TxsenTlimxflim
TT
δ=
π
=
∞→∞→
.
( )
≠
=∞
=δ
0 x,0
0 x,
x
133
{ } ( )
( )[ ] ( )[ ]{ }
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )a2Tasinc
Tlim2
Ta
TasenTlim2
a
Tasenlim2
a
Tasen
a
Tasenlim
a
xasenlimdxxacos lim
dxxaisenxacos lim
dxe dxee e
TT
TT
T
T
T
T
T
T
T
T
T
xai
xi xia xia
|
+απδ=α+
π
π=
α+
α+
π
π=
α+
α+
=
α+
−α+
−
α+
α+
=
α+
α+
=α+=
α++α+=
==ℑ
∞→∞→
∞→∞→
−
∞→
−
∞→
−
∞→
∞
∞−
α+
∞
∞−
α
∫
∫
∫∫
( ){ } xia1 ea2 =+απδℑ−
( )a2 e xia +απδ→←
Observação: Se ( ){ } ( )∫
∞
∞−
−
=ℑ
x i dxexf xf α , então { } ( )a2 e xia −απδ=ℑ .
Exercício
Mostre que { } ( )a2e xia −απδ=ℑ − .
3.15.5 – Função cosseno
( ){ } ( ) ( )
∫
∫∫
−
α
−
∞→
−
α
∞→
∞
∞−
α
+
=
==ℑ
T
T
xi
xia xia
T
T
T
xi
T
xi
dxe
2
eelim
dxe axcos limdxe axcos axcos
134
( ) ( )
( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( )[ ]aaaa
a2a2
2
1
dxe dxe lim
2
1
T
T
xa-i
T
T
xai
T
−αδ++αδπ=−απδ++απδ=
−απδ++απδ=
+= ∫∫
−
α+
−
α+
∞→
( ) ( )[ ]{ } ( )axcosaa1 =−αδ++αδπℑ−
( ) ( ) ( )[ ]aa axcos −αδ++αδπ→←
Exercícios
Mostre que:
01. ( ){ } ( ) ( )[ ]aaiaxsen +αδ−−αδπ=ℑ ;
02. ℑ{ ( )axcos u ( )x } ( ) ( )[ ] 22 a
i
aa
2 −α
α
+−αδ++αδπ= ;
03. ℑ{ ( )axsen u ( )x } ( ) ( )[ ] 22 a
a
aa
2
i
−α
−+αδ−−αδπ= ;
04. ( ) ( ) ( ) ( )
α
α
+αδπ=
κκℑ ∫
∞−
F i0Fdf
x
, onde ( ) ( ){ }xfF ℑ=α e u ( )
<
>
=
0 xse ,0
0 xse ,1
x .
Sugestão: Use ( )∗xf u ( ) ( )∫
∞−
κκ=
x
df x e ( ) ( )( ) ( )x0fxxf δ=δ se ( )xf for contínua em 0x = .
3.16 – Resumo: Transformadas de Fourier de algumas funções
( )xf ( )αF
( )
>
<
=
ax ,0
ax ,1
xf
( )
( ) a20F
0 ,
asen2
=
≠α
α
α
( ) 0aRe ,e xa >−
22 a
a2
+α
( ) 0aRe ,
ax
1
22 >+
α−π a
e
a
135
xe− ( )
1
1F 2C +
=
α
α
( )
1
F 2S +
=
α
α
α
2
x
2
e
−
2
2
e 2
α
π
−
0a,e 2
ax2
>
−
a2
2
e
a
2 απ −
axe− u ( ) ( ) 0,aRe ,x > u ( )
<
>
=−
c x0,
c x,1
cx
αia
1
−
axn ex − u ( ) ( ) 0,aRe ,x > u ( )
<
>
=−
c x0,
c x,1
cx ( ) 1nia
!n
+α−
( )
≠
=∞
=
0 x0,
0 x,
xδ
1
( ) ( )
>
≤
==
∞→ ax ,0
ax ,1
xf ,xflim1
a
( )απδ2
( )
<−
>
=
0 x,1
0 x,1
xsgn
α
i2
u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x1,
x ( )
α
+απδ i
e xia ( )a2 +απδ
( ) axcos ( ) ( )[ ]aa −αδ++αδπ
( )axsen ( ) ( )[ ]aai +αδ−−αδπ
( )axcos u ( )x ( ) ( )[ ] 22 a
i
aa
2 −α
α
+−αδ++αδπ
( )axsen u ( )x ( ) ( )[ ] 22 a
a
aa
2
i
−α
−+αδ−−αδπ
( )∫
∞−
κκ
x
df
( ) ( ) ( )
α
α
+αδπ F i0F
Tabela 2: Transformadas de Fourier de algumas funções e distribuições.
3.17 – Identidade de Parseval para as integrais de Fourier
( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF onde ,dF
2
1dxxf
2
2 ℑ== ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ααα
π
136
Prova:
( ) ( )yx,v v,yx,uu ,ivuf ==+=
ivuf −=
2fff =
( ) ( )xfxf =
( ) ( ){ } ( ) ( )α∗α
π
=ℑ GF
2
1
xgxf
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∞
∞−
∞
∞−
α
−α
π
=
x i duuGuF
2
1dxe xgxf (3.17.1)
Considerando 0=α em (3.17.1), obtemos
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−
π
=
duuGuF
2
1
xdxgxf . (3.17.2)
Assumindo em (3.17.2) ( ) ( )xfxg = e lembrando que ( ){ } ( )α−=ℑ Fxf , temos que
( ) ( )
( ){ } ( ){ }
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )uFuG
FG
:
FG
xfxg
xfxg
=−
α=α−
α−←α
α−=α
ℑ=ℑ
=
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ααα
π
=
dFF
2
1
xdxfxf
( ) ( )∫∫
∞
∞−
∞
∞−
=
2
2 dF
2
1dxxf αα
π
. (3.17.3)
Se f e g são funções pares, podemos reescrever (3.17.1) como
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∞∞
=
0
CC
0
dGF 2dxxgxf ααα
π
. (3.17.4)
137
−3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
x
y
Da mesma forma, quando f e g são funções ímpares reescrevemos (3.17.1) como
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∞∞
=
0
SS
0
dGF 2dxxgxf ααα
π
. (3.17.5)
Quando ( ) ( )xgxf = , (3.17.4) e (3.17.5) tornam-se, respectivamente,
( )[ ] ( )[ ]∫∫
∞∞
=
0
2
C
0
2 dF 2dxxf αα
π
e ( )[ ] ( )[ ]∫∫
∞∞
=
0
2
S
0
2 dF 2dxxf αα
π
.
3.18 – Cálculo de integrais impróprias
Podemos empregar as transformadas de Fourier ou a Identidade de Parseval para calcular para
quanto convergem determinadas integrais impróprias.
Exemplo
Seja ( )
>
≤
=→
1x ,0
1x ,x
xf/RR:f
2
.
1. Plote o gráfico de ( )xf .
Figura 53: Gráfico de ( )
>
≤
=→
1x ,0
1x ,x
xf/RR:f
2
.
2. Determine ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
138
( ) ( ){ } ( )
( ) ( )[ ]
( )∫
∫∫
∫
α=
α+α==
=ℑ=α
−−
α
∞
∞−
α
1
0
2
1
1
2
1
1
xi2
xi
dxxcos x2
dxxsen ixcos xdxe x
dxexf xfF
Calculando a integral indefinida (integração por partes):
( ) ( )
a
axsen
v,dxaxcosdv
2xdxdu ,xu 2
==
==
( ) ( )
a
axcos
v,dxaxsendv
dxdu ,xu
−==
==
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) C
a
axsen2
a
axcosx2
a
axsenx
dxaxcos
a
1
a
axcosx
a
2
a
axsenx
dxaxsen x
a
2
a
axsenxdxaxcosx
32
2
2
2
2
+−+=
+−−=
−=
∫
∫∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0 ,cos2sen22
sen2cos2sen2
sen2cos2sen2
xsen2xcosx2xsenx2F
3
2
3
2
32
1
0
32
2
≠α
α
αα+α−α
=
α
α−αα+αα
=
α
α
−
α
α
+
α
α
=
α
α
−
α
α
+
α
α
=α
( ) ( )
3
2
3
x2dx x2dxx.0cos x20F |1
0
31
0
2
1
0
2
==== ∫∫
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,cos2sen22F 3
2
≠α
α
αα+α−α
=α
3. Calcule ( ) ( ) ( )[ ]∫
∞
∞−
+−
6
2 2
dx
x
xcosx2xsen2x
.
139
Identidade de Parseval: ( ) ( )∫∫
∞
∞−
∞
∞−
=
2
2 dF
2
1dxxf αα
π
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
55
2
2
dcos2sen2
dcos2sen22
5
x2
dcos2sen22
2
1dx x
6
2 2
6
2 21
0
5
2
3
21
1-
4
|
π
=
π
=α
α
αα+α−α
α
α
αα+α−α
π
=
α
α
αα+α−α
π
=
∫
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
( ) ( ) ( )[ ]
5
dx
x
xcosx2xsen2x
6
2 2 π
=
+−∫
∞
∞−
Exercícios
01. Seja ( )
≥
<≤
=
1 x0,
1x0 ,1
xf .
a) Determine a transformada cosseno de Fourier de f(x).
R.: ( ) ( )
α
α
α
senFC = , 0≠α
b) Determine a transformada seno de Fourier de f(x).
R.: ( ) ( )
α
α
α
cos1FS
−
= , 0≠α
c) Mostre que ( )
2
dx
x
xcos1
0
2
π
=
−∫
∞
.
d) Mostre que ( )
2
dx
x
xsen
0
2
2 π
=∫
∞
.
02. Calcular ( )∫
∞
+
0
22 1x
dx
.
140
( ) ( ) ( ) { } ( )1x
2
exfedx xcosxf 2
1
C
0
+
=ℑ=⇒= −−−
∞
∫ πα αα
R.: ( )∫
∞
=
+
0
22 41x
dx π
Decorrência: { }
1
1
e 2
x
C
+
=ℑ −
α
03. Solucione a equação integral ( ) ( ) αα −
∞
=∫ edx xsenxf
0
.
R.: ( ) ( )1x
x2
xf 2 +
=
π
Decorrência: { }
1
e 2
x
S
+
=ℑ −
α
α
04. Calcular ( )∫
∞
+
0
22
2
1x
dxx
.
R.: ( ) 41x
dxx
0
22
2 π
=
+∫
∞
05. Sejam ( ) ( )xp xxf/RR:f =→ e ( )
>
<
=→
1x ,0
1x ,1
xp/RR:p .
a) Calcule ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) 00F ,cosseni2F 2 =α
αα−α
=α
b) Determine para quanto convergem as integrais ( ) ( )∫
∞
∞
−
-
2
xi
2 dxe
x
xcosxxsen
e
( ) ( )[ ]∫
∞
∞
−
-
4
2
dx
x
xcosxxsen
.
R.:
2
i π
e
3
π
141
3.19 – Solução de equações diferenciais
3.19.1 – Equações diferenciais ordinárias
Solucionar a equação diferencial ordinária
( ) ( ) ( ) ( )xfxy2xy5xy3 '" =++ . (3.19.1.1)
Seja ( ){ } ( )αYxy =ℑ . Aplicando a transformada de Fourier a cada lado de (3.19.1.1), temos
que:
( ) ( ) ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ){ } ( )
( ) ( )∫
∞
∞−
−
−−
+−−
=
+−−
ℑ=ℑ
+−−
=
=+−−
=+−−
ℑ=ℑ+ℑ+ℑ
ℑ=++ℑ
xi
2
2
11
2
2
2
'"
'"
de
2i53
F
2
1
xy
2i53
FY
2i53
FY
FY2i53
FY2Yi5Y3
xfxy2xy5xy3
xfxy2xy5xy3
α
αα
α
π
αα
α
α
αα
α
α
αααα
αααααα
α
Questão
E se em (3.19.1.1) ( )xf fosse um polinômio definido em ( )∞∞− , ?
Exemplo
Solucione a EDO de segunda ordem
( ) ( ) ( )xQxDx
dx
dD 22
2
δϕκϕ =+− , (3.19.1.2)
onde 0, ,D 2 >κκ e Q são constantes.
( ){ } ( )αϕ Ψ=ℑ x
Aplicando a transformada de Fourier a (3.19.1.2), obtemos:
( ) ( ){ } ( ){ }xQxDx
dx
dD 22
2
δϕκϕ ℑ=ℑ+
ℑ−
( ) ( ) QDD 22 =Ψ+Ψ ακαα
142
( ) ( ) QDD 22 =Ψ+ ακα
( ) ( )22D
Q
κα
α
+
=Ψ
( ) ( ) 2222
2
D2
Q
2
2
D
Q
κα
κ
κκ
κ
κα
α
+
=
+
=Ψ . (3.19.1.3)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.19.1.3), temos que
( ) ( ){ }
+
ℑ=Ψℑ= −− 22
11 2
D2
Q
x
κα
κ
κ
αϕ . (3.19.1.4)
Lembrando que { } 0,2e 22x >+=ℑ − κκα κκ , podemos escrever (3.19.1.4) como
( ) ( ){ } x1 e
D2
Q
x
κ
κ
αϕ −− =Ψℑ= .
3.19.2 – Equações diferenciais parciais
Derivação sob o sinal de integração – Regra de Leibniz
Wilhelm Gottfried Leibniz (1646-1716): matemático e filósofo alemão, considerado,
juntamente com o físico e matemático britânico Isaac Newton (1642-1727), fundador (pai) do cálculo
diferencial e integral.
Seja ( ) ( )∫=
2
1
u
u
dx,xf ααφ , ba ≤≤ α , 1u e 2u dependentes de α . Então
( ) ( ) ( ) ( ) 1122
u
u
u
d
d
,ufu
d
d
,ufdx ,xf
d
d 2
1
α
α
α
αα
α
αφ
α
−+
∂
∂
= ∫ , (3.19.2.1)
se ( )α,xf e ( )α
α
,xf
∂
∂
são contínuas em x e α em alguma região do plano αx incluindo
21 uxu ≤≤ e ba ≤≤ α , e se 1u e 2u forem contínuas com derivadas contínuas para ba ≤≤ α .
Quando 1u e 2u independem de α , podemos reescrever (3.19.2.1) como
( ) ( )∫ ∂∂=
2
1
u
u
dx ,xf
d
d
α
α
αφ
α
.
143
( )t,xu : função das variáveis 0 t,Rt,x ≥∈ .
Fixando a variável temporal t, ( )t,xu torna-se uma função apenas da variável espacial x,
definida na reta. Assim, podemos determinar a transformada de Fourier de ( )t,xu com relação à
variável x.
( ){ } ( ) ( ) ( )t,ut,Udxet,xu t,xu ^
xi ααα ===ℑ ∫
∞
∞−
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ( )t,Udxet,xu
dx
d
t,xu
dx
d
t,xu
t,Uidxet,xu
dx
d
t,xu
dx
d
t,xu
2
xi
2
2
2
2
xx
xi
x
αα
αα
α
α
−==
ℑ=ℑ
−==
ℑ=ℑ
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
(3.19.2.2)
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )t,U
dt
ddxet,xu
dt
ddxet,xu
t
t,xu
t
t,xu
xi
xi
t α
αα
==
∂
∂
=
∂
∂ℑ=ℑ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
(3.19.2.3)
Em (3.19.2.2) aplicamos as propriedades da transformada de Fourier sobre derivadas; em
(3.19.2.3), a derivada temporal é preservada pela transformada de Fourier (derivamos sob o sinal de
integração utilizando a regra de Leibniz). Dessa forma, quando aplicamos a transformada de Fourier a
uma equação diferencial parcial em duas variáveis (x e t), as derivadas parciais espaciais ( )xxx u,u
desaparecem e apenas as derivadas temporais ( )ttt u,u permanecem, ou seja, a transformada de Fourier
transforma a equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária em t.
A resolução de uma equação diferencial parcial pelas transformadas de Fourier pode ser
resumida às seguintes etapas:
1a) Obtenha a transformada de Fourier das condições iniciais e das condições de contorno (se estas
existirem);
2a) Aplique a transformada de Fourier à equação diferencial parcial, transformando-a em uma equação
diferencial ordinária;
3a) Solucione a equação diferencial ordinária, obtendo ( )t,U α ;
4a) Determine as constantes presentes em ( )t,U α usando as condições iniciais e as condições de
contorno;
5a) Aplique a transformada de Fourier inversa a ( )t,U α para obter a solução ( )t,xu da equação
diferencial parcial.
144
3.19.2.1 – Equação do calor (EDP parabólica)
Solucione a equação do calor
( ) ( )
∞<<∞=
>∞<<∞
∂
∂
=
∂
∂
x- ,xf0,xu
0 t,x- ,
x
u
t
u
2
2
κ
(3.19.2.1.1)
onde κ é a constante de difusibilidade térmica e ( )
>
≤
=
1x se ,0
1x se ,1
xf (função pulso unitário).
Solucionar (3.19.2.1.1) é resolver o problema de condução de calor em uma barra homogênea,
isolada termicamente e infinita. O problema de valor inicial (3.19.2.1.1) é o problema de Cauchy. Em
(3.19.2.1.1), assumimos que a função f(x) é limitada e absolutamente integrável e que ( ) Mt,xu < (a
solução é limitada para 0t ≥ ).
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matemático francês, um dos maiores matemá-ticos do
século XIX.
Solução: ( )t,xu
( ){ } ( ) ( )t,Udxet,xu t,xu
xi αα ==ℑ ∫
∞
∞−
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) 0 ,sen20,U0,xuxf ≠==ℑ=ℑ α
α
α
α (3.19.2.1.2)
Aplicando a transformada de Fourier em (3.19.2.1.1), obtemos
( ) ( )
∂
∂ℑ=
∂
∂ℑ t,xu
x
t,xu
t 2
2
κ
( ) ( )t,U
dt
t,dU 2 ακαα −= . (3.19.2.1.3)
Separando as variáveis em (3.19.2.1.3), chegamos a
145
( )
( )
( )[ ]
( )[ ]
( ) 12
2
2
2
Ctt,Uln
dtdtt,Uln
dt
d
t,Uln
dt
d
dt
t,dU
t,U
1
+κα−=α
κα−=α
κα−=α
κα−=
α
α
∫∫
( ) t2Cet,U καα −= . (3.19.2.1.4)
Para determinara constante C em (3.19.2.1.4), usamos a condição inicial (3.19.2.1.2) ( 0t = )
( ) ( )
α
α
α
sen2C0,U == . (3.19.2.1.5)
Substituindo (3.19.2.1.5) em (3.19.2.1.4), temos que
( ) ( ) t2esen2t,U κα
α
α
α
−
= . (3.19.2.1.6)
Aplicando a transformada inversa de Fourier em (3.19.2.1.6), obtemos a solução procurada.
( ){ } ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫
∫
∫
∫
∫
∞
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
−−
−
−
−
−
−
−
=
=
−=
=
=
ℑ=ℑ
0
xi
xi
11
dexcossen2t,xu
dexcossen1t,xu
dxsen ixcosesen1t,xu
deesen1t,xu
deesen2
2
1
t,xu
e
sen2
t,U
t2
t2
t2
t2
t2
t2
α
α
αα
π
α
α
αα
π
ααα
α
α
π
α
α
α
π
α
α
α
π
α
α
α
κα
κα
κα
κα
κα
κα
α
α
146
Exercícios
01. Resolva o problema de Cauchy
( ) ( )
∞<<∞=
>∞<<∞=
x- ,xf0,xu
0 t,x- ,uu xxt κ
.
R.: ( ) ( )∫
∞
∞−
−
−
=
xi deeF
2
1
t,xu
t2
αα
π
ακα
Observação: A solução anterior não é conveniente em certas aplicações práticas, pois a mesma
depende de ( ) ( ){ }xfF ℑ=α . Podemos expressar essa solução em função de f(x) usando a propriedade
da convolução em (6).
SPIEGEL, Murray R. Theory and problems of Fourier analysis, p. 93, problem 5.22.
02. Solucione o problema
( )
∞<<∞=
>∞<<∞=
−
x- ,e0,xu
0 t,x- ,uu
x
xxt κ
.
R.: ( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∞∞
∞−
−−
+
=
+
=
0
2
2 de1
xcos2
t,xuou de
1
xcos1
t,xu
t2t2
α
α
α
π
α
α
α
π
κακα
3.19.2.2 – Equação da onda (EDP hiperbólica)
Solucione a equação da onda
( ) ( )
( ) ( )
∞<<∞==
∂
∂
∞<<∞=
>∞<<∞
∂
∂
=
∂
∂
=
x- ,xg0,xu
t
u
x- ,xf0,xu
0 t,x- ,
x
u
c
t
u
t
0t
2
2
2
2
2
|
(3.19.2.2.1)
onde 2c é a constante relacionada à velocidade de propagação da onda.
Solucionar (3.19.2.2.1) é resolver o problema das vibrações transversais de uma corda infinita,
homogênea e de peso desprezível. Em (3.19.2.2.1), assumimos que as funções f(x) e g(x) são limitadas
e absolutamente integráveis e que ( ) Mt,xu < (a solução é limitada para 0t ≥ ).
Solução: ( )t,xu
147
( ){ } ( ) ( )t,Udxet,xu t,xu
xi αα ==ℑ ∫
∞
∞−
( ){ } ( ) ( ){ } ( )0,U0,xuFxf αα =ℑ==ℑ (3.19.2.2.2)
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
dt
0,dU0,xuGxg t
α
α =ℑ==ℑ (3.19.2.2.3)
Aplicando a transformada de Fourier em (3.19.2.2.1), obtemos
( ) ( )
∂
∂ℑ=
∂
∂ℑ t,xu
x
ct,xu
t 2
2
2
2
2
( ) ( )t,Uc
dt
t,Ud 22
2
2
αα
α
−=
( ) ( ) 0t,Uc
dt
t,Ud 22
2
2
=+ αα
α
. (3.19.2.2.4)
Família de soluções a dois parâmetros para (3.19.2.2.4):
( ) ( ) ( ) tcsenC tccosCt,U 21 ααα += (3.19.2.2.5)
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
Exercício
Verifique que (3.19.2.2.5) é solução de (3.19.2.2.4).
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
( ) ( ) ( )
tccoscC tcsen cCt,U
dt
d
21 ααααα +−= (3.19.2.2.6)
Para determinar as constantes 1C e 2C em (3.19.2.2.5), usamos as condições iniciais
(3.19.2.2.2) e (3.19.2.2.3).
Considerando 0t = em (3.19.2.2.5) e usando (3.19.2.2.2), obtemos
( ) ( )αα FC0,U 1 == . (3.19.2.2.7)
Considerando 0t = em (3.19.2.2.6) e usando (3.19.2.2.3), obtemos
( ) ( ) ( )
α
α
ααα
c
GCGcC0,U
dt
d
22 =⇒== . (3.19.2.2.8)
Substituindo (3.19.2.2.7) e (3.19.2.2.8) em (3.19.2.2.5), temos que
148
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tcsen
c
G
tccosFt,U α
α
α
ααα += . (3.19.2.2.9)
Aplicando a transformada inversa de Fourier em (3.19.2.2.9), obtemos a solução procurada.
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )
+ℑ=ℑ −− tcsen
c
G
tccosFt,U 11 α
α
α
ααα
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫
∞
∞−
−
+=
xi de tcsen
c
G
tccosF
2
1
t,xu αα
α
α
αα
π
α
(3.19.2.2.10)
Observação: Utilizando a integral de Fourier, podemos mostrar que (3.19.2.2.10) é equivalente
a
( ) ( ) ( )[ ]ctxfctxf
2
1
t,xu −++= quando ( ) ( ){ } ( ) 0Gxg0xg ==ℑ⇒= α .
SPIEGEL, Murray R. Theory and problems of Fourier analysis, p. 93, problem 5.23.
Exercício
Resolva o problema
( )
( )
∞<<∞=
∞<<∞
+
=
>∞<<∞=
x- ,00,xu
x- ,
1x
10,xu
0 t,x- ,uu
t
2
xxtt
.
R.: ( ) ( ) ( )
+−
+
++
=
1tx
1
1tx
1
2
1
t,xu 22
3.19.2.3 – Equação de Laplace (EDP elíptica)
A temperatura de estado estacionário em uma chapa semi-infinita é determinada por
( ) ( )
( )
<<==
∂
∂
>==
><<=
∂
∂
+
∂
∂
=
Neumann de cc x0 ,00,xu
y
u
Dirichlet de cc 0y ,ey,u ,0y,0u
0y ,x0 ,0
y
u
x
u
y
0y
y-
2
2
2
2
| π
π
π
. (3.19.2.3.1)
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemático alemão.
John von Neumann (1903-1957): matemático húngaro.
149
O domínio da variável y e a condição estabelecida
em 0y = indicam que a transformada cosseno de
Fourier é adequada para o problema, uma vez que
( ){ } ( ) ( )0fFxf 'C2"C −−=ℑ αα .
Figura 54: Condições de contorno para a equação de Laplace.
Solução: ( )y,xu
Fixando a variável x, temos que:
( ){ } ( ) ( ) ( )αα ,xUdyy cosy,xu y,xu
0
C ==ℑ ∫
∞
( ){ } { } ( ) 0,0U0y,0u CC ==ℑ=ℑ α (3.19.2.3.2)
( ){ } { } ( )
1
1
,Uey,u 2
y
cC
+
==ℑ=ℑ −
α
αππ (3.19.2.3.3)
Aplicando a transformadacosseno de Fourier em (3.19.2.3.1), obtemos
( ) ( ) { }
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 00,xu
dy
d
,xU
dx
,xUd
0y,xu
y
y,xu
x
0y,xu
y
y,xu
x
2
2
2
2
2
C2
2
C
C2
2
2
2
C
=−−
=
∂
∂ℑ+
∂
∂ℑ
ℑ=
∂
∂
+
∂
∂ℑ
αα
α
( ) ( ) 0,xU
dx
,xUd 2
2
2
=− αα
α
. (3.19.2.3.4)
Família de soluções (a dois parâmetros) para (3.19.2.3.4):
( ) ( ) ( ) xsenhC xcoshC,xU 21 ααα += (3.19.2.3.5)
ou
( ) x2 x1 eCeC,xU ααα −+=
150
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
Exercício
Verifique que (3.19.2.3.5) é solução de (3.19.2.3.4).
Observação:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xcoshxsenh
dx
d
,xsenhxcosh
dx
d
2
ee
xcosh ,
2
ee
xsenh
xx xx
==
+
=
−
=
−− αααα
αα
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
Para determinar as constantes 1C e 2C em (3.19.2.3.5), usamos as condições de contorno
(3.19.2.3.2) e (3.19.2.3.3).
Considerando 0x = em (3.19.2.3.5) e usando (3.19.2.3.2), obtemos
( ) 0C,0U 1 ==α . (3.19.2.3.6)
Considerando π=x em (3.19.2.3.5) e usando (3.19.2.3.3) e (3.19.2.3.6), obtemos
( ) ( ) ( ) ( )απαααπαπ senh 1
1C
1
1
senhC,U 2222 +
=⇒
+
== . (3.19.2.3.7)
Substituindo (3.19.2.3.6) e (3.19.2.3.7) em (3.19.2.3.5), temos que
( ) ( )( ) ( )απα
α
α
senh 1
xsenh
,xU 2 +
= . (3.19.2.3.8)
Aplicando a transformada cosseno de Fourier inversa em (3.19.2.3.8), obtemos a solução
procurada.
( ){ } ( )( ) ( )
+
ℑ=ℑ −−
απα
α
α
senh 1
xsenh
,xU 2
1
C
1
C
( ) ( )( ) ( ) ( )∫
∞
+
=
0
2 dy cossenh 1
xsenh2y,xu αα
απα
α
π
Exercícios
01. Solucione o problema de valor de contorno
( )
( ) ( )
>==
<<=
<<>=+
−
0 x,e,xu ,00,xu
y 0 ,0y,0u
y 0 0, x ,0uu
x
y
x
yyxx
π
π
π
.
151
R.: ( ) ( )( ) ( ) ( )∫
∞
+
=
0
2 dx coscosh1
ysenh2y,xu αα
απαα
α
π
02. Usando o método das transformadas de Fourier, mostre que a solução da equação de Laplace no
semiplano superior (problema de Dirichlet)
( ) ( )
∞<<∞=
>∞<<∞=+
x- ,xf0,xu
0y ,x- ,0uu yyxx
é dada por
( ) ( )( )∫
∞
∞
+−
=
-
22
d
yx
Fyy,xu α
α
α
π
. (fórmula integral de Poisson)
Siméon-Denis Poisson (1781-1840): matemático francês.
3.20 – Solução de equações integrais e de equações íntegro-diferenciais
Solucione a equação integral
( ) ( ) ( ) ( )∫
∞
∞−
−
−++−=
x3 duuxfug xe3xfxf , (3.20.1)
onde ( )
>
≤
=
3,x ,0
3x ,1
xg .
Notação: ( ){ } { }α=ℑ Fxf
( ){ } ( )
α
α
=ℑ 3sen2xg
Aplicando a transformada de Fourier a (3.20.1), temos que
( ){ } ( ){ } { } ( )( ){ }xfgxe3xfxf x3 ∗ℑ+ℑ+−ℑ=ℑ −
( ) ( ) ( ) ( )αα+
+αα
−α=α α FG
9
6
d
diFeF 2
i3
( ) ( ) ( )
( ) ( )α
α
α
+
+α
α
+α=α α F3sen2
9
i12FeF 22
i3
152
( ) ( ) ( )22
i3
9
i12F3sen2e1
+α
α
=α
α
α
−−
α
( ) ( ) ( )α−α−α
α
+α
α
=α
α 3sen2e9
i12F
i322
( ) ( ) ( )[ ]α−α−α+α
α
=α
α 3sen2e9
i12F
i322
2
. (3.20.2)
Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.20.2), obtemos a solução procurada.
( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]∫
∞
∞−
α−
α
− α
α−α−α+α
α
π
=αℑ=
xi
i322
2
1 de
3sen2e9
i12
2
1Fxf
( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]∫
∞
∞−
α
α−
− α
α−α−α+α
α
π
=αℑ=
i322
xi2
1 d
3sen2e9
e i6Fxf
Exercícios
01. Considere um sistema estável invariante no tempo, caracterizado pela equação diferencial
( ) ( ) ( )xfxy2xy' =+ , (1)
onde ( ) xe3xf −= u ( )x . Solucione a equação diferencial (1) empregando a transformada de Fourier e
suas propriedades.
R.: ( ) ( )x2x ee3xy −− −= u ( )x
02. Utilizando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione a equação diferencial
( ) ( )
( ) ( )
∞<<∞=
>∞<<∞=
x- xg0,xu
0 t,x- t,xutt,xu xx
2
t
,
onde ( )
>
<
=
2x ,0
2x ,1
xg .
R.: ( ) ( ) ( )∫
∞ α
−
α
α
αα
π
=
0
3
t
dexcos2sen2t,xu
32
03. Use as transformadas de Fourier para resolver a equação integral
153
( ) ( ) ( )∫
∞
∞−
−−−
−+=
ux2x duufe a1
2
1
exf , ( ) 0aRe > .
R.: xae
a
1
−
04. Utilizando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione a equação integral
( ) ( ) ( ) ( )∫
∞
∞−
−−
−=+
u4x4 duuxfuhe xfxhxe3 , ( )
<
>
=
0 x,0
0 x,1
xh .
R.: ( ) ( ) ( )xhee3xf x3x4 −− −=
154
3.21 – Exercícios resolvidos
01. Seja ( ) x3exxf/RR:f −=→ .
a) Calcule ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
Lembrando que ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF ,Fixfx nnn ℑ=αα−=ℑ e que { } 22xa aa2e +α=ℑ − , 0a > , tem-se
que:
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
i48
1
1212i4
1
18666i4
1
31616i4
1
2133116i4
1
31
d
di4
1
41
d
di4
1
2121
d
di4
1d
di4
1
2
d
di2
1
1
d
di2
1
2
d
di ex
42
3
42
3
42
33
42
22
62
22232
32
2
32
22
42
222
222
2
222
2
23
3
23
3
3x3
+α
α−α
−=
+α
α−α
−=
+α
α+α−α−α−
−=
+α
α−α−+αα−
−=
+α
α+αα−−+αα−
−=
+α
α−
α
−=
+α
α−+α
α
−=
+α
α+αα−+α
α
−=
+α
α
α
−=
+α
α−
α
=
+αα
=
+αα
−=ℑ −
( ){ } ( ) ( )42
3
1
i48Fxf
+α
α−α
−=α=ℑ
b) Determine para quanto converge a integral ( )∫
∞
∞ +
−
-
x i 2
4 2
3
dxe
1x
xx
.
Propriedade da simetria (dualidade): ( ){ } ( ) ( ){ } ( )α=ℑα−π=ℑ Fxf ,f2xF
( ) ( )
α−−
∞
∞
α α−π=+
−
−∫ e2dxe1x xxi48 3
-
x i
4 2
3
( )
α−
∞
∞
α πα−=
+
−
− ∫ e2dxe1x xxi48 3
-
x i
4 2
3
155
( )
α−α−
∞
∞
α α
π
−=α
π
=
+
−∫ e24iei24dxe1x xx 33
-
x i
4 2
3
( ) ( ) 2
223
2
42
3
-
x i 2
4 2
3
e3
i
e
3
i
e2
24
i
1x
xxdxe
1x
xx | π−=π−=π−= +−ℑ=+− −−=α∞∞∫
c) Calcule para quanto converge a integral ( )∫
∞
∞
π
+
−
-
x i
4 2
3
dxe
1x4
x2x8
.
Propriedade da similaridade: ( ){ } ( ){ } ( )α=ℑ
α
=ℑ Fxf ,
a
F
a
1
axf
( )
( ) ( )
( )[ ]∫
∞
∞ π=α
π
+
−ℑ=
+
−
-
42
3
x i
4 2
3 |1x2 x2x2dxe1x4 x2x8
( )
2
3
-
x i
4 2
3
e
224
i
2
1dxe
1x4
x2x8 π−
∞
∞
π
ππ
−=
+
−∫
( ) 2
4
2
4
-
x i
4 2
3
e384
i
e
384
idxe
1x4
x2x8
π
π
−
∞
∞
π π
−=
π
−=
+
−∫
02. Utilizando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione a equação diferencial a seguir.
( ) ( ) x3' ' exy5xy −=−
Notação: ( ){ } ( )α=ℑ Yxy
( ) ( ){ } { }⇒ℑ=−ℑ − x3' ' exy5xy ( ){ } ( ){ } { }x3' ' exy5xy −ℑ=ℑ−ℑ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9
6Y5
9
6Y5Y
9
6Y5Yi 2
2
2
2
2
2
+α
=α+α−⇒
+α
=α−αα−⇒
+α
=α−αα−
( ) ( )( ) 5
DC
9
BA
59
6Y 2222 +α
+α
+
+α
+α
=
+α+α
−=α
156
( )( ) ( )( )9DC5BA6 22 +α+α++α+α=−
D9DC9CB5BA5A6 2323 +α+α+α++α+α+α=−
( ) ( ) ( ) ( )D9B5C9A5DBCA6 23 ++α++α++α+=−
0CA
0C9A5
0C A
==⇒
=+
=+
2
3D e
2
3B
6D9B5
0D B
−==⇒
−=+
=+
( )
5
1
2
3
9
1
2
3Y 22 +α
−
+α
=α
( )
5
52
52
1
2
3
9
6
6
1
2
3Y 22 +α
−
+α
=α
Como { } 22xa aa2e +α=ℑ − , 0a > , tem-se que:
( ) ( ){ } x5x31 e
20
53
e
4
1Yxy −−− −=αℑ=
157
3.22 – Exercícios complementares
01. Determine as seguintes integrais impróprias:
a) ∫
∞
∞
-
ixx3- dxee
R.:
5
3
b) ∫
∞
∞
-
ix22
x
-
dxee
2
R.: 2e
2π
02. Calcule:
a)
ℑ − 2
x
2
xe R.: 2
-
2
e i 2
α
απ
b)
+ℑ −− x22
x
e2e3
2
R.:
4
8
e 23 22
-
2
+
+
α
π
α
03. Sabendo que { } ( ) 0aRe ,
a
a2
e 22
xa >
+α
=ℑ − , calcule:
a) ∫
∞
∞−
−
+
2
x i
dx
9x
e ε
; R.: επ 3e
3
−
b) ( ){ }2x4 xx2e −ℑ − . R.: ( ) ( )32
2
22 16
25648
16
i32
+
−
+
+ α
α
α
α
04. Calcule as seguintes integrais:
a) ( )∫
∞
0
3x- dxx6cose
2
R.: 3e6
3π
b) ( )∫
∞
+
0
2 dx9x
x2cos
R.: 6e6
π
c) ( )∫
∞
−
0
x 3i210 dxex R.: ( )1111 i2313
!10
+
158
05. Calcule:
a) { }2x3 xe−ℑ R.: ( )32
2
9
36108
+α
α−
b) ( )
+
−ℑ 32
2
9x
x3
R.: α−απ 32e
18
06. Seja ( ) x32x3 exe2xf/RR:f −− +=→ u ( )x , sendo u ( )
<
>
=
0 x0,
0 x,1
x a função degrau unitário.
a) Calcule ( ) ( ){ }xfF ℑ=α .
R.: ( )32 i3
2
9
12
α−
+
+α
b) Determine ( )αRF .
R.: ( )( )32
24
9
1713326
+α
+α+α
c) Determine ( )αIF .
R.: ( )( )32
2
9
272
+α
α−α
d) Calcule ( )
+
−−+ℑ 32
32
9x
ix2x18ix5454
.
R.: απα 32e2 u ( )
<απα
>α
=α−
α 0,e2
0,0
32
07. Determine as seguintes transformadas:
a) ( ){ }4x −δℑ R.: αi4e
b) ( ){ }21xe −−ℑ R.: α α−π 4ie
c) ℑ{5u ( )−x u ( )5x − } R.: ( ) ( )
α
+απδ− α ie5 i5
d) { }x3x i22ex −ℑ R.: ( )( )[ ]32
2
92
2336
++α
+α−
159
e) ( )( )[ ]
++
+−ℑ 3 2
2
92x
2x3
R.: α−α−απ 3i22e
18
08. Sabendo que { } 2xS 1e α
α
+
=ℑ − , determine ( )∫
∞
+
0
2 dx1x
axxsen
.
R.: ae
2
−
π
09. Seja ( ) ( )
<
=
contrário caso ,0
x se ,xcos
xf
π
. Determine ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( )21
sen 2
xf
α
παα
−
=ℑ
10. Seja ( ) ( )
<
=
contrário caso ,0
3
x se ,xsen
xf
π
. Determine ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ }
−
−
=ℑ
3
sen
3
cos3
1
i
xf 2
απαπ
α
α
11. Resolva a equação integral ( ) ( )
>
<<
=∫
∞
1 0,
10 ,1
dxx cosxf
0 α
α
α .
R.: ( )
x
xsen2
π
12. Solucione a equação integral ( ) ( )
≥
<≤
<≤
=∫
∞
2 0,
21 2,
10 ,1
dxxsenxf
0 α
α
α
α .
R.: ( ) ( )[ ]x2cos2xcos1
x
2
−+
π
160
13. Seja ( )
>
≤
=
ε
ε
ε
x ,0
x ,
2
1
xf .
a) Determine a transformada de Fourier de f(x).
R.: ( ) ( )
αε
αε
α
senF = , ( ) 10F =
b) Calcule o limite dessa transformada quando +→ 0ε .
R.: 1
14. Duas funções muito usadas no estudo de sinais são as funções ( )
<
=
>
=
2
1
x ,1
2
1
x ,
2
1
2
1
x ,0
xrect (função
retangular) e ( ) ( )
x
xsen
xsinc = . Mostre que ( ){ }
α
=ℑ
2
sincxrect .
15. Seja ( )
>
<
=
1x ,0
1x ,x
xf .
a) Esboce o gráfico de ( )xf .
b) Calcule ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( ) ( )[ ]αα−α
α
=ℑ cosseni2xf 2
c) Use (b) para calcular ( ) ( )[ ]∫
∞
∞−
−
4
2
dx
x
xsenxcosx
.
R.:
3
π
16. Seja ( )
π>
π≤
=
4x 0,
4x ,
4
x
xf .
a) Calcule ( )∫
∞
∞−
dxxf .
R.: 24π
161
b) A função ( )xf pode ser representada na forma integral? Justifique.
c) Em caso afirmativo, para quanto converge a integral de Fourier de ( )xf ?
d) Calcule ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( ) ( )[ ]παπα−πα
α
=ℑ 4cos44sen
2
i
xf 2
17. Seja ( )
>
≤−
=
ax ,0
ax ,
a
x
1
xf , 0a > .
a) Esboce o gráfico de ( )xf .
b) A função ( )xf é absolutamente integrável?Justifique.
c) Calcule ( ){ }xfℑ .
R.: ( ){ } ( )[ ]α−
α
=ℑ acos1
a
2
xf 2
d) Use (c) para calcular ( )[ ]∫
∞
∞−
−
4
2
dx
x
x2cos1
.
R.:
3
8π
18. Seja ( ) ( )xcosexf x−= , 0x > . Calcule ( ){ }xfCℑ .
R.: ( ){ }
4
2
xf 4
2
C
+α
+α
=ℑ
19. Calcule ( ) ( )∫
∞
+
+
0
4
2
dx
4x
axcos2x
,
+∈Ra , { }0w;RwR >∈=+ .
R.: ( ) 0a,acose
2
a >
π
−
20. Considere um sistema estável invariante no tempo, caracterizado pela equação diferencial
( ) ( ) ( ) ( )xfxy45xy24xy3 '" =++ , (1)
162
onde ( ) x4e4xf −= u ( )x . Solucione a equação diferencial (1) empregando as transformadas de Fourier e
suas propriedades.
R.: ( )x3x4x5 ee2e
3
2
−−− +− u ( )x
21. Usando as transformadas de Fourier, solucione a equação diferencial parcial
( )
( )
=
=
>>=
−x
xxt
e0,xu
0t,0u
0 t0, x,u2u
,
com ( )t,xu limitada.
R.: ( ) ( )∫
∞
−
+
=
0
t2
2 de1
x sen 2
t,xu
2
α
α
αα
π
α
22. Utilizando as transformadas de Fourier, solucione a equação diferencial parcial
0 t,x- ,
x
u9
t
u
2
2
2
2
>∞<<∞
∂
∂
=
∂
∂
, sujeita às condições iniciais ( ) 00,xu t = e ( )
>
<
=
2x ,0
2x ,1
0,xu .
R.: ( ) ( ) ( )∫
∞
∞
−
=
-
xi det 3cos2 sen 1t,xu α
α
αα
π
α ( ) ( ) ( )∫
∞
=
0
d xcos t3cos2sen 2 α
α
ααα
π
23. Empregando as transformadas de Fourier e suas propriedades, solucione o seguinte problema de
valor inicial:
( )
∞<<∞=
>∞<<∞+=
−
x- ,e0,xu
0 t,x- ,u2u4u
x2
xxxt
.
R.: ( ) ( )∫
∞
∞
−
−
+
=
-
xi
2
t i2-4
de
4
e 2
t,xu
2
α
απ
α
αα
24. Empregando as transformadas de Fourier, solucione o problema de vibração na viga infinita.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∞<<∞=
∞<<∞=
>∞<<∞=
x- xg0,xu
x- xf0,xu
0 t,x- t,xuct,xu
t
xxxx
2
tt
163
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tcsenh
c
G
tccoshFt,U 22
2 α
α
α
+αα=α ( ) ( )∫
∞
∞−
α− αα
π
=
xi det,U
2
1
t,xu
25. Empregando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione o problema de valor inicial
abaixo.
( ) ( )
( )
( )
∞<<∞=
∞<<∞=
>∞<<∞
∂
∂
=
∂
∂
−
x- 00,xu
x- e 0,xu
0 t,x- t,xu
x
2t,xu
t
t
x
6
6
2
2
2
R.: ( ) ( ) ( )∫
∞ α
ααα
π
π
=
0
34
-
dxcost2coset,xu
2
164
165
4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827): matemático, físico e astrônomo francês.
Embora Laplace tenha usado a transformada integral que recebeu seu nome, é mais provável que essa
integral tenha sido descoberta por Euler (função gama: ( ) ∫
∞
−−
=Γ
0
x1n dxex n ).
4.1 – Definição da transformada de Laplace
4.1.1 – Motivação
Solução de equações íntegro-diferenciais, como
( ) ( ) ( ) ( )tEdi
C
1
tRiti
dt
dL
t
0
=++ ∫ ττ , (4.1)
e de equações diferenciais ordinárias, tais como
( ) ( ) ( ) ( )tEtq
C
1
tq
dt
dRtq
dt
dL 2
2
=++ . (4.2)
Nas equações (4.1) e (4.2) temos que ( )ti é a corrente, ( )tq é a carga instantânea no capacitor e
( )tE é a força eletromotriz (f.e.m) em um circuito elétrico em série L-R-C, como o representado na
Figura 55.
Figura 55: Circuito em série L-R-C – [13].
A força eletromotriz é muitas vezes seccionalmente contínua, como ilustra a Figura 56.
166
(a) (b)
Figura 56: (a) Dente de serra; (b) onda quadrada. – [17]
4.1.2 – Função de Heaviside
No estudo da transformada de Laplace, definimos u ( )at − para 0t ≥ como
u ( )
≥
<≤
=−
a tse 1,
at0 se ,0
at , (4.1.2.1)
onde a é uma constante positiva.
Quando multiplicada por outra função definida para 0t ≥ , a função degrau unitário (4.1.2.1)
cancela uma porção do gráfico da função.
Exemplo
( ) ( )tsentf = u ( ) ( )
≥
<≤
=−
π
π
π
2 tse ,tsen
2t0 se ,0
2t , uma vez que u ( )
≥
<≤
=−
π
π
π
2 tse 1,
2t0 se ,0
2t .
(a) (b)
Figura 57: (a) Gráfico de ( ) ( )tsentf = ; (b) gráfico de ( ) ( )tsentf = u ( )π2t − .
167
A função degrau unitário (4.1.2.1) pode ser usada para escrever funções definidas por várias
sentenças em uma forma compacta.
Exemplo
A voltagem em um circuito é dada por
( )
≥
<≤
=
5 tse 0,
5t0 se ,t20
tE . (4.1.2.2)
Lembrando que u ( )
≥
<≤
=−
5 tse 1,
5t0 se ,0
5t , podemos expressar (4.1.2.2) como
( ) t20t20tE −= u ( )5-t .
Exercício
Seja ( )
≥−
<≤
=
2 t,t21
2t0 ,t
tf . Escreva ( )tf de forma compacta usando a função degrau unitário.
R.: ( ) ( )t31ttf −+= u ( )2t −
4.1.2.1 - Generalização
1. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tgtgtf então ,a tse ,th
at0 se ,tg
tf Se −=
≥
<≤
= u ( ) ( )tha-t + u ( )a-t .
2. ( ) ( ) ( ) ( )tgtf então ,
b tse 0,
bta se ,tg
at0 se ,0
tf Se =
≥
<≤
<≤
= [u ( )−a-t u ( )b-t ].
Exercício
Seja ( )tf a função representada graficamente abaixo.
168
f(t)
4
2
t
2 5
Expresse ( )tf de forma compacta usando a função degrau unitário.
R.: ( )
+=
3
2t
3
2
tf [u ( )−− 2t u ( )5t − ]
4.1.3 – Transformada de Laplace
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iyxs onde ,dte tf tH dtee tf tH sFtf
st
iytxt +−==== ∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
(4.1.3.1)
( )tf : função original
( )sF : função transformada
ste− : núcleo da transformação
CR:f →
CC:F →
Como ( )tH é a função de Heaviside, podemos escrever (4.1.3.1) como
L ( ){ } ( ) ( )∫
∞
−
==
0
stdte tf sFtf . (4.1.3.2)
A expressão (4.1.3.2) é chamada transformada de Laplace unilateral1 de ( )tf . A transformada
existe se a integral imprópria em (4.1.3.2) converge para algum valor de s.
Notação
L ( ){ } ( )sFtf =
L ( ){ } ( )sGtg =
L ( ){ } ( )sYty =
1
A transformada de Laplace bilateral é definida como ( )∫
∞
∞−
−
stdtetf .
169
Se L ( ){ } ( ) ( )∫
∞
−
==
0
stdte tf sFtf , então L ( ){ } ( ) ( )∫π==− C st1 dse sFi 2
1
tfsF é a transformada de
Laplace unilateral inversa.
( )tf ( )sF ( )tf
L L 1−
Figura 58: Transformadas de Laplace.
Podemos estabelecer uma relação entre as transformadas de Fourier e de Laplace. Se na
transformada de Laplace de ( )tf , ( ) ( )∫
∞
∞−
iytxt dtee tf tH , considerarmos ( ) ( ) ( ) xte tf tHtg = , teremos
( )∫
∞
∞−
iyt dte tg , que nada mais é do que a transformada de Fourier de ( )tg .
A transformada de Laplace unilateral de uma função CR:f → é uma função CC:F → que
associa a ( )tf uma função complexa ( ) ( )( )sD
sN
sF = , onde ( )sN e ( )sD são polinômios com coeficientes
reais. Os valores de s tais que ( ) 0sN = são os zeros da transformada ( )sF ; os valores de s tais que
( ) 0sD = são os polos da transformada ( )sF .
Exemplo
Como veremos posteriormente, a transformada de Laplace da função ( ) t2e31tf += , 0t ≥ , é a
função complexa ( ) ( )( )2ss
1s22
sF
−
−
= , ( ) 2sRe > .
Zeros de ( )sF :
2
1
s =
Polos de ( )sF : 0s = , 2s =
170
Im(s)
2 Re(s)
Figura 59: Polos e região de convergência de ( ) ( )( )2ss
1s22
sF
−
−
= .
Observações
1a) No exemplo, cada polo de ( )sF está associado à uma exponencial da função ( )tf (os polos são os
coeficientes nos expoentes).
2a) Se ( ) ( )kassD −= , com k inteiro e positivo, as = é um polo de ordem k de ( )sF . No exemplo,
0s = e 2s = são polos de ordem um (ou polos simples).
Exemplo 1
Calcular L{ }1 .
L{ } ( ) 0sRe ,
s
1
s
1
s
elim
s
elimdte limdte 1
sb
b
b
0
st
b
b
0
st
b
0
st >=
+−=
−===
−
∞→
−
∞→
−
∞→
∞
− ∫∫
Im(s)
Re(s)
0
Figura 60: Polos e região de convergência de ( )
s
1
sF = .
171
Exemplo 2
As transformadas L
t
1
e L{ }2te não existem, ou seja, as integrais impróprias ∫
∞
−
0
st
dt
t
e
e
∫
∞
−
0
stt dte
2
são divergentes.
Exemplo 3
L{ } ( ) ( )∫∫∫ −∞→
∞
−
∞
−
===
b
0
tsc
b
0
tsc
0
stctct dte limMdte MdteMe Me
( ) ( ) ( ) csRe ,
cs
M
sc
1
sc
elim
sc
elim
bsc
b
b
0
tsc
b
>
−
=
−
−
−
=
−
=
−
∞→
−
∞→
4.2 – Funções de ordem exponencial
Uma função ( )tf é de ordem exponencial c quando ∞→t se existem constantes reais c, 0M >
e 0N > tais que
( ) Nt ,Mtfe ct >∀<−
ou
( ) Nt ,Metf ct >∀< .
Exemplos
1. A função ( ) ttf = é de ordem exponencial para 0t > .
0N 1,M 1,c
0 t,et t
===
><
172
Figura 61: Gráfico de ( ) tetf = e de ( ) ttf = .
2. A função ( ) tetf −= é de ordem exponencial para 0t > .
0N 1,M 1,c
0 t,ee tt
===
><−
Figura 62: Gráfico de ( ) tetf = e de ( ) tetf −= .
3. A função ( ) ( )tcos2tf = é de ordem exponencial para 0t > .
( )
0N 2,M 1,c
0 t,e2tcos2 t
===
><
173
Figura 63: Gráfico de ( ) te2tf = e de ( ) ( )tcos2tf = .
4. A função ( ) 2tetf = não é de ordem exponencial.
Figura 64: Gráfico de ( ) 2tetf = e de ( ) t2etf = .
5. Todo polinômio é uma função de ordem exponencial.
174
4.3 – Convergência da transformada de Laplace unilateral
4.3.1 – Convergência absoluta e condicional
( )∫
∞
a
dttf é dita absolutamente convergente se ( )∫
∞
a
dttf convergir. Se ( )∫
∞
a
dttf convergir
mas ( )∫
∞
a
dttf divergir, então ( )∫
∞
a
dttf é dita condicionalmente convergente.
Teorema: Se ( )∫
∞
a
dttf convergir, então ( )∫
∞
a
dttf converge.
4.3.2 - Condições suficientes para a convergência
Seja ( )tf uma função seccionalmente contínua em todo intervalo finito Nt0 ≤≤ e de ordem
exponencial c para Nt > . Então, a transformada de Laplace unilateral ( )sF de ( )tf existe para todo
( ) csRe > .
Prova
L ( ){ } ( )∫
∞
−
=
0
stdtetf tf
( ) ( )
44344214434421
II
N
st
I
N
0
st dtetf dtetf ∫∫
∞
−− +=
I : integral própria (ou uma soma de integrais próprias)
II: integral imprópria
( ) ( ) ( ) {{
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) csRe xse ,
cx
eM
cx
e
cx
elimM
cx
elimMdte limMdte Mdtee M
dteMe dtetf dtetf dtetf
NcxNcxb cx
b
b
N
t cx
b
b
N
t cx
b
N
t cx
N
xtct
N )2(
xt
)1(
ct
N
st
N
st
N
st
>=
−
=
−
+
−
−=
−
−====
≤≤≤
−−−−−−
∞→
−−
∞→
−−
∞→
∞
−−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∫∫∫
∫∫∫∫
(1): f(t) é de ordem exponencial c
(2): iyxs +=
175
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) xt2xtxt222xt2
2xt22xt22xt2xt
xtxtxtiytxtt iyxst
eeeytsenytcose
ytseneytcoseytseneytcose
ytsenieytcoseytisenytcoseeeee
−−−−
−−−−
−−−−−+−−
===+=
+=+=
−=−===
Como II converge, L ( ){ }tf converge (se
( ) csRe > ).
4.4 – Transformada de Laplace unilateral das funçõeselementares
4.4.1 – f(t) = tn
L{ } ∫∫ −∞→
∞
−
==
b
0
stn
b
0
stnn dte tlimdtet t
Integrando ∫ − dtet stn por partes, temos que:
L{ }
+−= ∫ −−
−
∞→
b
0
st1nb
0
stn
b
n dtet
s
n
s
etlimt
{
+−= ∫ −−
−
∞→
b
0
st1n*
sbn
b
dtet
s
n
s
eb
lim
s
ndtet
s
n
0
st1n
== ∫
∞
−− L{ } ( ) 0sRe ,t 1n >−
*: função de decrescimento rápido para ( ) 0sRe >
L{ }
s
k
t k = L{ }1kt −
⇒= 1k L{ }
s
1
t = L{ } ( ) 0sRe ,
s
1
s
1
s
11 2 >==
⇒= 2k L{ }
s
2
t 2 = L{ } ( ) 0sRe ,
s
!2
s
1
s
2
t 32 >==
⇒= 3k L{ }
s
3
t 3 = L{ } ( ) 0sRe ,
s
!3
s
!2
s
3
t 43
2 >==
176
⇒= 4k L{ }
s
4
t 4 = L{ } ( ) 0sRe ,
s
!4
s
!3
s
4
t 54
3 >==
M
⇒= nk L{ }
s
n
t n = L{ } ( ) ( ) 0sRe ,
s
!n
s
!1n
s
n
t 1nn
1n >=
−
=
+
−
L{ } ( ) ( ) 0sRe ,
s
1n
s
!n
t 1n1n
n >
+Γ
==
++
A função gama
( ) ∫
∞
−−
=Γ
0
t1n dtet n
( ) =Γ n L{ }1nt − s=1
( ) =Γ 2 L{ }t s=1 1
1
1
2 ==
( ) =Γ 4 L{ }3t s=1 6
1
!3
4 ==
( ) ( ) !nnn1n =Γ=+Γ
( ) ( ) ( ) 1p0 ,psenp1p <<π
π
=−ΓΓ
π=
Γ
2
1
Referências: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. 2a ed. Porto Alegre:
Bookman, 2004.
Exercícios
Calcule as integrais:
01. ∫
∞
−
0
t100 dtet R.: !100
177
02. ∫
∞
−
0
t23 dtet R.:
8
3
4.4.2 – f(t) = eat
L{ } ( ) ( ) Ra a,sRe ,
as
1dte dtee e
0
tsa
0
statat ∈>
−
=== ∫∫
∞
−
∞
−
4.4.3 – Transformada de algumas funções elementares
( )tf ( )sF
1 ( ) 0sRe ,
s
1
>
ate ( ) asRe ,
as
1
>
−
nt ( ) ( ) 0sRe ,
s
1n
s
!n
1n1n >
+Γ
=
++
( )atcos ( ) 0sRe ,
as
s
22 >+
( )atsen ( ) 0sRe ,
as
a
22 >+
Tabela 3: Transformada de Laplace unilateral de algumas funções elementares.
Exercícios
01. Calcule as integrais:
a) ( )∫
∞
−
0
t3 dte10tsen R.:
109
10
b) ( )∫
∞
−
0
t2 dtetcos R.:
5
2
02. Seja ( )
>
≤≤
=
5 tse 1,
5t0 se ,t2
tf . Determine L ( ){ }tf .
R.: L ( ){ } ( ) s5s52 es
9
e1
s
2
tf −− −−=
178
03. Empregando a definição de transformada de Laplace unilateral, mostre que:
a) L ( ){ } ( ) 0sRe ,Ra ,
as
s
atcos 22 >∈+
= ;
b) L ( ){ } ( ) 0sRe ,Ra ,
as
a
atsen 22 >∈+
= .
4.5 – Propriedades da transformada de Laplace unilateral
4.5.1 – Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s→∞
Se ( )tf é uma função seccionalmente contínua para [ ]N,0t∈ e de ordem exponencial para
Nt > , então
( ) 0sFlim
s
=
∞→
4.5.2 – Linearidade
A transformada de Laplace é um operador linear. Assim, se a e b são constantes quaisquer,
então
L ( ) ( ){ }=+ tg btf a a L ( ){ }tf + bL ( ){ }tg ( ) ( )sbGsaF += .
Prova
Segue da definição de transformada de Laplace e da propriedade de linearidade da integral.
L ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]∫
∞
−+=+
0
stdte tbgtaf tbgtaf
( ) ( ) ( ) ( )sbGsaFdte tg bdte tf a
0
st
0
st +=+= ∫∫
∞
−
∞
−
Exemplos
1. L ( ){ }=+− − t2 e5tcos3t4 4L{ }−2t 3L ( ){ }+tcos 5L{ }te−
( )
{
( ) ( )
{
( ) 0sRe ,
1s
5
1s
s3
s
8
1s
15
1s
s3
s
2!4
23
1sRe0sRe
2
0sRe
3
>
+
+
+
−=
+
+
+
−=
−>>>
321
179
2. L ( ){ }=tsen 2 L ( ) =
−
2
t2cos1
2
1 L{ }
2
11 − L ( ){ }t2cos
( )
{
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0sRe ,4ss
2
4ss2
s4s
4s2
s
2s
1
4s
s
2
1
s
1
2
1
22
22
2
0sRe
2
0sRe
>
+
=
+
−+
=
+
−=
+
−=
>>
321
3. L ( ){ }=atsenh L
2
1
2
ee atat
=
− − L{ }
2
1
eat − L{ }ate−
( )
{
( )
{
( )
( ) ( ) ( ) asRe ,as
a
as2
a2
as2
asas
as
1
2
1
a-s
1
2
1
222222
asReasRe
>
−
=
−
=
−
−−+
=
+
−=
−>>
4. L ( ){ }=atcosh L
2
1
2
ee atat
=
+ − L{ }
2
1
eat + L{ }ate−
( )
{
( )
{
( )
( ) ( ) ( ) asRe ,as
s
as2
s2
as2
asas
as
1
2
1
a-s
1
2
1
222222
asReasRe
>
−
=
−
=
−
−++
=
+
+=
−>>
5. L{ }=iate L ( ) ( ){ }=+ atsen iatcos L ( ){ } iatcos + L ( ){ }atsen
( ) ( )
( )( ) ( ) 0sRe ,ias
1
iasias
ias
as
ias
as
ai
as
s
22
0sRe
22
0sRe
22
>
−
=
−+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
>>
321321
Com os últimos exemplos, podemos ampliar a tabela de transformadas de Laplace.
180
( )tf ( )sF
1 ( ) 0sRe ,
s
1
>
ate ( ) asRe ,
as
1
>
−
nt ( ) ( ) 0sRe ,
s
1n
s
!n
1n1n >
+Γ
=
++
( )atcos ( ) 0sRe ,
as
s
22 >+
( )atsen ( ) 0sRe ,
as
a
22 >+
( )atcosh ( ) asRe ,
as
s
22 >
−
( )atsenh ( ) asRe ,
as
a
22 >
−
iate ( ) 0sRe ,
ias
1
>
−
Tabela 4: Transformada de Laplace unilateral das funções elementares.
Exercícios
Calcule as integrais:
01. ( )∫
∞
−
0
t22 dtetsen R.:
8
1
02. ( )∫
∞
−
0
t3 dte2tcosh R.:
5
3
03. ( )∫
∞
−
0
t5 dte4tsenh R.:
9
4
04. ( )∫
∞
−
0
t102 dtetcos R.:
520
51
, L ( ){ } ( ) ( ) 0sRe,4ss
2s
tcos 2
2
2 >
+
+
=
181
4.5.3 – Primeira propriedade de translação ou deslocamento
Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = , então L ( ){ } ( )asFtfeat −= .
Prova
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )asFdte tf dte tfe tfe
0
t as
0
statat
−=== ∫∫
∞
−−
∞
−
Exemplo
L ( ){ }t2cose t−
( ) ( )t2costf =
L ( ){ } ( ) ( ) 0sRe ,
4s
s
sFtf 2 >+
==
L ( ){ } ( ) ( ) 5s2s
1s
41s
1s1sFt2cose 22
t
++
+
=
++
+
=+=−
4.5.4 – Segunda propriedade de translação ou deslocamento
Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = e ( ) ( ) ( )atf
a t0,
a t,atf
tg −=
<
≥−
= u ( )a-t , sendo u ( )a-t a função
degrau unitário dada por u ( )
≥
<≤
=−
a t1,
at0 ,0
at , então L ( ){ } ( )sFetg as−= .
Prova
∞→⇒∞→→⇒→=+=⇒=− u t0,ua tdu,dt ,autuat
L ( ){ } ( ) ( )∫∫
∞
−
∞
−
−==
a
t s
0
st dte atf dte tg tg
( ) ( ) ( ) ( ) ( )sFedue uf eduee uf due ufas
0
suas
0
sasu
0
au s −
∞
−−
∞
−−
∞
+−
==== ∫∫∫
Exemplo
( ) ( ) ( )3
3
2t
2t0 0,
2 t,2t
tg −=
<≤
≥−
= u ( )2-t , u ( )
≥
<≤
=−
2 t1,
2t0 ,0
2t
( ) 2a ,ttf 3 ==
182
L{ } ( ) 0sRe ,
s
6
s
!3
t 44
3 >==
L ( ){ } 4
s2
4
s2
s
e6
s
6
etg
−
−
==
Exercício
Mostre que L{u ( )at − }
s
e as−
= , ( ) 0sRe > , onde u ( )
≥
<≤
=−
a t1,
at0 ,0
at .
4.5.5 – Similaridade (ou mudança de escala)
Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = , então L ( ){ } 0a ,
a
sF
a
1
atf >
= .
Prova
∞→⇒∞→→⇒→==⇒= u t0,u0 t,
a
dudt ,
a
u
tuat
L ( ){ } ( )∫
∞
−
=
0
stdte atf atf
( ) ( )
=== ∫∫
∞
−
∞
−
a
sF
a
1due uf
a
1
a
du
e uf
0
u
a
s
0
a
u
s
Exemplo
L ( ){ }t3sen
( ) ( )tsentf =
L ( ){ } ( ) ( ) 0sRe ,
1s
1
sFtf 2 >+
==
L ( ){ }
9s
3
9s
9
3
1
1
3
s
1
3
1
3
sF
3
1
t3sen 222 +
=
+
=
+
=
=
Exercícios
Determine a transformada de Laplace das funções a seguir, especificando para quais valores de
s a transformada existe.
183
01. L{ }t4e2 R.: ( ) ( ) 4sRe ,
4s
2
sF >
−
=
02. L ( ){ }22 1t + R.: ( ) ( ) 0sRe ,
s
24s4s
sF 5
24
>
++
=
03. L ( ) ( )[ ]{ }2tcostsen − R.: ( ) ( ) ( ) 0sRe ,4ss 4s2ssF 2
2
>
+
+−
=
04. L ( ) ( )[ ]{ }t2cosh5t2senh3e t2 − R.: ( ) ( ) ( ) 4sRe ,4ss
s516
sF >
−
−
=
4.5.6 – Transformada de Laplace unilateral de derivadas
Teorema 1: Seja L ( ){ } ( )sFtf = . Então
L ( ){ } ( ) ( )0fssFtf ' −= ,
0s >
se ( )tf é contínua para Nt0 ≤≤ e de ordem exponencial para Nt > , enquanto ( )tf ' é seccionalmente
contínua para Nt0 ≤≤ .
Prova
L ( ){ } ( ) ( )∫∫ −∞→
∞
−
==
b
0
st'
b
0
st'' dte tf limdte tf tf
(4.5.6.1)
Empregando integração por partes em (4.5.6.1), temos que:
L ( ){ } ( ) ( )
+= ∫ −−∞→
b
0
st
b
0
st
b
' dtetf stfelimtf |
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )0fssF
dtetf s0fbfelim
b
0
st
0sRe se 0
sb
b
−=
+−= ∫ −>→ −∞→ 43421
Teorema 2: Se no Teorema 1 ( )tf deixa de ser contínua em 0t = mas ( ) ( )+
→
=
+
0ftflim
0t
existe
(mas não é igual a ( )0f , que pode ou não existir), então
184
L ( ){ } ( ) ( )+−= 0fssFtf ' .
Teorema 3: Se no Teorema 1 ( )tf é descontínua em at = , então
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
−+
−
−−−= afafe0fssFtf as' ,
onde ( ) ( )
−+ − afaf é chamado salto na descontinuidade at = . Para mais de uma descontinuidade,
podemos fazer modificações apropriadas.
Teorema 4: Seja L ( ){ } ( )sFtf = . Então
L ( ){ } ( ) ( ) ( )0f0sfsFstf '2" −−=
se ( )tf e ( )tf ' são contínuas para Nt0 ≤≤ e de ordem exponencial para Nt > , enquanto ( )tf " é
seccionalmente contínua para Nt0 ≤≤ .
Prova
L ( ){ } stf " = L ( ){ } ( )0ftf '' −
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )0f0sfsFs
0f0fssFs
'2
'
−−=
−−=
Exercício
Mostre, por recursividade, que
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )0f0sf0fssFstf '''23''' −−−= .
Teorema 5 (generalização): Seja L ( ){ } ( )sFtf = . Então
L ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0f0f s0fs0fs0fssFstf 1n2n"3n'2n1nnn −−−−− −−−−−−= L
se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tf, ,tf" ,tf ,tf 1-n' K são contínuas para Nt0 ≤≤ e de ordem exponencial para Nt > ,
enquanto ( ) ( )tf n é seccionalmente contínua para Nt0 ≤≤ .
Exemplo
Mostrar que L ( ){ } ( ) 0sRe ,
as
a
atsen 22 >+
= .
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )atsena tf
atcosa tf
atsen tf
2"
'
−=
=
=
185
L ( ){ }=tf " L ( ){ }atsena 2−
( ) ( ) ( ) =−− 0f0sfsFs '2 L ( ){ }atsena 2−
,
( ) 0sRe >
2s L ( ){ } ( ) =−− a0satsen L ( ){ }atsena 2−
2s L ( ){ } =− aatsen 2a− L ( ){ }atsen
( )22 as + L ( ){ } aatsen =
L ( ){ } 22 as
a
atsen
+
=
Exercício
Empregando a transformada da derivada, mostre que L ( ){ } ( ) 0sRe ,
as
s
atcos 22 >+
= .
4.5.7 – Transformada de Laplace unilateral de integrais
Teorema: Seja L ( ){ } ( )sFtf = . Então
L ( ) ( )
s
sFduuf
t
0
=
∫ .
Prova
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 00g
tftgduuf tg '
t
0
=
=⇒= ∫
L ( ){ }=tg ' L ( ){ }tf
s L ( ){ } ( ) ( )sF0gtg =−
s L ( ){ } ( )sFtg =
L ( ){ } ( ) ⇒=
s
sF
tg L ( ) ( )
s
sFduuf
t
0
=
∫
Exemplo
L ( ) =
∫
t
0
duu2sen L ( ){ }u2sen s÷ ( ) =+=+= 4ss
2
s
4s
2
2
2
L ( ){ }tsen 2
186
4.5.8 – Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicação por tn)
Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = , então
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sF1sF
ds
d1tft nn
n
n
nn
−=−= .
Prova
( ) ( )∫
∞
−
=
0
stdte tf sF
Derivando sob o sinal de integração (regra de Leibniz), obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫
∞
−
∞
−
∂
∂
===
0
st
0
st' dte tf
s
dte tf
ds
d
sFsF
ds
d
( ) ( )[ ] - dtetft dte tft -
0
st
0
st
=−== ∫∫
∞
−
∞
− L ( ){ }tft
L ( ){ } ( ) ( )sFsF
ds
d
tft '−=−=
Demonstramos até aqui o teorema para 1n = . Para prová-lo integralmente, usaremos indução
matemática.
Suponha que o teorema é verdadeiro para kn = , isto é,
( )[ ] ( ) ( ) ( )sF1dte tft kk
0
stk
−=∫
∞
−
.
Logo:
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]sF1
ds
ddte tft
ds
d kk
0
stk
−=∫
∞
−
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )sF1dte tft
s
sF1dte tft
ds
d
1kk
0
stk
1kk
0
stk
+
∞
−
+
∞
−
−=
∂
∂
−=
∫
∫
187
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )sF1dte tft
sF1dte tft
1k1k
0
st1k
1kk
0
st1k
++
∞
−+
+
∞
−+
−=
−=−
∫
∫
Assim, mostramos que o teorema também é válido para 1kn += .
Como o teorema é válido para 1n = , também o é para 2n = , 3n = e para qualquer valor
inteiro positivo de n.
Exemplo
L{ }t22et
( ) t2etf =
L ( ){ } ( ) ( ) 2sRe ,
2s
1
sFtf >
−
==
L{ } ( )2t2 2s
1
2s
1
ds
d
te
−
=
−
−=
L{ } ( ) ( )322
2
t22
2s
2
2s
1
ds
d
2s
1
ds
d
et
−
=
−
−=
−
=
4.5.9 – Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (divisão por t)
Teorema: Se L ( ){ } ( )sFtf = , então
L ( ) ( )∫
∞
=
s
duuF
t
tf
desde que ( )
t
tflim
0t +→
exista.
Prova
Seja ( ) ( ) ( ) ( )tg ttf
t
tf
tg =⇒=
L ( ){ }=tf L ( ){ }tg t
L ( ){ } ( )sG
ds
d
tf −=
( ) ( )
( ) ( )sFsG
ds
d
sG
ds
d
sF
−=
−=
Integrando a igualdade anterior, obtemos:
188
( ) ( )∫∫
∞∞
−=
s
s
duuF duuG
du
d
( ) ( )∫
∞
∞→
−=
s
b
s
b
duuF uGlim |
( ) ( )[ ] ( )∫
∞
∞→
−=−
s
b
duuF sGbGlim
Como ( ) 0bGlim
b
=
∞→
:
( ) ( )∫
∞
−=−
s
duuF sG
( ) ( )∫
∞
=
s
duuF sG
L ( ){ }=tg L ( ) ( )∫
∞
=
s
duuF
t
tf
Exemplo
L ( )
t
tsen
Como L ( ){ } ( ) ( ) ∫ =+=>+= +→ :azarctga1az dz e 1t tsenlim 0,sRe ,1s 1tsen 220t2
L ( ) ∫∫ +=+= ∞→
∞ b
s
2b
s
2 du1u
1limdu
1u
1
t
tsen
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )
=−=
−==
∞→∞→
s
1
arctgsarctg
2
sarctgbarctglim uarctglim
b
b
sb
π
Exemplo
Provar que ( )
=−
s
1
arctgsarctg
2
π
.
189
( )
2s
1
arctgsarctg π=
+
Como ( ) ( ) stgsarctg =⇒= αα e ( )
s
1
tg
s
1
arctg =⇒=
ββ , temos que:
2
πβα =+
( )
=+
2
coscos
πβα
( ) ( ) ( ) ( ) 0sensencoscos =− βαβα
( ) ( ) ( ) ( )βαβα sensencoscos =
( )
( )
( )
( )β
β
α
α
cos
sen
sen
cos
=
( ) ( )βα tgtg
1
= ⇒
s
1
s
1
=
4.5.10 – Convolução
Teorema: Sejam ( )tf e ( )tg funções seccionalmente contínuas em ),0[ ∞ e de ordem
exponencial. Então
L ( )( ){ }=∗ tgf L ( ){ }tf L ( ){ } ( ) ( )sGsFtg = .
Prova
Aqui definimos a convolução como
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=−=∗
t
0
t
0
duugutf duutguf tgf .
Sejam ( ) =sF L ( ){ } ( )∫
∞
τ− ττ=
0
s def tf e ( ) =sG L ( ){ } ( )∫
∞
β− ββ=
0
s deg tg .
Assim:
190
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫
∫∫
∞ ∞
+
∞
−
∞
−
=
=
0
0
s-
0
s
0
s
d dgfe
deg def sGsF
βτβτ
ββττ
βτ
βτ
Fixando τ e considerando βτββτ ddt e tt =−=⇒+= , temos que
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
∞ ∞
−=
0
0
st- ddt tge fsGsF τττ .
Como ( )tf e ( )tg são funções seccionalmente contínuas em ),0[ ∞ e de ordem exponencial,
podemos inverter a ordem de integração. Dessa forma
( ) ( ) ( ) ( )
( )∫
∫ ∫
∞
−
∞
−
∗=
ττ−τ=
0
st
0
t
0
st
dtgfe
dtd tgf esGsF
=L{ }gf ∗ .
Exemplo
L ( ) =
−∫
t
0
u duutsene L ( ){ }=∗ tsenet L{ }te L ( ){ } ( )( )1s1s
1
1s
1
1s
1
tsen 22 +−
=
+−
=
4.5.11 – Valor inicial
Teorema: Se os limites indicados existem, então
( ) ( )ssFlimtflim
s0t ∞→→
= .
Prova
L ( ){ } ( ) ( ) ( )0fssFdtetf tf
0
st''
−== ∫
∞
−
(4.5.11.1)
Sabemos que, se ( )tf ' é seccionalmente contínua e de ordem exponencial, então
191
∞→s
lim L ( ){ } 0tf ' = .
Tomando o limite quando ∞→s em (4.5.11.1) e supondo que ( )tf é contínua em 0t = ,
encontramos
∞→s
lim L ( ){ } ( ) ( )[ ]0fssFlimtf
s
'
−=
∞→
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ).tflimssFlim
0fssFlim
0fssFlim0
0ts
s
s
→∞→
∞→
∞→
=
=
−=
Exemplo
( ) ⇒= − t2e5tf L ( ){ }
2s
5
tf
+
=
5
2s
s5lime5lim
s
t2
0t
=
+
=
∞→
−
→
4.5.12 – Valor final
Teorema: Se os limites indicados existem, então
( ) ( )ssFlimtflim
0st →∞→
= .
Prova
L ( ){ } ( ) ( ) ( )0fssFdtetf tf
0
st''
−== ∫
∞
−
(4.5.12.1)
O limite do lado esquerdo de (4.5.12.1) quando 0s → é:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )0ftflim
0ftflim
0fbflim tflimdttf limdttf dtetf lim
t
t
b
b
0b
b
0
'
b
0
'
0
st'
0s
−=
−=
−====
∞→
∞→
∞→∞→∞→
∞∞
−
→ ∫∫∫
O limite do lado direito de (4.5.12.1) quando 0s → é:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )0fssFlim0fssFlim
0s0s
−=−
→→
Logo:
192
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ]ssFlimtflim
0fssFlim0ftflim
0st
0st
→∞→
→∞→
=
−=−
Exemplo
( ) ⇒= − t2e5tf L ( ){ }
2s
5
tf
+
=
0
2s
s5lime5lim
0s
t2
t
=
+
=
→
−
∞→
4.6 – Transformada de Laplace unilateral de funções periódicas
Teorema: Suponha que ( )tf tem um período 0T > de modo que ( ) ( )tfTtf =+ ( ( )tf é
periódica de período fundamental T). Então,
L ( ){ } ( )
( )
sT
T
0
st
T
0
st
sT e1
dtetf
dtetf
e1
1
tf
−
−
−
−
−
=
−
=
∫∫ .
Prova
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) K+++== ∫∫∫∫ −−−
∞
−
3T
2T
st
2T
T
st
T
0
st
0
st dte tf dte tf dte tf dte tf tf
Substituições:
ut = 1a integral
Tut += 2a integral Ttu −=⇒
T2ut += 3a integral T2tu −=⇒
M
Em todas as substituições temos que dtdu = .
Logo:
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++= ∫∫∫ +−+−−
T
0
T2us
T
0
Tus
T
0
su due T2uf due Tuf due uf tf
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) K+++= ∫∫∫ −−−−−
T
0
susT2
T
0
susT
T
0
su due uf edue uf edue uf tf
193
L ( ){ } ( ) ( )∫ −−−− ++++=
T
0
susT3sT2sT due uf eee1tf L
L ( ){ } ( ) ( )[ ] ( )∫ −−−− ++++=
T
0
su3sT2sTsT due uf eee1tf L
então ,1r se ,
r1
1
rrr1 Como 32 <
−
=++++ L
L ( ){ } ( )∫ −−−=
T
0
su
sT due uf e1
1
tf .
Exemplo
Seja ( ) ( )
π<≤π
π<≤
=
2t 0,
t0 ,tsen
tf uma função 2π-periódica. Determine L ( ){ }tf
.
Figura 65: Curva senoidal com meia onda retificada – [13].
L ( ){ } ( )∫
π
−
π−
−
=
0
st
2s dte tsen e1
1
tf (4.6.1)
Integrando (4.6.1) por partes duas vezes, obtemos:
L ( ){ } ( ) ( )[ ] |
0
stst
2s 2 tsensetcose1s
1
e1
1
tf
π
−−
π−
−−
+−
=
( )
+
+−
=
π−
π−
1e
1s
1
e1
1
s
2s 2
194
( )( )( )( )( )
( )( )1se1
1
1se1e1
e1
1se1
e1
2s-
2s-s-
s-
2s2
s-
+−
=
+−+
+
=
+−
+
=
π
ππ
π
π−
π
4.7 – Cálculo de integrais impróprias
Exemplos
1o) ( )
25
3
43
3dxe x4cos 22
0
x3
=
+
=∫
∞
−
2o) ( )∫
∞
0
3t- dttsen te
L ( ){ }
1s
1
tsen 2 +
=
( ) =∫
∞
0
st- dtet tsen L ( ){ } ( ) ( ) ( )222 1s
s2
1s
1
ds
d
sF
ds
d1ttsen
+
=
+
−=−=
( ) ( )( ) 50
3
100
6
13
32dtet tsen 22
0
3t-
==
+
=∫
∞
3o) ∫
∞
−
−
0
t3-t
dt
t
ee
L{ }
3s
1
1s
1
ee t3t
+
−
+
=−
−−
} [ ] 2e3elim
t
eelim t3t
0t
H'Lt3t
0t
=+−=
−
−−
→
−−
→ ++
∫ ++=+ Cazlnazdz
195
[ ]
b
s
b
b
sb
b
s
b
s
0
st
t3t
3u
1ulnlim3uln1ulnlim
du
3u
1
1u
1
limdu
3u
1
1u
1
dte
t
ee
+
+
=+−+=
+
−
+
=
+
−
+
=
−
∞→∞→
∞→
∞∞
−
−−
∫∫∫
3s
1sln
3s
1sln
b
31
b
11
lnlim
3s
1sln
3b
1blnlim
bb
+
+
−=
+
+
−
+
+
=
+
+
−
+
+
=
∞→∞→
( ) ( ) ( )3ln3ln1ln
3
1lndt
t
ee
,Assim
0s quando dt
t
ee
dte
t
ee
0
t3t
0
t3t
0
st
t3t
=+−=
−=
−
→
−
→
−
∫
∫∫
∞
−−
+
∞
−−
∞
−
−−
Exercícios
Nos exercícios a seguir, calcule a transformada de Laplace.
01. L ( ) ( )[ ]{ }t2cos2t2sen3t − R.: ( )22
2
4s
s2s128
+
−+
02. L ( ){ }tcost 3 R.: ( )42
24
1s
6s36s6
+
+−
03. L ( ){ }tf onde ( )tf é a função periódica representada graficamente abaixo.
Figura 66: Onda quadrada – [17].
196
R.: L ( ){ } ( )ase1s
1
tf
−+
=
04. ( )∫
∞
−
0
t
dt
t
tsene
R.:
4
π
4.8 – Métodos para determinar a transformada de Laplace unilateral
4.8.1 – Uso da definição
L ( ){ } ( ) ( )∫
∞
−
==
0
stdte tf sFtf
4.8.2 – Expansão em série de potências
Se ( )tf tem expansão em série de potências dada por
( ) ∑
∞
=
=++++=
0n
n
n
3
3
2
210 tatatataatf K ,
então
L ( ){ } ( ) ∑
∞
=
+
=++++==
0n
1n
n
4
3
3
2
2
10
s
a!n
s
!3a
s
!2a
s
a
s
a
sFtf K . (4.8.2.1)
A série (4.8.2.1) deve ser convergente para
( ) 0sRe > .
Exemplo 1
Mostre que ( ) 1x ,x
8.6.4.2
7.5.3.1
x
6.4.2
5.3.1
x
4.2
3.1
x
2
11x1 4322
1
<−+−+−=+ − K .
( ) ( ) 21x1xf −+=
( ) ( ) ( ) 231 x1
2
1
xf −+−=
197
( ) ( ) ( ) 252 x1
2.2
3.1
xf −+=
( ) ( ) ( ) 273 x1
2.2.2
5.3.1
xf −+−=
( ) ( ) ( ) 294 x1
2.2.2.2
7.5.3.1
xf −+=
M
Série de Taylor de ( )xf : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑
∞
=
∞
=
−=−=
0n
n
n
0n
n
n cx!n
cf
cxaxf (4.8.2.2)
Observação: A série (4.8.2.2) é extensível para uma função de variável complexa.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++=+= − 443322121 x
!4
0f
x
!3
0f
x
!2
0f
x
!1
0f
!0
0f
x1xf
( ) ( ) K−+−+−=+= − 43221 x
2.2.2.2!.4
7.5.3.1
x
2.2.2!.3
5.3.1
x
2.2!.2
3.1
x
2
11x1xf
( ) ( ) K−+−+−=+= − 43221 x
8.6.4.2
7.5.3.1
x
6.4.2
5.3.1
x
4.2
3.1
x
2
11x1xf (4.8.2.3)
Região de convergência da série (4.8.2.3):
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1ncf
cflim
cf
!1n
!n
cflim
a
a
limR 1n
n
n1n
n
n
1n
n
n
+=
+
==
+
∞→+∞→
+
∞→
1n
1n
2
1
n
2
1
2
5
.
2
3
.
2
1
n
2
11n
2
1
2
5
.
2
3
.
2
1
limR
n
+
−−−
−−−−−
−−
+−−−−−
=
∞→
K
K
1
1_
n2
3
n
11
lim
n
2
3
1nlim1n
n
2
3
1limR
nnn
=
−
+
=
−−
+
=+
−−
=
∞→∞→∞→
1x11xRcx <<−⇒<⇒<−
198
Exemplo 2
Sabendo que a função erro (probabilidade) é definida por
( ) ∫ −π=
t
0
u due 2terf
2
a) calcule L ( ){ }terf ;
L ( ){ }=terf L
π ∫ −
t
0
u due 2
2
L ( ){ }=terf L
−+−+−
π ∫
t
0
8642
du
!4
u
!3
u
!2
u
!1
u12 K
L ( ){ }=terf L
−+−+−
π
K
!4.9
t
!3.7
t
!2.5
t
3
t
t
2 2
9
2
7
2
5
2
3
2
1
Como L{ } ( ) 0sRe ,
s
!n
t 1n
n >=
+
:
L ( ){ } ( ) 0sRe se ,
s!.4.9
2
11
s!.3.7
2
9
s!.2.5
2
7
s.3
2
5
s
2
3
2
terf
2
11
2
9
2
7
2
5
2
3 >
−
Γ
+
Γ
−
Γ
+
Γ
−
Γ
π
= K (4.8.2.4)
Lembrando que ( ) ( )nn1n Γ=+Γ e π=
Γ
2
1
, podemos calcular (4.8.2.4).
22
1
2
1
2
11
2
3 π
=
Γ=
+Γ=
Γ
22
3
2
3
2
3
2
31
2
5 π
=
Γ=
+Γ=
Γ
32
5.3
2
5
2
5
2
51
2
7 π
=
Γ=
+Γ=
Γ
42
7.5.3
2
7
2
7
2
71
2
9 π
=
Γ=
+Γ=
Γ
199
52
9.7.5.3
2
9
2
9
2
91
2
11 π
=
Γ=
+Γ=
Γ
L ( ){ }
−
π
+
π
−
π
+
π
−
π
π
= K
2
11
52
9
42
7
32
5
22
3
s!.4.2.9
9.7.5.3
s!.3.2.7
7.5.3
s!.2.2.5
5.3
s.2.3
.3
s.2
2
terf
K−+−+−=
2
11
42
9
32
7
22
5
2
3
s!.4.2.9
9.7.5.3
s!.3.2.7
7.5.3
s!.2.2.5
5.3
s.2.3
3
s
1
K−+−+−=
2
11
2
9
2
7
2
5
2
3
s.8.6.4.2
7.5.3.1
s.6.4.2
5.3.1
s.4.2
3.1
s.2
1
s
1
−+−+−= K432
2
3 s
1
8.6.4.2
7.5.3.1
s
1
6.4.2
5.3.1
s
1
4.2
3.1
s
1
2
11
s
1
(4.8.2.5)
( ) ( ) 1s1
s
1
,
s
1
8.6.4.2
7.5.3.1
s
1
6.4.2
5.3.1
s
1
4.2
3.1
s
1
2
11s1sF 4322
1
1 >⇒<−+−+−=+=
−
− K (4.8.2.6)
Utilizando (4.8.2.6) em (4.8.2.5), temos que
L ( ){ }
1ss
1
1s
s
s
1
s
11
s
1
terf
2
12
3
2
1
2
3 +
=
+
=
+=
−
L ( ){ } ( )( )1s0sRes se ,
1ss
1
terf >∩>∈
+
= .
b) mostre que L ( ) ( )terfe1ss 1 t1 =
−
−
.
Se L ( ) ( )terfe1ss 1 t1 =
−
−
, então L ( ){ } ( )1ss 1terfe t −= .
Como L ( ){ } ( )asFtfeat −= e L ( ){ }
1ss
1
terf
+
= , temos
L ( ){ } ( ) ( )1ss 111s1s 1terfe t −=+−−= .
200
4.8.3 – Uso de equações diferenciais
Uso de uma equação diferencial ordinária satisfeita por ( )tf e da transformada de Laplace de
derivadas.
4.8.4 – Outros métodos
Uso das propriedades da transformada de Laplace.
4.8.5 – Uso de tabelas de transformadas
4.9 – Transformada de Laplace unilateral de algumas funções
4.9.1 – Função nula
Se ( ) 0duuN
t
0
=∫ para 0t > , então ( )tN é chamada função nula.
Exemplo
( )
=−
=
=
contrário caso 0,
1 t,1
2
1
t,1
tf é uma função nula.
Transformada de Laplace da função nula: L ( ){ } 0tN =
4.9.2 – Função degrau unitário
u
( )
≥
<≤
=−
a t1,
at0 ,0
at
Transformada de Laplace da função degrau unitário: L{u ( )at − }
s
e as−
= ,
( ) 0sRe > .
Prova
Sabemos que L{ ( )atf − u ( )at − } ( )sFe as−= (teorema de translação). (4.9.2.1)
201
Se em (4.9.2.1) considerarmos ( ) ( ) 1atf1tf =−⇒= , então temos que L{ }
s
11 = e
L{u ( )at − }
s
e as−
= .
4.9.3 – Função impulso unitário
Usada para representar forças externas de grande amplitude que agem por um curto período de
tempo.
( )
+≥
+<≤
−<≤
=−
a t t0,
atta- t,
a2
1
att0 ,0
tt
0
00
0
0aδ , 0a,0t 0 >>
a2
1
( ) 1a2
a2
1A ==
t
at 0 − 0t at 0 +
Figura 67: Função impulso unitário.
( )
a2
1
tt 0a =−δ {u ( )[ ]−−− att 0 u ( )[ ]att 0 +− }
Considerando ( ) ( )0a0a0 ttlimtt −=− → δδ , temos o delta de Dirac:
( )
≠
=∞
=−
0
0
0 t t,0
t t,
ttδ
Propriedade do delta de Dirac: ( ) 1dttt
0
0 =−∫
∞
δ
Transformada de Laplace do delta de Dirac:
L ( ){ } 0st0 ett −=−δ ou
L ( ){ } aseat −=−δ .
202
Prova
( )
a2
1
tt 0a =−δ {u ( )[ ]−−− att 0 u ( )[ ]att 0 +− }
L ( ){ }
a2
1
tt 0a =−δ L{u ( )[ ]att 0 −− }
a2
1
− L{u ( )[ ]att 0 +− }
L ( ){ } ( ) ( ) ( )assenh
as
e
as2
ee
e
s
e
s
e
a2
1
tt
0
0
00 stasas
st
satsat
0a
−−
−
+−−−
=
−
=
−=−δ (4.9.3.1)
Tomando o limite de (1) quando 0a → , obtemos:
0a
lim
→
L ( ){ }=−δ 0a tt L ( ){ }
}
000 st
asas
0a
st
LHasas
0a
st
0 e
s2
seselime
as2
eelimett −
−
→
−
−
→
−
=
+
=
−
=−δ (4.9.3.2)
Quando em (4.9.3.2) 0t 0 = , temos que L { }{ } 1t =δ . (4.9.3.3)
É importante ressaltar que (4.9.3.3) não satisfaz ( ) 0sFlim
s
=
∞→
.
4.9.4 – Algumas funções periódicas
( )tf ( )sF
( )as
as
e1s
e1
−
−
+
−
( )ase1s
1
−+
203
−
−
1e
1
bs
1
s
a
sb
( )s2
s
e1s
e1
−
−
+
−
( )( ) 1s
2
sghcot
e11s
e1
2s 2
s
+
=
−+
+
−
−
π
π
π
( )( )s -2 e11s
1
π
−+
Tabela 5: Transformada de Laplace de algumas funções periódicas – [17].
Exercício
Prove as transformadas de Laplace das funções periódicas presentes na Tabela 5.
204
4.10 – Métodos para determinar a transformada de Laplace unilateral inversa
4.10.1 – Completando quadrados
Exemplo
L
++
+
−
13s6s
5s
2
1
(4.10.1.1)
Polos de ordem um: i23s −−= , i23s +−=
Completando quadrados em (4.10.1.1), temos que:
L =
++
+
−
13s6s
5s
2
1
L ( )
++
++
−
43s
23s
2
1
= L ( ) +
++
+
−
43s
3s
2
1
L ( )
++
−
43s
2
2
1
( ) ( )
( ) ( )[ ]t2sent2cose
t2senet2cose
3t-
t3-3t
+=
+= −
No exemplo acima, empregamos a propriedade de linearidade e a propriedade de translação da
transformada de Laplace unilateral inversa L ( ){ } ( )tfeasF at1 =−− .
4.10.2 – Decomposição em frações parciais
Qualquer função racional ( )( )sQ
sP
, onde P(s) e Q(s) são polinômios, com o grau de P(s) menor do
que o grau de Q(s), pode ser escrita como uma soma de funções racionais (chamadas frações parciais),
tendo a forma
( ) ( ) K1,2,3,r ,cbsas
BAs
,
bas
A
r2r
=
++
+
+
As constantes A, B, C, ..., podem ser determinadas de várias maneiras, como veremos nas
questões a seguir. Decompondo o quociente ( )( )sQ
sP
em uma soma de frações parciais, determinamos a
transformada inversa de Laplace de cada uma dessas frações obtendo L ( )( )
−
sQ
sP1
.
1. ( ) ( ) ( ) 5s
E
4s2s
DCs
4s2s
BAs
5s4s2s
2s4s3
22222
2
−
+
++
+
+
++
+
=
−++
+−
205
2. ( )( ) ( ) ( ) 1s2
D
1s2
C
1s2
B
4s3
A
1s24s3
5s2
233 +
+
+
+
+
+
−
=
+−
−
Exemplo 1
L
−−
+
−
3s2s
7s3
2
1
Polos de ordem um: 1s −= , 3s =
Primeiro método (completando quadrados)
L =
−−
+
−
3s2s
7s3
2
1 L ( )( )
−−
+−
−
41s
101s3
2
1
= 3L ( )
−−
−
−
41s
1s
2
1 +5L ( )
−−
−
41s
2
2
1
( ) ( )t2senhe5t2coshe3 tt +=
−
+
+
=
−−
2
ee
e5
2
ee
e3
t2t2
t
t2t2
t
tt3tt3 e
2
5
e
2
5
e
2
3
e
2
3
−−
−++=
tt3 ee4 −−=
Segundo método (decompondo em frações parciais e solucionando o sistema)
( )( ) 1s
B
3s
A
1s3s
7s3
3s2s
7s3
2 +
+
−
=
+−
+
=
−−
+
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
4A-1B-44B
1- 7B3A
3B A
B3As BA7s3
3sB1sA7s3
1s3s
3sB1sA
1s3s
7s3
=⇒=⇒=
×=−
=+−++=+
−++=+
+−
−++
=
+−
+
206
( )( ) 1s
1
3s
4
1s3s
7s3
3s2s
7s3
2 +
−
−
=
+−
+
=
−−
+
L =
−−
+
−
3s2s
7s3
2
1 L ( )( ) =
+−
+
−
1s3s
7s31 L
+
−
−
−
1s
1
3s
41
4= L −
−
−
3s
11 L
+
−
1s
11
tt3 ee4 −−=
Terceiro método (decompondo em frações parciais e calculando os limites; pode ser usado
sempre que o denominador tem fatores lineares distintos)
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1BB0
4
4
1s
1s
Blim1s
3s
Alim1s
1s3s
7s3lim
4A0A
4
16
3s
1s
Blim3s
3s
Alim3s
1s3s
7s3lim
1s
B
3s
A
1s3s
7s3
1s1s1s
3s3s3s
−=⇒+=
−
+
+
++
−
=+
+−
+
=⇒+=
−
+
+−
−
=−
+−
+
+
+
−
=
+−
+
−→−→−→
→→→
Exemplo 2
L
−+−
+
−
1sss
1s3
23
1
Fatorando o denominador: 1 -1 1 -1
1 1 0 1 0
( )( )1s1s1sss 223 +−=−+−
Polos de ordem um: 1s = , is = , is −=
207
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )CAs CBs BA1s3
1sCssB1sA1s3
1sC1sBs1sA1s3
1s1s
1sC1sBs1sA
1s1s
1s3
1s
C
1s
Bs
1s
A
1s
CBs
1s
A
1s1s
1s3
1sss
1s3
2
22
2
2
2
2
222223
−++−++=+
−+−++=+
−+−++=+
+−
−+−++
=
+−
+
+
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+−
+
=
−+−
+
=−
=+−
=+
1C A
3CB
0 BA
2A e 1C2B4B2
1CB
3CB
BA0BA ==⇒−=⇒=−⇒
=−−
=+−
⇒−=⇒=+
( )( ) 1s
1
1s
s2
1s
2
1s1s
1s3
1sss
1s3
22223 +
+
+
−
−
=
+−
+
=
−+−
+
L =
−+−
+
−
1sss
1s3
23
1 L ( )( ) =
+−
+
−
1s1s
1s3
2
1 L
+
+
+
−
−
−
1s
1
1s
s2
1s
2
22
1
2 = L 2
1s
11-
−
−
L +
+
−
1s
s
2
1 L
+
−
1s
1
2
1
( ) ( )tsentcos22et +−=
Exemplo 3
L
−++−
−−
−
8s4s6s5s
11s15s5
234
2
1
Fatorando o denominador: 1 -5 6 4 -8
-1 1 -6 12 -8 0
2 1 -4 4 0
2 1 -2 0
2 1 0
( )( )3234 2s1s8s4s6s5s −+=−++−
Polos de ordem um: 1s −=
208
Polos de ordem três: 2s =
( )( ) ( ) ( ) 2s
D
2s
C
2s
B
1s
A
2s1s
11s15s5
8s4s6s5s
11s15s5
233
2
234
2
−
+
−
+
−
+
+
=
−+
−−
=
−++−
−−
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
1A000A
27
9
1s
2s
Dlim
1s
2s
Clim1s
2s
Blim1s
1s
Alim1s
2s1s
11s15s5lim
1s
21s31s1s3
2
1s
−=⇒+++=
−
+
−
+
++
−
++
−
++
+
=+
−+
−−
−→
−→−→−→−→
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
7
3
21B00B0
3
113020
2s
2s
Dlim
2s
2s
Clim2s
2s
Blim2s
1s
Alim2s
2s1s
11s15s5lim
3
2s
3
22s
3
32s
3
2s
3
3
2
2s
−=−=⇒+++=
−−
−
−
+
+−
−
+−
−
+−
+
=−
−+
−−
→
→→→→
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )4s3sD2ssC1s78s12s6s
3
111s15s5
4s4s1sD2ssC1s78s12s6s
3
111s15s5
2s1s
2s1sD2s1sC1s72s3
1
2s1s
11s15s5
2s
D
2s
C
2s
7
1s
3
1
2s1s
11s15s5
232232
22232
3
23
3
2
233
2
+−+−−++−−+−−=−−
+−++−−++−−+−−=−−
−+
−++−+++−−−
=
−+
−−
−
+
−
+
−
−
+
−
=
−+
−−
( ) ( )
−++−+−−−++−+
−=−− 7
3
8D4C2s 74Cs 2D3Cs
3
1D11s15s5 232
( ) 1111117
3
8
3
1442117
3
8D4C2
4C1574C
4C52
3
13C52D3C
3
1D0
3
1D
−=−⇒−=−+
+−⇒−=−++−
=⇒−=−−−
=⇒=+
−⇒=+−
=⇒=−
L =
−++−
−−
−
8s4s6s5s
11s15s5
234
2
1 L ( )( )
−+
−−
−
3
2
1
2s1s
11s15s5
209
=L ( ) ( )
−
+
−
+
−
−
+
−
−
2s
1
3
1
2s
4
2s
7
1s
1
3
1
23
1
Como ( )22s
1
2s
1
ds
d
−
−=
−
e ( )32
2
2s
2
2s
1
ds
d
−
=
−
temos que
L t2t2t22t234
2
1 e
3
1
te4et
2
7
e
3
1
8s4s6s5s
11s15s5
++−−=
−++−
−−
−−
.
4.10.3 – Expansão em série de potências
Se ( )sF tem um desenvolvimento em série de potências negativas de s dado por
( ) ∑
∞
=
+
=++++=
0n
1n
n
4
3
3
2
2
10
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
sF K ,
então podemos inverter termo a termo para obter
L ( ){ } ( ) ∑
∞
=
−
=++++==
0n
n
n
3
3
2
2
10
1
!n
ta
!3
ta
!2
ta
taatfsF K .
Exemplo
A função de Bessel de ordem zero é definida pela série
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
−=
0n
n22
n2
n
0 2!n
at1atJ .
Mostre que L ( )t2J
s
e
0
s
1
1
=
−
−
.
Se L ( )t2J
s
e
0
s
1
1
=
−
−
, então L ( ){ }
s
e
t2J
s
1
0
−
= .
210
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) K+
−
+
−
+
=
−=−= ∑∑
∞
=
∞
=
10
10
2
8
8
2
6
6
2
4
4
2
2
2
0n
n2
n2
2
n
0n
n22
n2
n
0
t
2
a
!5
1
t
2
a
!4
1
t
2
a
!3
1
t
2
a
!2
1
t
2
a
-1
t
2
a
!n
11
2!n
at1atJ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) K+−+−+=
−=
−=−= ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
5
2
4
2
3
2
2
2
0n
n
2
n
0n
n2
n2
2
n
0n
n22
n2
n
0
t
!5
1
t
!4
1
t
!3
1
t
!2
1
t-1
t
!n
11t
2
2
!n
11
2!n
t21t2J
Como L{ } ( ) 0sRe ,
s
!n
t 1n
n >=
+
, temos que:
L ( ){ }=t2J0 L ( ) ( ) ( ) ( )
+−+−+ K52
4
2
3
2
2
2 t!5
1
t
!4
1
t
!3
1
t
!2
1
t-1
( ) ( ) ( ) ( ) K+−+−+−= 625242322 s
!5
!5
1s
!4
!4
1
s
!3
!3
1
s
!2
!2
1
s
1
s
1
K+−+−+−= 65432 s
1
!5
1
s
1
!4
1
s
1
!3
1
s
1
!2
1
s
1
s
1
( )∑
∞
=
+
−
=
0n
1n
n
s!n
1
, ( ) 0sRe >
Expandindo
1ss
1
ee
−
−
−
= em série de potências:
( )
K+−+−+−=
−
=∑
∞
=
−
−
−
5432
0n
n1
s
s
1
!5
1
s
1
!4
1
s
1
!3
1
s
1
!2
1
s
11
!n
s
e
1
(4.10.3.1)
Raio de convergência da série (4.10.3.1):
( )
( )
∞=+=
+
=
+
==
∞→∞→∞→
+
∞→
1nlim
!n
!1nlim
!1n
1
!n
1
lim
a
alimR
nnn
1n
n
n
Assim:
211
+−+−+−=
−
K5432
s
1
s
1
!5
1
s
1
!4
1
s
1
!3
1
s
1
!2
1
s
11
s
1
s
e
K+−+−+−= 65432 s
1
!5
1
s
1
!4
1
s
1
!3
1
s
1
!2
1
s
1
s
1
0s = : singularidade essencial
( )∑
∞
=
+
−
=
0n
1n
n
s!n
1
(4.10.3.2)
Comparando (4.10.3.1) e (4.10.3.2), concluímos que L ( ){ }
s
e
t2J
s
1
0
−
= .
4.10.4 – Uso de tabelas de transformadas de Laplace
4.10.5 – A fórmula de Heaviside
Sejam P(s) e Q(s) polinômios onde P(s) tem grau menor do que o de Q(s). Suponha que Q(s)
tem n zeros distintos n,1,2,k ,k K=α . Então
L ( )( )
( )
( )
( )
( )∑∑
=
α
=
α−
α
α
=
α
α
=
n
1k
t
k
k
n
1k
t
k
'
k1 kk e
Q
ds
d
P
eQ
P
sQ
sP
.
Exemplo
L
−−
+
−
3s2s
7s3
2
1
( )
( ) ( )( )
( ) 2s2sQ
ds
d
1 e 31s3s3s2ssQ
7s3sP
21
2
−=
−=α=α⇒+−=−−=
+=
L ( )( )∑
=
α−
−α
+α
=
−−
+
2
1k
t
k
k
2
1 ke
22
73
3s2s
7s3
( )
( )
( )
( )
t3t
tt3
e4e
e
212
713
e
232
733
−
−
−=
−−
+−
+
−
+
=
212
4.10.6 – A fórmula geral (ou complexa) de inversão
Também conhecia como fórmula de Bromwich ou fórmula integral de Bromwich.
Se L ( ){ } ( )sFtf = , então
L ( ){ } ( ) ( )∫
∞+γ
∞−γ
−
π
==
i
i
st1 dse sF
i 2
1
tfsF , 0t > e ( ) 0tf = para 0t < (4.10.6.1)
ou
( ) ( )∫π= C stdse sFi 2
1
tf .
A integração em (4.10.6.1) deve ser efetuada ao longo de uma reta γ=s no plano complexo,
onde iyxs += . O número real γ é escolhido de tal forma que γ=s esteja à direita de todas as
singularidades de ( )sF .
Referência
SPIEGEL, M.R. Transformadas de Laplace. São Paulo: McGraw-Hill. Capítulo 7.
Exercícios
01. L
−−−+
−
−
30s17s3ss
3s
234
2
1
R.: ( ) ( ) ( )t2cose
50
1
t2sene
25
9
e
25
1
e
50
3
tf ttt2t3 −−− −+−=
02. L
+−
+−−
−
16s8s
36s40s3s3
24
23
1
R.: ( ) ( ) t2t2 te2et53tf −+= −
213
4.11 – Solução de equações diferenciais
4.11.1 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes
Exemplo 1
( ) ( ) ( )
( )
( )
=
−=
=+−
50y
30y
e4ty2ty3ty
'
t2'"
(4.11.1.1)
L ( ){ } ( )sYty =
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de segunda
ordem:
L ( ){ } 3ty" − L ( ){ } 2ty' + L ( ){ } 4ty = L{ }t2e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2s
495s3sY2s3s
2s
4
sY20y3ssY30y0sysYs
2
'2
−
=−−++−
−
=++−−−
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2s
24s20s3
2s
28s14s6s34
sY2s1s
14s3
2s
4
sY2s1s
14s3
2s
4
sY2s3s
22
2
−
−+−
=
−
−++−
=−−
+−
−
=−−
+−
−
=+−
( ) ( )( )2
2
2s1s
24s20s3
sY
−−
−+−
= (4.11.1.2)
Polos de ordem um: 1s =
Polos de ordem dois: 2s =
Decompondo (4.11.1.2) em frações parciais:
( )( ) ( ) 2s
C
2s
B
1s
A
2s1s
24s20s3
22
2
−
+
−
+
−
=
−−
−+−
(4.11.1.3)
( ) ( ) ( )( )2s1sC1sB2sA24s20s3 22 −−+−+−=−+−
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )C2BA4s C3BA4s CA24s20s3
2s3sC1sB4s4sA24s20s3
22
222
+−+−+−++=−+−
+−+−++−=−+−
214
−=+−
=−+−
−=+
24C2BA4
20 C3BA4
3 C A
(4.11.1.4)
Calculando limites em (4.11.1.3):
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4B0B04
2s
2s
Clim2s
2s
Blim2s
1s
Alim2s
2s1s
24s20s3lim
7A00A7
1s
2s
Clim1s
2s
Blim1s
1s
Alim1s
2s1s
24s20s3lim
2s
C
2s
B
1s
A
2s1s
24s20s3
2
2s
2
22s
2
2s
2
2
2
2s
1s21s1s2
2
1s
22
2
=⇒++=
−
−
+−
−
+−
−
=−
−−
−+−
−=⇒++=−
−
−
+−
−
+−
−
=−
−−
−+−
−
+
−
+
−
=
−−
−+−
→→→→
→→→→
Substituindo os valores de A e B na primeira equação de (4.11.1.4):
4C3C73CA =⇒−=+−⇒−=+
Assim:
( ) ( )( ) ( ) 2s
4
2s
4
1s
7
2s1s
24s20s3
sY 22
2
−
+
−
+
−
−=
−−
−+−
= (4.11.1.5)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.1.5):
L ( ){ } 7sY1 −=− L 4
1s
11 +
−
− L ( ) 42s
1
2
1 +
−
− L
−
−
2s
11
L ( ){ } 7sY1 −=− L 4
1s
11 +
−
− L 4
2s
11
−
−
− L ( )
−
−
−
2
1
2s
1
Como ( )22s
1
2s
1
ds
d
−
−=
−
ou L{ } ( )2t2 2s
1
te
−
= e L ( ) ( ){ } ( ) ( )tft1sF nnn1 −=− , temos como
solução da equação diferencial ordinária de segunda ordem
( ) t2t2t te4e4e7ty ++−= . (4.11.1.6)
Exercício
Verifique que (4.11.1.6) é solução de (4.11.1.1).
215
Exemplo 2
( ) ( ) ( )
( )
=
=+
00y
tfty2ty '
(4.11.1.7)
( )
≥
<≤
=
1 t0,
1t0 ,t
tf (4.11.1.8)
L ( ){ } ( )sYty =
Escrevendo (4.11.1.8) de forma compacta:
( ) tttf −= u ( ),1t − u ( )
≥
<≤
=−
1 t1,
1t0 ,0
1t
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencialordinária de primeira
ordem:
L ( ){ } 2ty' + L ( ){ }=ty L{ tt − u ( )1t − }
L ( ){ } 2ty' + L ( ){ }=ty L{ }−t L{ t u ( )1t − }
Lembrando que L ( ){ } ( ) ( )sF
ds
d1tft
n
n
nn
−= , onde ( ) =sF L ( ){ }tf , e que L{u ( )at − }
s
e as−
= ,
temos que:
( ) ( ) ( ) ( )
−−=+−
−
s
e
ds
d1
s
1
sY20yssY
s
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
s
2
s
2
s
e1s
s
1
sY2s
s
e
ds
d1
s
12Y20yssY
−
−
+
−=+
−−=+−
( ) ( ) ( )
s
22 e2ss
1s
2ss
1
sY −
+
+
−
+
= (4.11.1.9)
Polos de ordem um: 2s −=
Polos de ordem dois: 0s =
Decompondo (4.11.1.9) em frações parciais:
216
( ) 4
1C ,
2
1B ,
4
1A
2s
C
s
BAs
2ss
1
22 ==−=⇒+
+
+
=
+
( ) 4
1C ,
2
1B ,
4
1A
2s
C
s
BAs
2ss
1s
22 −===⇒+
+
+
=
+
+
( ) s2222 e 2s
1
4
1
s
1
2
1
s
s
4
1
2s
1
4
1
s
1
2
1
s
s
4
1
sY −
+
−+−
+
++−=
( ) ss2s-2 e 2s
1
4
1
e
s
1
2
1
e
s
1
4
1
2s
1
4
1
s
1
2
1
s
1
4
1
sY −−
+
+−−
+
++−= (4.11.1.10)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.1.10):
L ( ){ }
4
1
sY1 −=− L
2
1
s
11 +
− L
4
1
s
1
2
1 +
− L +
+
−
2s
11
4
1
− L
2
1
e
s
1 s-1
−
− L
4
1
e
s
1 s
2
1 +
−− L
+
−− s1 e
2s
1
(4.11.1.11)
Lembrando que L ( ){ } ( )atfsFe as1 −=−− u ( )at − , obtemos de (4.11.1.11) a solução da equação
diferencial ordinária de primeira ordem.
( )
4
1
e
4
1
t
2
1
4
1
ty t2 −++−= − u ( ) ( )1t
2
11t −−− u ( ) ( )1t2e
4
11t −−+− u ( )1t − (4.11.1.12)
( )
2
1
e
4
1
t
2
1
4
1
ty t2 −++−= − u ( )1t − ( )
−−+ −− 1t2e
2
11t
2
1
( )
2
1
e
4
1
t
2
1
4
1
ty t2 −++−= − u ( )1t − ( )
−+− −− 1t2e
2
1
t
2
1
( )
≥+
<≤++−
=
+−−
−
1 t ,e
4
1
e
4
1
1t0 ,e
4
1
t
2
1
4
1
ty
2t2t2
t2
Exercício
Verifique que (4.11.1.12) é solução de (4.11.1.7).
217
Exemplo 3
A equação diferencial para a carga ( )tq em um capacitor em um circuito em série R-C é
( ) ( ) ( )tEtq
C
1
tq
dt
dR =+ ,
onde R é a resistência, C é a capacitância e ( )tE é a força eletromotriz (f.e.m).
Use as transformadas de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série
R-C se ( ) farad 0,08C ohms, 2,5R ,00q === e ( )tE é dada pelo gráfico da Figura 68.
Figura 68: Força eletromotriz – [17].
L ( ){ } ( )sQtq =
Escrevendo ( )tE de uma maneira compacta:
( )
≥
<≤
=
3 t5,
3t0 ,0
tE
u ( )
≥
<≤
=−
3 t,1
3t0 ,0
3t
( ) 5tE = u ( )3t −
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de primeira
ordem:
0 ( ) ( ) 5tq
2
25
tq
dt
d5,2 =+ u ( )3t − (4.11.1.13)
L ( ) ( ) =
+ tq5,12tq
dt
d5,2 L{5u ( )3t − }
218
5,2 L ( ) 5,12tq
dt
d
+
L ( ){ } 5tq = L{u ( )3t − }
( ) ( ) ( )
s
e5sQ5,120q5,2ssQ5,2
s3−
=+−
( ) ( )
s
e5sQ5,12s5,2
s3−
=+
( ) ( ) ( ) ( )5ss
e2
5ss5,2
e5
5,12s5,2s
e5
sQ
s3s3s3
+
=
+
=
+
=
−−−
(4.11.1.14)
Polos de ordem um: 5s −= , 0s =
Decompondo (4.11.1.14) em frações parciais:
( ) 5
1
-B ,
5
1A
5s
B
s
A
5ss
1
==⇒
+
+=
+
( ) 3s-e
5s
1
5
1
s
1
5
12sQ
+
−= (4.11.1.15)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.1.15):
L ( ){ }=− sQ1 L
+
−
− 3s-1 e
5s
1
5
1
s
1
5
12
L ( ){ }
5
2
sQ1 =− L
5
2
e
s
1 3s-1
−
− L
+
− 3s-1 e
5s
1
(4.11.1.16)
Usando em (4.11.1.16) a propriedade L ( ){ } ( )atfsFe as1 −=−− u ( )at − , obtemos a solução da
equação diferencial ordinária de primeira ordem.
( )
5
2
tq = u ( )
5
23t −− u ( ) ( )3t5e3t −−− (4.11.1.17)
( )
5
2
tq = u ( ) ( )[ ]3t5e13t −−−−
( ) ( )[ ]
≥−
<≤
=
−− 3 t ,e1
5
2
3t0 ,0
tq 3t5
Exercício
Verifique que (4.11.1.17) é solução de (4.11.1.13).
219
4.11.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis
Exemplo
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
=
=
=−−+
20y
10y
0ty2tyt21tty
'
'"
(4.11.2.1)
L ( ){ } ( )sYty =
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de segunda
ordem, obtemos:
L ( ){ }+tty" L ( ){ } 2ty' − L ( ){ } 2tty' − L ( ){ }=ty L{ }0 (4.11.2.2)
Devemos lembrar que:
L ( ){ } ( )sF
ds
d
ttf −=
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) 2ssYs0y0sysYsty 2'2" −−=−−=
L ( ){ } ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1sY
ds
d
sssY21sY
ds
d
sssY22ssYs
ds
d
tty 222" +−−=
−+−=−−−=
L ( ){ } ( ) ( ) ( ) 1ssY0yssYty' −=−=
L ( ){ } ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sY
ds
d
ssYsY
ds
d
ssY1ssY
ds
d
tty ' −−=
+−=−−=
Voltando a (4.11.2.2):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0ssYsY
ds
d2ss
0ssYsY
ds
d
s2s
0sY2sY
ds
d
s2sY21ssY1sY
ds
d
sssY2
2
2
=−−−
=−+−
=−++−++−−
( ) ( ) ( ) 0ssYsY
ds
d2ss =+− EDO linear de primeira ordem homogênea (4.11.2.3)
Separando variáveis em (4.11.2.3), chegamos a:
220
( ) ( )
( ) ( )
( )
2s
1
ds
sdY
sY
1
2ss
ssY
ds
sdY
−
−=⇒
−
−=
( )[ ]
2s
1
sYln
ds
d
−
−= (4.11.2.4)
Integrando (4.11.2.4), temos que:
( ) ( ) 1C2slnsYln +−−=
( ) ( ) 1C2slnesY +−−=
( ) ( ) ( )
2s
C2sCeesY 12slnC
1
1
−
=−==
−
−
−
(4.11.2.5)
Polos de ordem um: 2s =
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.2.5):
L ( ){ }=− sY1 L
−
−
2s
C1
( ) Cty = L t21 Ce
2s
1
=
−
−(4.11.2.6)
Para determinar a constante C em (4.11.2.6) usamos a condição inicial ( ) 10y = :
( ) ( ) 1C1Ce0y 02 =⇒== (4.11.2.7)
Substituindo (4.11.2.7) em (4.11.2.6), obtemos a solução da equação diferencial ordinária.
( ) t2ety = (4.11.2.8)
Exercício
Verifique que (4.11.2.8) é solução de (4.11.2.1).
221
4.11.3 – Equações diferenciais ordinárias simultâneas
Exemplo
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
=
−=
=
=−
=+
−
00y
20x
30x
etytx
ttytx
'
t"
''
(4.11.3.1)
L ( ){ } ( )sXtx = , L ( ){ } ( )sYty =
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à primeira equação diferencial ordinária:
L ( ){ }+tx ' L ( ){ }=ty ' L{ }t
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2
2
s
1
ssY3ssX
s
10yssY0xssX
=+−
=−+−
( ) ( ) 3
s
1
ssYssX 2 +=+ (4.11.3.2)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à segunda equação diferencial ordinária:
L ( ){ }−tx" L ( ){ }=ty L{ }te−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1s
1
sY2s3sXs
1s
1
sY0x0sxsXs
2
'2
+
=−+−
+
=−−−
( ) ( ) 2s3
1s
1
sYsXs2 −+
+
=− (4.11.3.3)
Solucionando o sistema composto pelas equações (4.11.3.2) e (4.11.3.3):
( ) ( )
( ) ( )
−+
+
=−
+=+
2s3
1s
1
sYsXs
3
s
1
ssYssX
2
2
Multiplicando (4.11.3.2) por (-s) e somando o produto a (4.11.3.3):
222
( ) ( ) s3
s
12s3
1s
1
sY1s2 −−−+
+
=+−
( ) ( ) ( )( ) 1s
2
1s1s
1
1ss
1
sY 222 +
+
++
−
+
= (4.11.3.4)
Polos de ordem um: 1s −= , 0s = , is = , is −=
Decompondo (4.11.3.4) em frações parciais:
( ) 0C -1,B ,1A1s
CBs
s
A
1ss
1
22 ===⇒+
+
+=
+
( )( ) 2
1F ,
2
1E ,
2
1D
1s
FEs
1s
D
1s1s
1
22 −==−=⇒+
+
+
+
=
++
−
( )
1s
2
1s
1
2
1
1s
s
2
1
1s
1
2
1
1s
s
s
1
sY 2222 +
+
+
−
+
+
+
−
+
−=
( )
1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
1
sY 22 +
−
+
+
+
−= (4.11.3.5)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.3.5):
L ( ){ }=− sY1 L
+
−
+
+
+
−
−
1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
1
22
1
L ( ){ }=− sY1 L
2
1
s
11
−
− L
2
3
1s
11 +
+
− L
2
1
1s
1
2
1
−
+
− L
+
−
1s
s
2
1
( ) ( ) ( )tcos
2
1
tsen
2
3
e
2
11ty t −+−= −
Usando as equações (4.11.3.2) e (4.11.3.5) para determinar ( )sX :
( ) ( )
( ) ( )
s
3
s
1
sYsX
3
s
1
ssYssX
3
2
++−=
++−=
( )
s
3
s
1
1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
1
sX 322 +++
+
+
−
+
+−=
( )
1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
1
s
2
sX 223 +
+
+
−
+
++= (4.11.3.6)
Polos de ordem um: 1s −= , is = , is −=
223
Polos de ordem três: 0s =
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.3.6):
L ( ){ }=− sX1 L
+
+
+
−
+
++−
1s
s
2
1
1s
1
2
3
1s
1
2
1
s
1
s
2
223
1
L ( ){ } 2sX1 =− L +
−
s
11 L
2
1
s
1
3
1 +
− L
2
3
1s
11
−
+
− L
2
1
1s
1
2
1 +
+
− L
+
−
1s
s
2
1
( ) ( ) ( )tcos
2
1
tsen
2
3
e
2
1
t
2
12tx t2 +−++= −
Assim, a solução do sistema de equações diferenciais ordinárias é dada por:
( ) ( ) ( )tcos
2
1
tsen
2
3
e
2
1
t
2
12tx t2 +−++= − (4.11.3.7)
( ) ( ) ( )tcos
2
1
tsen
2
3
e
2
11ty t −+−= − (4.11.3.8)
Exercício
Verifique que (4.11.3.7) e (4.11.3.8) satisfazem (4.11.3.1).
4.11.4 – Equações diferenciais parciais
Dada ( )t,xu , fixamos a variável x e deixamos a variável t livre. Dessa forma:
L ( ){ } ( ) ( )s,xUdte t,xu t,xu
0
st-
== ∫
∞
L ( ) =
∂
∂
t,xu
t
L ( ) ( ) ( )0,xus,xsUt,xu
dt
d
−=
L ( ) =
∂
∂
t,xu
t 2
2
L ( ) ( ) ( ) ( )0,xu0,xsus,xUst,xu
dt
d
t
2
2
2
−−=
L ( ) ( )s,xU
dx
d
t,xu
x
=
∂
∂
(4.11.4.1)
224
L ( ) ( )s,xU
dx
d
t,xu
x
2
2
2
2
=
∂
∂
(4.11.4.2)
Obtemos (4.11.4.1) e (4.11.4.2) derivando sob o sinal de integração (regra de Leibniz).
Exemplo 1
( ) ( )
( )
( )
>=
>=
<<=
><<=
0t 0 t1,u
0t 0 t0,u
1x0 x 2sen3x,0u
0 t1,x0 uu xxt
π
(4.11.4.3)
L ( ){ } ( )s,xUt,xu =
L ( ){ } ( ) 0s,0Ut,0u ==
L ( ){ } ( ) 0s,1Ut,1u ==
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial parcial (equação do
calor):
L ( ){ }=t,xu t L ( ){ }t,xuxx
( ) ( ) ( )2
2
dx
s,xUd0,xus,xsU =−
( ) ( ) ( )2
2
dx
s,xUd
x2sen3s,xsU =π−
( ) ( ) ( )
x2sen3s,xsU
dx
s,xUd
2
2
π−=− EDO linear de segunda
ordem não homogênea (4.11.4.4)
Família de soluções a dois parâmetros para a edo (4.11.4.4):
( ) ( )
4342144 344 21
particular
3
ogêneahom
xs
2
xs
1 x2senCeCeCs,xU π++=
−
(4.11.4.5)
( ) ( )
x2cosC2esCesCs,xU
dx
d
3
xs
2
xs
1 ππ+−=
−
( ) ( )
x2senC4seCseCs,xU
dx
d
3
2xs
2
xs
12
2
ππ−+= − (4.11.4.6)
225
Substituindo (4.11.4.5) e (4.11.4.6) em (4.11.4.4), obtemos:
( ) ( ) ( )
( )
23
3
2
33
2
4s
3C
3Cs4
x2sen3 x2sensC x2senC4
π+
=
−=−π−
π−=π−ππ−
Logo:
( ) ( )
x2sen
4s
3
eCeCs,xU 2
xs
2
xs
1 π
π+
++= −(4.11.4.7)
Determinando as constantes 1C e 2C por intermédio das condições de contorno:
( ) 2121 CC0CCs0,U (5) em 0x −=⇒=+=⇒= (4.11.4.8)
( ) 0eCeCs1,U (5) em 1x s2s1 =+=⇒= − (4.11.4.9)
Substituindo (4.11.4.8) em (4.11.4.9), obtemos:
( )
0C0C
0C
e
e10Cee
0eCeC
1
0s
2
2s
s2
2
ss
s
2
s
2
=⇒=
=
−
⇒=+−
=+−
≠
−
−
321
Assim:
( ) ( )
x2sen
4s
3
s,xU 2 ππ+
= (4.11.4.10)
Polos de ordem um: 24s π−=
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.4.10):
L ( ){ } ( ) x2sens,xU1 π=− L
π+
−
2
1
4s
3
L ( ){ } ( ) x2sen3s,xU1 π=− L ( )
π−−
−
2
1
4s
1
( ) ( ) t4 2e x2sen3t,xu π−π= (4.11.4.11)
226
Exercício
Verifique que (4.11.4.11) é solução de (4.11.4.3).
Exemplo 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
<<=
<<π−π=
>==
><<=
2x0 00,xu
2x0 x6sen12x4sen8x,0u
0 t 0t,2ut0,u
0 t2,x0 t,xu4t,xu
t
xxtt
Condições de contorno:
L ( ){ } ( ) == s,0Ut,0u L{ } 00 = (4.11.4.12)
L ( ){ } ( ) == s,2Ut,2u L{ } 00 = (4.11.4.13)
Equação diferencial parcial:
L ( ){ }=t,xu tt L ( ){ }t,xu4 xx
( ) ( ) ( ) ( )s,xU
dx
d40,xu0,xsus,xUs 2t
2
=−−
( ) ( ) ( ) ( )[ ]x6sen12x4sen8ss,xUss,xU
dx
d4 22 π−π−=−
( ) ( ) ( ) ( )x6sen s3x4sen s2s,xU
4
s
s,xU
dx
d 2
2 π+π−=− (4.11.4.14)
Família de soluções da equação diferencial ordinária (4.11.4.14):
( ) ( ) ( )
4444 34444 2144 344 21
particular solução
43
homogênea solução
x
2
s
2
x
2
s
1 x6senCx4senCeCeCs,xU π+π++=
−
(4.11.4.15)
( ) ( ) ( )x6cosC6x4cosC4eC
2
s
eC
2
s
s,xU
dx
d
43
x
2
s
2
x
2
s
1 ππ+ππ+−=
−
( ) ( ) ( )x6senC36x4senC16eC
4
s
eC
4
s
s,xU
dx
d
4
2
3
2x 2
s
2
2
x
2
s
1
2
2
2
ππ−ππ−+=
−
(4.11.4.16)
Substituindo (4.11.4.15) e (4.11.4.16) em (4.11.4.14), temos que:
227
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )x6sen s3x4sen s2x6sen
4
sC
x4sen
4
sCx6senC36x4senC16
2
4
2
34
2
3
2
π+π−=π−
+π−ππ−ππ−
( ) ( ) ( ) ( )x6sen s3x4sen s2x6senC
4
s36x4senC
4
s16 4
2
2
3
2
2 π+π−=π
−π−+π
−π− (4.11.4.17)
Comparando os “lados” de (4.11.4.17), concluímos que:
2233
2
2
64s
s8C s2C
4
s16
π+
=⇒−=
−π− (4.11.4.18)
2244
2
2
144s
s12C s3C
4
s36
π+
−=⇒=
−π− (4.11.4.19)
Substituindo (4.11.4.18) e (4.11.4.19) em (4.11.4.15):
( ) ( ) ( )x6sen
144s
s12
x4sen
64s
s8
eCeCs,xU 2222
x
2
s
2
x
2
s
1 π
π+
−π
π+
++=
−
(4.11.4.20)
Calculando as constantes 1C e 2C :
1. Considerando 0x = em (4.11.4.20) e utilizando (4.11.4.12):
( ) 2121 CC0CCs,0U −=⇒=+= (4.11.4.21)
2. Considerando 2x = em (4.11.4.20) e utilizando (4.11.4.13):
( ) 0eCeCs,2U s2s1 =+= − (4.11.4.22)
Substituindo (4.11.4.21) em (4.11.4.22):
( ) ( )0s 0C0e1C0e
e
1C0eCeC 2
s2
2
s
s2
s
2
s
2 ≠=⇒=−⇒=
−⇒=+− −
0C0C 12 =⇒= (4.11.4.23)
Substituindo (4.11.4.23) em (4.11.4.20), temos a solução da EDO.
( ) ( ) ( )x6sen
144s
s12
x4sen
64s
s8
s,xU 2222 ππ+
−π
π+
=
L ( ){ } ( )t,xus,xU1 =−
228
( ) ( )x4sen8t,xu π= L
π+
−
22
1
64s
s ( )x6sen12 π− L
π+
−
22
1
144s
s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6sen12 t8cosx4sen8t,xu ππ−ππ= (4.11.4.24)
Verificando que a solução (4.11.4.24) satisfaz de fato o problema de valor inicial e de contorno:
Equação diferencial parcial:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12senx6sen144 t8senx4sen64t,xu t πππ+πππ−= (4.11.4.25)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6sen1728 t8cosx4sen512t,xu 22tt πππ+πππ−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6cos72 t8cosx4cos32t,xu x πππ−πππ=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6sen432 t8cosx4sen128t,xu 22xx πππ+πππ−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t12cosx6sen1728 t8cosx4sen512t,xu4 22xx πππ+πππ−=
Logo, ( ) ( )t,xu4t,xu xxtt = .
Condições de contorno:
Considerando 0x = e 2x = em (4.11.4.24):
( ) ( ) 0t,2ut,0u ==
Condições iniciais:
Considerando 0t = em (4.11.4.24) e (4.11.4.25):
( ) ( ) ( )x6sen12x4sen80,xu π−π=
( ) 00,xu t =
Gráfico da superfície que define a solução (4.11.4.24):
229
Figura 69: Gráfico de ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t12cos x6sen12t 8cosx4sen8xf ππ−ππ= , 2x0 << , 10t0 << .
4.12 – Solução de equações íntegro-diferenciais
Exemplo
( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
−=+ ∫∫
10y
du utcosuy tydu uy 4
t
0
'
t
0
(4.12.1)
L ( ){ } ( )sYty =
( ) ( ) ( ) ( )tcostytydu uy 4 '
t
0
∗=+∫ (4.12.2)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação íntegro-diferencial (4.12.2):
L ( ) ( ) =
+∫ tydu uy 4 '
t
0
L ( ) ( ){ }tcosty ∗
4L ( )
∫
t
0
du uy + L ( ){ }=ty ' L ( ) ( ){ }tcosty ∗
( ) ( ) ( ) ( )
1s
s
sY0yssY
s
sY4 2 +
=−+
230
( ) 1sY
1s
s
s
s
4
2 =
+
−+
( ) ( ) 1sY1ss
sss4s4
2
2242
=
+
−+++
( )
( ) ( ) 1sY1ss
2s
2
22
=
+
+
( ) ( )( )22
2
2s
1ss
sY
+
+
= (4.12.3)
Polos de ordem dois: i 2s −= , i 2s =
Decompondo (4.12.3) em frações parciais:
( )
( ) ( ) 2s
DCs
2s
BAs
2s
1s
s
sY
22222
2
+
+
+
+
+
=
+
+
= (4.12.4)( ) ( )2sDs2sCBAs1s 232 +++++=+
( ) ( )D2BsC2ADsCs1s 232 +++++=+
-1B12DB 0A02CA 1D 0C =⇒=+=⇒=+==
Voltando a (4.12.4):
( )
( ) 2s
1
2s
1
s
sY
222 +
+
+
−=
( ) ( ) 2s
s
2s
s
sY 222 +
+
+
−= (4.12.5)
Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.12.5):
L ( ){ }=− sY1 L ( ) +
+
−
−
22
1
2s
s L
+
−
2s
s
2
1
Como ( )222 2s
s2
2s
1
ds
d
+
−=
+
, L ( ){ }
2s
s
t2cos 2 +
= , L ( ){ }
2s
2
t2sen 2 +
= e
L ( ) ( ){ } ( ) ( )tft1sF nnn1 −=− , temos como solução da equação íntegro-diferencial
231
( ) ( ) ( )t2cost2sen t
22
1
ty +−=
( ) ( ) ( )t2sen t
4
2
t2costy −= . (4.12.6)
Exercícios
01. Verifique que (4.12.6) é solução de (4.12.1).
02. Empregando as transformadas de Laplace, solucione o seguinte problema de valor inicial:
( ) ( ) ( )
( )
( )
−=
=
+=+− −
10y
60y
e12t4ty2ty3ty
'
t'"
R.: ( ) tt2t e23t2e2e3ty −+++−=
03. Usando as transformadas de Laplace, solucione o sistema de equações diferenciais
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=++
=+−−
0xty2tx
tseny2x2tytx
'"
''
sujeitas às condições iniciais ( ) ( ) ( ) 00y0x0x ' === .
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) t2tttt2t e
9
1
e
9
1
te
3
1
ty e tcos
5
1
tsen
5
2
te
3
1
e
45
4
e
9
1
tx −+=−−++= −−−−
04. A carga instantânea ( )tq no capacitor em um circuito em série L-C-R (indutor-capacitor-resistor) é
dada pela equação diferencial ordinária de segunda ordem
( ) ( ) ( ) ( )tEtq
C
1
dt
tdqR
dt
tqdL 2
2
=++ ,
onde ( )tE é força eletromotriz.
Use as transformadas de Laplace para determinar a carga ( )tq e a corrente ( )ti em um circuito em
série no qual henry1L = , ohms20R = , farad01,0C = , ( ) ( )t10sen120tE = , ( ) 00q = e ( ) 00i = . Qual é
a corrente estacionária?
R.: ( ) ( )t10cos
5
3
te6e
5
3
tq t10t10 −+= −−
( ) ( )t10sen6te60ti t10 +−= −
corrente estacionária: ( )10t6sen
232
4.13 – Exercícios resolvidos
01. Um determinado sistema é regido pela equação diferencial
( ) ( ) ( ) ( )tgty4ty3ty ''' =+− ,
sujeita às condições iniciais ( ) 10y = e ( ) 50y ' = . Empregando a transformada de Laplace unilateral e
suas propriedades, determine a resposta ( )ty desse sistema quando ( ) ttg = , 0t > .
Notação: L ( ){ } ( )sYty =
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária, linear, de segunda
ordem, não homogênea:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2'2 s
1
sY40y3ssY30y0sysYs =++−−−
( ) ( ) 2
23
2
2
s
s2s135s
s
1
sY4s3s ++=−++=+−
( ) ( ) 4s3s
DCs
s
B
s
A
4s3ss
1s2s
sY 2222
23
+−
+
++=
+−
++
= (4.13.1)
( )( )
4
1As1.13.4lim 2
0s
=⇒
→
( )
( ) ( ) ( )
( )4s3ss
sDCs4s3sBs4s3s
4
1
4s3s
DCs
s
B
s
1
4
1
4s3ss
1s2s
22
222
2222
23
+−
+++−++−
=
+−
+
++=
+−
++
( ) ( ) ( )2323223 DsCss4s3sB4s3s
4
11s2s +++−++−=++
( ) 1sB4
4
3
sDB3
4
1
sCB1s2s 2323 +
+−+
+−++=++
16
3B
4
3B40B4
4
3
=⇒=⇒=+−
16
37D
16
9432D
16
9
4
12D2DB3
4
1
=⇒
+−
=⇒+−=⇒=+−
16
13C
16
31C1CB =⇒−=⇒=+
233
Retornando a (4.13.1):
( )
4s3s
1
16
37
4s3s
s
16
13
s
1
16
3
s
1
4
1
sY 222 +−
+
+−
++= (4.13.2)
Completando quadrados na equação (4.13.2) tem-se que:
( )
4
7
2
3
s
1
16
37
4
7
2
3
s
2
3
2
3
s
16
13
s
1
16
3
s
1
4
1
sY 222
+
−
+
+
−
+−
++=
( )
4
7
2
3
s
1
32
39
4
7
2
3
s
1
16
37
4
7
2
3
s
2
3
s
16
13
s
1
16
3
s
1
4
1
sY 2222
+
−
+
+
−
+
+
−
−
++=
( )
4
7
2
3
s
2
7
7
2
32
113
4
7
2
3
s
2
3
s
16
13
s
1
16
3
s
1
4
1
sY 222
+
−
+
+
−
−
++=
Como ( ) =ty L ( ){ }sY1− e L ( ){ } ( )sYetye asat −= , tem-se que:
( )
+
++= t
2
7
sene
112
7113
t
2
7
cose
16
13
t
4
1
16
3
ty
t
2
3
t
2
3
02. Solucione a equação integral de Volterra abaixo empregando a transformada de Laplace unilateral e
suas propriedades.
( ) ( ) ( ) ( )∫ θθ−+θ+−=
t
0
dty1 tsenh1ty
Notação: L ( ){ } ( )sYty =
( ) ( ) ( ) ( )ty1ttsenh1ty ∗++−=
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação integral:
( ) ( )sY
s
1
s
1
1s
1
s
1
sY 22
++
−
−=
234
( )
1s
1
s
1
sY
s
1
s
11 22
−
−=
−−
( ) ( )1ss
s1s
sY
s
s1s
2
2
2
2
−
−−
=
−−
( ) ( ) 1s
s
s1s
s
1ss
s1s
sY 22
2
2
2
−
=
−−−
−−
=
Como ( ) =ty L ( ){ }sY1− , tem-se que:
( ) ( )tcoshty =
03. Solucione a equação integral abaixo empregando a transformada de Laplace unilateral e suas
propriedades.
( ) ( ) ( )( )∫ θθ−θ+++=
t
0
dty 1tt2costy
Notação: L ( ){ } ( )sYty =
( ) ( ) ( ) tty1tt2costy ∗+++=
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação integral:
( ) ( ) 222 s
1
sY
s
1
s
1
4s
s
sY +++
+
=
( )
s
1
s
1
4s
s
sY
s
11 222 +++
=
−
( )
s
1
s
1
4s
s
sY
s
1s
222
2
++
+
=
−
( ) ( )( ) 1s
s
1s
1
4s1s
s
sY 2222
3
−
+
−
+
+−
= (4.13.3)
Decompondo em frações parciais:
( )( ) 4s
DCs
1s
BAs
4s1s
s
2222
3
+
+
+
−
+
=
+−
235
( )( ) ( )( )1sDCs4sBAss 223 −++++=
DDsCsCsB4BsAs4Ass 23233 −+−++++=
( ) ( ) ( ) ( )DB4sCA4sDBsCAs 233 −+−++++=
5
4C
5
1A
0CA4
1CA
=⇒=⇒
=−
=+
0D0B
0DB4
0DB
=⇒=⇒
=−
=+
Retornando à equação (4.13.3):
( )
1s
s
1s
1
4s
s
5
4
1s
s
5
1
sY 2222
−
+
−
+
+
+
−
=
( )
1s
1
4s
s
5
4
1s
s
5
6
sY 222
−
+
+
+
−
=
Como ( ) =ty L ( ){ }sY1− , tem-se que:
( ) ( ) ( ) ( )tsenht2cos
5
4
tcosh
5
6
ty ++=
04. Uma partícula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0
em um tempo qualquer t seja dado por
( ) ( ) ( ) ( )t2sen30tx3tx3tx '" =++ .
a) Se em 0t = a partícula está em repouso em 0x = , determine seu afastamento ( )tx em um
tempo qualquer 0t > empregando a transformadade Laplace unilateral e suas propriedades.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
=
=
=++
00x
00x
t2sen30tx3tx3tx
'
'"
Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária tem-se que:
L ( ) ( ) ( ){ }=++ tx3tx3tx '" L ( ){ }2t30sen
236
Notação: L ( ){ } ( )sXtx =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4s
230sX30x3ssX30x0sxsXs 2
'2
+
=+−+−−
( ) ( )
4s
60
sX3s3s 2
2
+
=++
( ) ( )( ) 3s3s
DCs
4s
BAs
3s3s4s
60
sX 2222 ++
+
+
+
+
=
+++
= (4.13.4)
( )( ) ( )( )4sDCs3s3sBAs60 22 ++++++=
D4DsCs4CsB3Bs3BsAs3As3As60 23223 +++++++++=
( ) ( ) ( ) ( )D4B3sC4B3A3s DBA3sCA60 23 +++++++++=
=+
=++
=++
=+
60D4B3
0 C4B3A3
0 D B A3
0 C A
−
−
−
60|1900
0|31000
0|1310
0|0101
~
60|4030
0|0130
0|1310
0|0101
~
60|4030
0|0433
0|1013
0|0101
−
−
−
−
60|
10
37000
0|
10
3100
0|1310
0|0101
~
60|1900
0|
10
3100
0|1310
0|0101
37
600D60D
10
37
=⇒=
37
180C0
37
600
10
3C0D
10
3C =⇒=−⇒=−
37
60B0
37
600
37
1803B0DC3B −=⇒=+−⇒=+−
237
37
180A0
37
180A0CA −=⇒=+⇒=+
Voltando a (4.13.4):
( )
3s3s
1
37
600
3s3s
s
37
180
4s
1
37
60
4s
s
37
180
sX 2222 ++
+
++
+
+
−
+
−=
Completando quadrados:
4
3
2
3
s3s3s
2
2 +
+=++
( )
4
3
2
3
s
1
37
600
4
3
2
3
s
s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180
sX 2222
+
+
+
+
+
+
+
−
+
−=
( )
4
3
2
3
s
1
37
600
4
3
2
3
s
2
3
2
3
s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180
sX 2222
+
+
+
+
+
−+
+
+
−
+
−=
( )
4
3
2
3
s
1
37
600
4
3
2
3
s
1
37
270
4
3
2
3
s
2
3
s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180
sX
2
2222
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
+
−
+
−=
( )
4
3
2
3
s
1
37
330
4
3
2
3
s
2
3
s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180
sX 2222
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
−=
( )
4
3
2
3
s
2
3
3
2
37
330
4
3
2
3
s
2
3
s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180
sX 2222
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
−=
238
( )
4
3
2
3
s
2
3
37
3220
4
3
2
3
s
2
3
s
37
180
4s
2
37
30
4s
s
37
180
sX 2222
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
−=
Lembrando que L ( ){ } ( )asXtxeat −= , tem-se que:
L ( ){ } ( ) ( )
+
+−−=
−−
− t
2
3
sene
37
3220
t
2
3
cose
37
180
t2sen
37
30
t2cos
37
180
sX
t
2
3
t
2
3
1
( ) ( ) ( )[ ]
+
++−=
−
t
2
3
sen311t
2
3
cos9e
37
20
t2sent2cos6
37
30
tx
t
2
3
b) Plote o gráfico da função ( )tx , identificando o termo transitório e o termo de regime
permanente. Faça comentários pertinentes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
y
Figura 70: Gráfico de
( ) ( ) ( )[ ]
+
++−=
−
t
2
3
sen311t
2
3
cos9e
37
20
t2sent2cos6
37
30
tx
t
2
3
, [ ]20,0t∈ .
Termo transiente:
+
−
t
2
3
sen311t
2
3
cos9e
37
20 t2
3
Termo de regime permanente: ( ) ( )[ ]t2sent2cos6
37
30
+−
239
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
y
Figura 71: Gráfico do termo transiente
+
−
t
2
3
sen311t
2
3
cos9e
37
20 t2
3
, [ ]20,0t∈ .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
y
Figura 72: Gráfico do termo de regime permanente ( ) ( )[ ]t2sent2cos6
37
30
+− , [ ]20,0t∈ .
Comentários: Percebe-se, pela Figura 71, que o termo transiente “contribui” para a solução até
3t ≈ . Após, a solução é dada pelo termo de regime permanente, como ilustram as Figuras 70 e 72.
240
4.14 – Exercícios complementares
01. Determine o valor das seguintes integrais impróprias:
a) ∫
∞
−
0
x24 dxex b) ( )∫
∞
−
0
x
2
7
dx x3senhe c) ∫
∞
−−
−
0
t10t2
dt
t
ee
R.:
4
3
R.:
13
12
R.: ( )5ln
02. Calcule as seguintes integrais impróprias:
a) ∫
∞
−−
−
0
t6t3
dt
t
ee
b) ( ) ( )∫
∞
−
0
dt
t
t4cost6cos
R.: ( )2ln R.:
3
2ln
03. Empregando a transformada de Laplace e suas propriedades, calcule a integral abaixo.
( )∫
∞
−
0
t 3
3
dte
t5
tsen
R.:
120
π
04. Empregando a transformada de Laplace e suas propriedades, mostre que
( ) ( )
8
dt
t
tsentsenhe
0
t 2 π
=∫
∞
−
.
05. Calcular:
a) L ( ){ }t2coshe t4− R.: ( )
12s8s
4s
sF 2 ++
+
=
b) L
+
−
−
9s
5s2
2
1
R.: ( ) ( ) ( )t3sen
3
5
t3cos2tf −=
c) L
++
−
−
2s3s
se
2
s2
1
R.: ( ) ( ) ( ){ } ( )2tuee2tf 2t2t2 −−= −−−−
241
06. Calcule a transformada de Laplace da função representada graficamente abaixo.
f(t)
2
1
t
2 4
R.: L ( ){ }
−−+= −
−
s4
s2
e4
s
e
s
12
s2
1
tf
07. Calcule a transformada de Laplace da função representada graficamente abaixo.
f(t)
2
t2 4
R.: L ( ){ } ( )s2ee
s
1
tf s2s42 +−=
−−
08. Determine a transformada de Laplace da função representada graficamente na Figura 73.
Figura 73: Função periódica – [13].
R.: L ( ){ } ( ) ( )0as2
asas
tg
e1s
asee1
tf θ
−
−−
=
−
−−
242
09. Seja ( )tf a função representada graficamente abaixo.
f(t)
5
2
t
3 7
a) Expresse ( )tf de forma compacta usando a função degrau unitário.
R.: ( )
+−=
4
29
t
4
3
tf [u ( )−− 3t u ( )7t − ]
b) Usando o item anterior, calcule L ( ){ }tf .
R.: L s7s3 e
s4
32
s
1
e
s4
35
s
1
−−
−−
−
10. Seja ( ) ( ) ( ) 0 t,tcostsenetf 2t2 >= − .
a) Determine ( ) =sF L ( ){ }tf e identifique as singularidades de ( )sF .
R.: ( ) ( ) ( ) 92S
2s
4
1
12s
2s
4
1
sF 22 ++
+
−
++
+
=
Singularidades: i32 ,i2 ±−±−
b) Represente geometricamente a região de convergência de ( ) =sF L ( ) ( ){ }tcostsen 2 .
11. Sabendo que ( ) ( )( )∑
∞
=
−
=
0n
n2n
!n2
t1
tcos , ( ) ( ) !nnn1n =Γ=+Γ e π=
Γ
2
1
, determine L ( )
t
tcos
e
sua respectiva região de convergência.
R.: ( ) 0sRe ,e
s
s4
1
>
π −
243
12. Sabendo que ( ) ( )( )∑
∞
=
+
+
−
=
0n
1n2n
!1n2
t1
tsen , ( ) ( ) !nnn1n =Γ=+Γ e π=
Γ
2
1
, determine L ( ){ }tsen e
sua respectiva região de convergência.
R.: ( ) 0sRe ,e
s2
s4
1
2
3 >
π −
13. Calcule L
−+−
++−
−
16s16s4s
4s56s47s11
34
23
1
.
R.: ( ) ( ) t22t2 e65tt2etf −++−=
14. Determine L
−−++
+++
−
39s12s10s4s
9s13ss
234
23
1
.
R.: ( ) ( ) ( )t3senet3coshtf t2−−=
15. Use as transformadas de Laplace para solucionar as seguintes equações:
a)
( ) ( ) ( )
( )
( )
−=
=
=+
10y
10y
tcos8tyty
'
"
R.: ( ) ( ) ( ) ( )ttsen4tsentcosty +−=
b) ( ) ( ) ( )
( )
=
−−= ∫
00y
duuy tsen1ty
t
o
'
R.: ( ) ( ) ( )ttsen
2
1
tsenty −=
c) ( )
( )
( ) ( )
<<π=
>=
>=
><<
∂
∂
=
∂
∂
5x0 x4sen10x,0u
0 t 0t5,u
0 t 0t,0u
0 t5,x0
x
u2
t
u
2
2
R.: ( ) ( )
( ) ( ) t32
2
x
2
s
2
x
2
s
1
2
ex4sen10t,xu
x 4sen
32s
10
eCeCs,xU
ππ
π
π
−
−
=
+
++=
244
16. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine a solução do seguinte
problema de valor inicial:
( ) ( ) ( )
( )
( )
=
=
=−−
20y
10y
e tty2tyty
'
t'"
R.: ( ) tttt2 e
4
1
te
2
1
e
12
1
e
3
4
ty −−−= −
17. Empregando as transformadas de Laplace, determine a solução do seguinte problema de valor
inicial:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
=
=
=−+ −
30y
00y
et4coshtyty6ty
'
t3'"
R.: ( ) ( ) ( ) ( )
+−= − t10senh
10
103
t10cosh
6
1
t4cosh
6
1
ety t3
18. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, resolva o seguinte problema de valor
inicial (PVI):
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
−=
=
+=++ −
10y
00y
t3cose3t2ty13ty4ty
'
t2'"
R.: ( ) ( ) ( ) ( )t3sente
2
1
t3sene
507
179
t3cose
169
8
t
13
2
169
8
ty t2t2t2 −−− +−++−=
19. Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, solucione a equação íntegro-
diferencial
( ) ( ) ( ) ( )tfdu uy 40ty4ty
10
1
t
0
'
=++ ∫ ,
sendo ( )tf a função representada graficamente abaixo e ( ) 00y = .
245
f(t)
10
t
10
R.: ( ) ( ) ( )10t20t20 e10t100te100ty −−− −+= u ( )10t −
20. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine a solução do problema de valor
inicial
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
=
=
=−+
20y
10y
tfty2tyty
'
'"
, sendo ( )tf a função representada graficamente abaixo.
f(t)
4
t
2
R.: ( ) 2e
3
1
e
3
82ty t2t +++−= − u ( ) 2te
3
42t −−− u ( ) ( )2t2e
3
22t −−−− u ( )2t −
21. Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine a solução geral da
equação diferencial ordinária com coeficientes variáveis
( ) ( ) ( ) ( ) 1tty3ty 2tty t '" −=++− ,
sujeita à condição inicial ( ) 00y = .
R.: ( ) t
2
1Ctty 3 +=
22. Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, solucione a equação íntegro-
diferencial
246
( ) ( ) ( ) ( )tcoshedue uy ty t
t
0
ut2"
=+∫ − ,
sujeita às condições iniciais ( ) 30y = e ( ) 30y' −= .
R.: ( )
−
+−= t
2
5
senhe52t
2
5
coshe41ty 2
t
2
t
23. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, solucione e equação diferencial parcial:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
>==
<<−=
><<−=
0 t 0t,ut,0u
x0 x2sen4xsen60,xu
0 t,x0 t,xu4t,xut,xu xxt
π
π
π
.
R.: ( ) ( ) ( )x2sene4xsene6t,xu t8t5 −− −=
24. Empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades, solucione a equação
diferencial parcial a seguir.
( ) ( ) 0 t1,x0 e1t,xut,xu ttx ><<−=− −
( ) 1x0 x0,xu <<=
R.: ( ) te1xt,xu −−+=
25. Um indutor de 3 henrys está em série com um resistor de 30 ohms e com uma f.e.m. dada por
( )t20sen150 . Supondo que em 0t = a corrente é nula, use as transformadas de Laplace para determinar
a corrente num tempo 0t > qualquer.
R.: ( ) ( ) ( ) t10e2t20cos2t20senti −+−=
26. Um determinado sistema é regido pela equação diferencial( ) ( ) ( ) ( )tgty14ty8ty '" =++ ,
onde as condições iniciais são ( ) 10y = e ( ) 40y' −= .
Empregando as transformadas de Laplace, determine a resposta ( )ty desse sistema quando o
mesmo é excitado por um degrau de amplitude sete, ou seja, ( ) 7tg = u ( )t .
R.: ( ) ( ) ( )[ ]t2senh22t2coshe
2
1
2
1
ty t4 −+= −
247
27. Uma partícula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0
em um tempo qualquer t seja dado por
( ) ( ) ( ) ( )t5sen80tx5tx4tx '" =++ .
a) Se em 0t = a partícula está em repouso em 0x = , determine seu afastamento em um tempo
qualquer 0t > usando as transformadas de Laplace e suas propriedades.
R.: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]t5sent5cos2tsen7tcose2tx t2 +−+= −
b) Determine a amplitude, o período e a freqüência do movimento após um longo tempo.
R.: Período:
5
2P π= Freqüência:
π2
5
P
1
= Amplitude: 22 (quando
20
t
π
= )
c) No resultado obtido no item (a), qual é o termo de regime transitório e qual é o termo de regime
permanente?
R.: Regime transitório: ( ) ( )[ ]tsen7tcose2 t2 +−
Regime permanente: ( ) ( )[ ]t5sent5cos2 +−
28. Em engenharia, um problema importante é determinar a deflexão estática de uma viga elástica
causada por seu peso ou por uma carga externa. Essa deformação (deflexão) ( )xy é descrita pela
equação diferencial ordinária de quarta ordem
( ) ( )xWxy
dx
dEI 4
4
= , (1)
onde E é o módulo de elasticidade de Young relacionado com o material da viga, I é o momento de
inércia de uma secção transversal da viga (em relação a um eixo conhecido como eixo neutro ou linha
neutra), o produto EI é a rigidez defletora da viga e ( )xW é a carga por unidade de comprimento.
Uma viga engastada (fixa) em uma extremidade e solta na outra é chamada de cantiléver ou
viga em balanço ou viga cantoneira. Um trampolim, um braço estendido, a asa de um avião e um
arranha-céu são exemplos de tais vigas.
Para uma viga de comprimento l em balanço engastada à esquerda, além de satisfazer (1), a
deflexão ( )xy deve satisfazer as seguintes condições nas extremidades da viga (condições de
contorno):
• ( ) 00y = , pois não há deflexão no extremo esquerdo engastado;
• ( ) 00y' = , pois a curva de deflexão é tangente ao eixo x na extremidade esquerda;
• ( ) 0y" =l , pois o momento defletor (fletor) é nulo no extremo livre;
• ( ) 0y"' =l , pois a força de espoliação (cisalhamento) é zero na extremidade livre. A força de
espoliação é dada pela função ( ) ( )xy
dx
dEIxF 3
3
= .
248
Assim, mostre que a deflexão em uma viga cantoneira, engastada em 0x = e livre em l=x e
que suporta uma carga uniforme 0W por unidade de comprimento, é dada por
( ) ( )2220 6x4xx
EI24
W
xy ll +−= .
29. Em um circuito elétrico simples em série L-C-R (indutor-capacitor-resistor), a corrente i satisfaz a
equação íntegro-diferencial
( ) ( )tEdi
C
1Ri
dt
diL
t
0
=++ ∫ ττ ,
onde L é a indutância, R é a resistência, C é a capacitância e ( )tE é a força eletromotriz (f.e.m). Para o
mesmo circuito, a carga instantânea ( )tq no capacitor satisfaz a equação diferencial ordinária de
segunda ordem
( ) ( ) ( ) ( )tEtq
C
1
tq
dt
dRtq
dt
dL 2
2
=++ .
Dessa forma, use as transformadas de Laplace e suas propriedades para determinar a carga ( )tq
no capacitor e a corrente ( )ti em um circuito em série L-C-R no qual henry 1L
1
= , ohms 20R = ,
farad 01,0C = , ( ) 00q = , ( ) 00i = e ( )tE é dada pela Figura 18.
Figura 74: Força eletromotriz – [17].
R.: ( ) ( )1t120t120tE −−= u ( ) 1201t −− u ( )1t −
( ) 120tq = [
125
1
te
100
1
e
500
1
t
100
1
500
1 t10t10
−+++− −− u ( ) ( )1t
100
11t −−− u ( )+−1t
( )1t10e
125
1
−−+ u ( ) ( ) ( )1t10e1t
100
91t −−−+− u ( )1t − ]
249
( ) ( ) 120tq
dt
d
ti == [
100
1
te
10
1
e
100
1
100
1 t10t10
−−−
−− u ( ) ( )1t10e
100
11t −−+− u ( )+−1t
( ) ( )1t10e1t
10
9
−−
−− u ( )1t − ]
30. Um resistor de R ohms e um capacitor de C farads são ligados em série com um gerador fornecendo
E volts, como ilustra a Figura 19.
Figura 75: Circuito em série R-C – [13].
a) Seja 0Q a carga inicial no capacitor e ( )wtsenEE 0= . Mostre, usando as transformadas de
Laplace e suas propriedades, que a carga no capacitor em um tempo 0t > qualquer é dada por
( ) ( ) ( )
−−
+= wtsen
RC
1
wtcos w
aR
E
e
aR
wEQtq 0RC
t
-0
0 ,
sendo 22
2
CR
1
wa += .
b) Determine a corrente ( )ti .
R.: ( ) ( ) ( )
+−
+−= wtcos
RC
1
wtsen w
aR
wE
e
aR
wEQ
RC
1
ti 0RC
t
-0
0
31. No circuito elétrico representado na figura abaixo
250
temos que ( )t10sen500E = , ohms 10R1 = , ohms 10R 2 = , henry 1L = e farad 01,0C = . Empregando
as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine:
1. a carga no capacitor em um tempo 0t > qualquer;
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t10cos2t10senet10cos2t10sentq t10 ++−= −
2. as correntes 1I e 2I em um tempo 0t > qualquer.
R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t10cost10sen2e10t10cos10t10sen30tI t101 −−−= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t10sent10cos2e10t10cos20t10sen10tI t102 ++−= −
Sabemos que a carga no capacitor e as correntes 1I e 2I são nulas em 0t = . Esboce o gráfico
simultâneo da carga e das correntes para 0t > .
Observação: Equacionamento:
=−
=−−−
0IR
C
q
0IRI
dt
dL
C
qE
22
11
32. Prove que L ( ){ } ( ) ( )[ ]sln1
s
1
tln ' −Γ= , onde ( ) ∫
∞
−−
=Γ
0
t1n dtet n é a função gama.
33. Prove que L ( ){ } ( )
=
−
π
=
s
1
arctg
s
1
sarctg
2s
1
tSi , onde ( ) ( )∫=
t
0
du
u
usen
tSi é a integral seno.
34. Empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades, calcule a integral a seguir.
( )∫
∞
0
2 dxxsen
R.:
4
2π
Sugestão: Considere ( ) ( )∫
∞
=
0
2 dxx tsen tg e calcule a transformada de Laplace de ( )tg .
251
5. TRANSFORMADAS ZZZZ
f(t) h(t)
S
Figura 76: “Ação” da transformada.
f(t): sinal de entrada
h(t): sinal de saída
S: sistema que transforma o sinal de entrada no sinal de saída
SINAIS
a) Contínuos
Funções de uma variável contínua.
! Transformada de Fourier ( ){ } ( ) ( )∫
∞
∞−
α
=α=ℑ
xi dxexf Fxf
! Transformada de Laplace unilateral L ( ){ } ( ) ( )∫
∞
−
==
0
stdtetf sFtf
b) Discretos
Funções de uma variável discreta – sequências.
! Transformada discreta de Fourier
! Transformada discreta de Laplace
! Transformada Z
252
(a) (b)
Figura 77:(a) Função contínua: ( ) [ ]10,0t ,etf t ∈= − ; (b) Função discreta: ( ) 10,,2,1,0n ,enf n K== − .
Um sinal discreto é descrito por uma sequência.
{ } { }KK ,f,f,f,f,f,f 21012n −−=
nf : n-ésimo termo da sequência
5.1 – Definição da transformada ZZZZ unilateral
Z{ } ( ) K+++++=== −−−−
∞
=
−∑ 443322110
0n
n
nn zfzfzfzffzfzFf
K+++++= 4
4
3
3
2
21
0
z
f
z
f
z
f
z
ff (5.1.1)
onde ibaz += (ou iyxz += ou β+α= jz ) é um número complexo e K,f,f,f,f 3210 são os
coeficientes da série, os quais representam os valores que o sinal assume nos diversos instantes
discretos de tempo.
Uma seqüência nf é Z transformável se a série (5.1.1) é convergente para pelos menos um
complexo z.
Outras notações empregadas na definição da transformada Z unilateral:
Z ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++++=== −−−
∞
=
−∑ 321
0k
k
zT3xzT2xzTx0xzkTxzXkTx
253
Z ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++=== −−−−
∞
=
−∑ 4321
0n
n
z4xz3xz2xz1x0xznxzXnx
Exemplo
Seja o sinal dado por ( )
=
=
=
=
=
=
=
contrário caso 0,
5n 3,-
4n 3,
3n 2,-
2n 1,
1n 1,-
0n ,2
nx .
Z ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+++++=== −−−−
∞
=
−∑ 4321
0n
n
z4xz3xz2xz1x0xznxzXnx
5432
54321
z
3
z
3
z
2
z
1
z
1
-2
z3z3z2zz-2
−+−+=
−+−+= −−−−−
5.2 – Transformada ZZZZ unilateral de algumas sequências
5.2.1 – Versão discreta da função delta de Dirac
≠
=
=
0n ,0
0n ,1
f n ou ( )
≠
=
=δ
0n ,0
0n ,1
n
Z{ } 1ff 0n == ou Z ( ){ } ( ) 10n =δ=δ
5.2.2 – Sequência unitária ou passo discreto unitário
0n 1f n ≥∀=
Z{ } =nf Z{ } K++++==∑
∞
=
−
32
0n
n
z
1
z
1
z
11z1 (5.2.2.1)
A série (5.2.2.1) é uma série geométrica. Esta série converge se:
254
1yx1yxiyx1z1
z
1 2222 >+⇒>+=+⇒>⇒<
y=Im(z)
x=Re(z)
1
Figura 78: 1yx1z 22 >+⇒> .
Logo, Z{ } 1z ,
1z
z
z
11
1
z1
0n
n >
−
=
−
==∑
∞
=
−
.
5.2.3 – Exponencial
an
n ef = , a constante e 0n ≥
Z{ } K+++++=
== ∑∑
∞
=
∞
=
−
4
a4
3
a3
2
a2a
0n
n
a
0n
nanan
z
e
z
e
z
e
z
e1
z
e
zee (5.2.3.1)
A série (5.2.3.1) é uma série geométrica. Esta série converge se:
2
a22a22a
a
eyxeyxiyxez1
z
e
>+⇒>+=+⇒>⇒< .
255
y=Im(z)
x=Re(z)
|ea|
Figura 79:
2
a22a eyxez >+⇒> .
Assim, Z{ } a
aa
0n
n
a
an ez ,
ez
z
z
e1
1
z
e
e >
−
=
−
=
=∑
∞
=
.
5.2.4 – Potência
n
n af = , a constante e 0n ≥
Z{ } K+++++=
== ∑∑
∞
=
∞
=
−
4
4
3
3
2
2
0n
n
0n
nnn
z
a
z
a
z
a
z
a1
z
a
zaa (5.2.4.1)
A série (5.2.4.1) é uma série geométrica. Esta série converge se:
22222 ayxayxiyxaz1
z
a
>+⇒>+=+⇒>⇒< .
256
y=Im(z)
x=Re(z)
|a|
Figura 80: 222 ayxaz >+⇒> .
Dessa forma, Z{ } az ,
az
z
z
a1
1
z
a
a
0n
n
n >
−
=
−
=
=∑
∞
=
.
Resumo
nf ( )zF
( )
≠
=
=δ
0n ,0
0n ,1
n
1
1 1z ,1z
z
>
−
ane a
a
ez ,
ez
z
>
−
na
az ,
az
z
>
−
Tabela 6: Algumas transformadas Z unilaterais.
5.3 – Séries de potências: definição, raio de convergência
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+−+−+−+−+=−∑
∞
=
4
4
3
3
2
210
0n
n
n czaczaczaczaacza
z: variável complexa
K,a,a,a 210 : coeficientes da série
c: centro da série (número complexo)
257
R: raio de convergência da série ( )∞≤≤ R0
1n
n
n a
a
limR
+
∞→
= ou
n
1
n
n
a
1limR
∞→
=
Convergência da série de potências de (z-c) (Teorema de Cauchy-Hadamard)
1. R = 0
A série converge somente para cz = .
2. 0 < R < ∞
A série converge absolutamente para todo Rczz <−∈ e diverge para todo Rczz >−∈ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 byaxbyiaxibaiyxcz
ibac
iyxz
−+−=−+−=+−+=−
++
+=
3. R = ∞
A série converge absolutamente para todo z.
Exemplo
K+++++=∑
∞
=
5
z
4
z
3
z
2
z
z
n
z
5432
1n
n
(5.3.1)
( )
1
n
11lim
n
1nlim
1n
1
n
1
lim
a
a
limR
nnn
1n
n
n
=
+=
+
=
+
==
∞→∞→∞→
+
∞→
A série converge em 1z < e diverge em 1z > .
1z = : testar a convergência absoluta
K+++++=== ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
n
z
n
z
1n1n
n
1n
n
(5.3.2)
A série (5.3.2) é a série harmônica, uma série divergente.
Logo, podemos afirmar que a série (5.3.1) converge em 1yx1z 22 <+⇒< .
258
y=Im(z)
x=Re(z)
1
Figura 81: 1yx1z 22 <+⇒< .
5.4 – Existência e domínio de definição da transformada ZZZZ unilateral
Z{ } ( ) ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
−=
===
0n
n
n
0n
n
n
0n
n
nn 0
z
1f
z
1fzfzFf
R
1
zR
z
1
>⇒<
A série converge em
R
1
z > .
A série diverge em
R
1
z < .
Exemplo
n
n af = , a constante e 0n ≥
a
1
alimalim
a
a
lim
a
a
limR 1
n
1
n1n
n
n
1n
n
n
=====−
∞→
−
∞→+∞→
+
∞→
Convergência: az
R
1
z >⇒>
259
Teorema 1
Seja a série ( ) ∑
∞
=
−
=
0n
n
n zfzF , convergente em todo ponto 0zo ≠ . Então, a série converge
absolutamente em ozz > e converge uniformemente em toda região zRz 'o ≤< .
Definição
Uma sequência é do tipo exponencial se existem 0M > , 0s0 ≥ e 0n 0 ≥ tais que
ns
n
0Mef <
para todo 0nn ≥ .
Teorema 2
Toda sequência do tipo exponencial é Z transformável.
Teorema 3
Para que uma sequência { }nf seja Z transformável é necessário que ela seja do tipo
exponencial.
Teorema 4
Se a série ( ) ∑
∞
=
−
=
0n
n
n zfzF converge em R
1
z > , então ( )zF é uma função analítica (ou regular
ou holomorfa) nessa região e é a única transformada da sequência { }nf .
Teorema 5
Seja ( )zF uma função analítica na região
R
1
z > . Então existe uma seqüência { }nf para a qual
Z{ } ( )zFfn = .
Demonstrações: VICH, R. Z transform theory and applications. Dordrecht: SNTL – Publishers of
Technical Literature.
Funções analíticas
Se a derivada ( )zf ' existe em todos os pontos z de uma região 'R do plano complexo, então
( )zf é dita analítica (ou regular ou holomorfa) em 'R . Uma função ( )zf é dita inteira quando for
analítica em C .
260
Uma função ( )zf é analítica em um ponto oz se existir 0>δ tal que ( )zf ' exista para todo z
em δ<− 0zz .
Equações de Cauchy-Riemann
Uma condição necessária para que ( ) ( ) ( )y,xv iy,xuzfw +== seja analítica em uma região
'R do plano complexo é que u e v satisfaçam em 'R as equações de Cauchy-Riemann:
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
(5.4.1)
Se as derivadas parciais de ( )zf são contínuas em 'R , então as equações de Cauchy-Riemann
(5.4.1) são condições necessárias e suficientes para garantir a analiticidade de ( )zf em 'R .
Demonstração: SPIEGEL, Murray R. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw-Hill.
Problema 5, página 107.
5.5 – Propriedades da transformada ZZZZ unilateral
5.5.1 – Linearidade
Teorema: Sejam lK,0,1,2,i ,ci = , números complexos dados. Se as transformadas
Z{ } ( )zFf in,i = existem, com raio de convergência 0R i > para lK,0,1,2,i = ( l finito), então também
existe a transformada
Z ( )∑∑
==
=
ll
0i
ii
0i
n,ii zFcfc .
Exemplos
1o) Z ( ){ }nsen β , onde β é uma constante (real puro).
Lembrar que ( )
i2
ee
zsen
iziz −
−
= e Z{ } a
a
an ez,
ez
z
e >
−
= .
Z ( ){ }=βnsen Z
− β−β
i2
ee nini
−
−
−
= β−β ii ez
z
ez
z
i2
1
261
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 1cosz2z
zsen
1cosz2z
izsen2
i2
1
1cosz2z
eez
i2
1
1eezz
zezzez
i2
1
1zezez
ezzezz
i2
1
2
2
2
ii
ii2
i2i2
ii2
ii
+β−
β
=
+β−
β
=
+β−
−
=
++−
+−−
=
+−−
−−−
=
β−β
β−β
ββ−
ββ−
ββ−
( )nsenfn β= é Z transformável para
( ) ( ) ( ) ( ) 1sencossenicosez 22i =β+β=β+β=> β .
( ) =zF Z ( ){ }nsen β é analítica em todo plano complexo, exceto em β= iez e β−= iez .
2o) Z
( ){ }ncos β , onde β é uma constante (real puro).
Lembrar que ( )
2
ee
zcos
iziz −+
= e Z{ } a
a
an ez,
ez
z
e >
−
= .
Z ( ){ }=βncos Z
+ β−β
2
ee nini
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )[ ]
( )
( )[ ]
( ) 1cosz2z
coszz
1cosz2z
coszz2
2
1
1cosz2z
cosz2z2
2
1
1cosz2z
eezz2
2
1
1eezz
zezzez
2
1
1zezez
ezzezz
2
1
ez
z
ez
z
2
1
2
2
2
2
2
ii2
ii2
i2i2
ii2
ii
ii
+β−
β−
=
+β−
β−
=
+β−
β−
=
+β−
+−
=
++−
−+−
=
+−−
−+−
=
−
+
−
=
β−β
β−β
ββ−
ββ−
ββ−
β−β
262
( )ncosfn β= é Z transformável para
( ) ( ) ( ) ( ) 1sencossenicosez 22i =β+β=β+β=> β .
( ) =zF Z ( ){ }ncos β é analítica em todo plano complexo, exceto em β= iez e β−= iez .
3o) Z ( ){ }nsenh β , onde β é uma constante (real puro).
Lembrar que ( )
2
ee
zsenh
zz −
−
= e Z{ } a
a
an ez,
ez
z
e >
−
= .
Z ( ){ }=βnsenh Z
− β−β
2
ee nn
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 1coshz2z
zsenh
1cosz2z
zsenh2
2
1
1coshz2z
eez
2
1
1eezz
zezzez
2
1
1zezez
ezzezz
2
1
ez
z
ez
z
2
1
2
2
2
2
22
2
+β−
β
=
+β−
β
=
+β−
−
=
++−
+−−
=
+−−
−−−
=
−
−
−
=
β−β
β−β
ββ−
ββ−
ββ−
β−β
( )nsenhfn β= Z é transformável para todo
( )β−β> e,emaxz .
( ) =zF Z ( ){ }nsenh β é analítica em todo plano complexo, exceto em β= ez e β−= ez .
4o) Z ( ){ }ncosh β , onde β é uma constante (real puro).
Lembrar que ( )
2
ee
zcosh
zz −+
= e Z{ } a
a
an ez,
ez
z
e >
−
= .
Z ( ){ }=βncosh Z
+ β−β
2
ee nn
263
( ) ( )
( ) 1eezz
zezzez
2
1
1zezez
ezzezz
2
1
ez
z
ez
z
2
1
2
22
2
++−
−+−
=
+−−
−+−
=
−
+
−
=
β−β
ββ−
ββ−
ββ−
β−β
( )
( ) 1coshz2z
eezz2
2
1
2
2
+β−
+−
=
β−β
( )
( )
( )[ ]
( )
( )[ ]
( ) 1coshz2z
coshzz
1coshz2z
coshzz2
2
1
1coshz2z
coshz2z2
2
1
2
2
2
2
+β−
β−
=
+β−
β−
=
+β−
β−
=
( )ncoshfn β= Z é transformável para todo ( )β−β> e,emaxz .
( ) =zF Z ( ){ }ncosh β é analítica em todo plano complexo, exceto em β= ez e β−= ez .
Resumo
nf ( )zF
( )
≠
=
=δ
0n ,0
0n ,1
n
1
1 1z ,1z
z
>
−
ane a
a
ez ,
ez
z
>
−
na
az ,
az
z
>
−
( )nsen β
( )
( ) 1z ,1cosz2z
senz
2 >+β−
β
( )ncos β
( )[ ]
( ) 1z ,1cosz2z
coszz
2 >+β−
β−
( )nsenh β
( )
( ) ( )β−β>+β−
β
e,emaxz ,
1coshz2z
zsenh
2
( )ncosh β
( )[ ]
( ) ( )β−β>+β−
β−
e,emaxz ,
1coshz2z
coshzz
2
Tabela 7: Transformada Z unilateral de algumas funções discretas elementares.
264
5.5.2 – Translação (ou deslocamento)
Teorema: Seja k um inteiro positivo. Se a transformada Z{ } ( )zFfn = existe para R
1
z > , então
também existem as transformadas Z{ }knf + e Z{ }knf − (esta para kn ≥ ). Para R
1
z > temos que
Z{ } ( )
−= ∑
−
=
−
+
1k
0n
n
n
k
kn zfzFzf e Z{ } ( ) ( )kkkn zMais conteúdos dessa disciplina
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